湖南省长沙一中双语学校2023-2024学年上学期九年级入学数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省长沙一中双语学校九年级（上）入学数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约亿千克，数据亿用科学记数法应表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 没有实数根 B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 有两个相等的实数根

5.  下列说法中正确的是(    )

A. 有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线相等的四边形是矩形
C. 两条对角线互相垂直的四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形

6.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )

A. 开口向下 B. 对称轴是 C. 顶点坐标是 D. 最大值是

7.  如图，▱的对角线，相交于点，，，则▱的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，已知矩形沿着直线折叠，使点落在处，交于，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，点在上，且平分，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  函数中自变量的取值范围是______ ．

12.  把因式分解的结果是______．

13.  一元二次方程的一个根是，则另一个根是______．

14.  用张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形的面积为，，则正方形的面积为______．

15.  三个边长为的小正方形按如图所示叠放在一起，点、、都在小正方形的顶点上，那么的度数等于______ ．

16.  如图，在中，，，，点是边上一动点，点在边上，且，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算题：．

18.  本小题分
解方程：
．
．

19.  本小题分
如图，▱的对角线，相交于点，是等边三角形，．
求证：▱是矩形；
求的长．

20.  本小题分
某实验基地为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取株麦苗，测得苗高如下单位：：

将数据整理，并通过计算后把如表填全：

______，______，______；
若实验基地有甲种小麦株，请你估计甲种小麦苗高不低于的株数；
请你选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．

21.  本小题分
如图，直线经过点，．
求直线的解析式；
已知直线：，求直线与直线及轴围成的的面积．

22.  本小题分
为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．
求两种型号电脑单价分别为多少元；
学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？

23.  本小题分
如图，在▱中，、分别是、的中点，，连接交于点．
求证：≌；
求证：四边形为菱形；
过点作于点，交于点，若，，求的长．

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
直线______填写直线解析式上的每一个点都是“互补点”；直线上的“互补点”的坐标为______；
直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．

25.  本小题分
抛物线交轴于，两点在的左边，交轴于，直线经过，两点．
求抛物线的解析式；
如图，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，以点、、、为顶点，为边的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点的坐标．
如图，为直线上方的抛物线上一点，轴交于点，过点作于点．设，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是，
故选：．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．

3.【答案】 

【解析】解：、同类项相加，把系数相加字母部分不变，故A错误；
B、同底的指数幂相除，底数不变指数相减，故B错误；
C、底数不变指数相乘，故C正确；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：．
根据合并同类项，可判断；
根据同底数幂的除法，可判断；
根据幂的乘方，可判断；
根据完全平方公式，可判断．
本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减．

4.【答案】 

【解析】解：，其中，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

5.【答案】 

【解析】解：、有一个直角的平行四边形是矩形，故选项A不符合题意；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项B不符合题意；
C、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故选项C不符合题意；
D、有三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意，
故选：．
利用矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解答本题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：由得，开口向上，故选项A错误，不符合题意；
对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意；
顶点坐标为，故选项C正确，符合题意；
最小值为，故选项D错误，不符合题意．
故选：．
直接由顶点式得到对称轴、开口方向、顶点坐标和最值．
本题考查了二次函数的性质，由二次函数的顶点式得到函数的性质是解题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：▱的对角线，相交于点，
，，，
，
，是的中位线，
，
▱的周长．
故选：．
由平行四边形的性质得，，，再证是的中位线，得出的长，即可得出结论．
此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，证得为的中位线是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由翻折而成，
，，
矩形，
，
在与中，

≌，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，
的长为．
故选：．
先根据翻折变换的性质得出，，再设，则，由全等三角形的判定定理得出≌，可得出，在中，利用勾股定理即可求出的值，进而得出的长．
本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由图可得：与直线在同一平面直角坐标系中的交点是，且时，直线的图象在直线的图象下方，故不等式的解集为：．
故选：．
与直线：在同一平面直角坐标系中的交点是，根据图象得到时不等式成立．
本题考查了一次函数与不等式组的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点交点、原点等，做到数形结合．

10.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
由矩形的性质可得，，由直角三角形的性质和角平分线的性质可得，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式可得，然后进行计算即可解答．
本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：原式
，
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差进行二次分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

13.【答案】 

【解析】解：设方程的另一根为，则，
解得，．
故答案是：．
根据根与系数的关系来解题．
本题考查了根与系数的关系．熟记公式是解题的关键，此题属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：正方形的面积为，
，
，
≌，
，
，
正方形的面积，
故答案为：．
由正方形的面积公式可得，在中，由勾股定理可求，即可求解．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图：
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
．
，
，
是，，

，
故答案为：．
根据勾股定理，可得、、的长，根据勾股定理的逆定理，可得答案．
本题考查了等腰直角三角形，勾股定理、勾股定理的逆定理是解题关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图，作关于的对称点，连接交于，
则的值最小，
过作交的延长线于，过作于，
则，，
，，，
，，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作关于的对称点，连接交于，则的值最小，过作交的延长线于，过作于，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了轴对称最短路线问题，含角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

17.【答案】解：原式

． 

【解析】利用算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．

18.【答案】解：，
，
，
所以，；
，
，
或，
所以，． 

【解析】先变形为，然后利用直接开平方法解方程；
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．

19.【答案】证明：为等边三角形，
，，
四边形是平行四边形
，，
，
▱是矩形；
解：▱是矩形，
，
，
，
． 

【解析】由等边三角形的性质得，再由平行四边形的性质得，，则，即可得出结论；
由矩形的性质得，则，再由含角的直角三角形的性质求解即可．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质以及等边三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．

20.【答案】     

【解析】解：将数据整理如下，

所以

故答案为：、、；
株，
答：估计甲种小麦苗高不低于的有株；
因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，
故甲种小麦长势较好．
中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；
总数量乘以样本中小麦苗高不低于的株数所占比例；
方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
此题主要查了平均数，中位数，方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．

21.【答案】解：直线经过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
如图，直线：与直线相交于点，
由，
 解得，
，
直线和直线分别交轴于点，，
易求得，，
直线与直线及轴围成的的面积为：
． 

【解析】根据待定系数法，将，代入一次函数解析式即可求解；
求出、、三点的坐标，用面积面积公式即可表示．
本题考查了一次函数及其应用，解函数类题目注意数形结合，通过联立函数表达式求交点坐标是解题的关键．

22.【答案】解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得：
，
解得，
经检验，是原方程的解并满足题意，
，
答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得：
，
解得，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时费用最少，最少费用为，
台，
答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元． 

【解析】设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由“分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台”列出方程即可求解；
设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的数量关系是解决问题的关键．

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
、分别是，的中点，
，
在和中，，
≌；
证明：是的中点，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形．
解：是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，，利用证得≌；
利用直角三角形形的性质结合菱形的判定方法证明即可．
易求得，然后由含的直角三角形的性质求解即可求得答案．
此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及解直角三角形等知识等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】   

【解析】解：纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
直线上的每一个点都是“互补点”；
设直线上的“互补点”的坐标为，
，解得，
直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；；

假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
直线上有“互补点”，点的坐标为；

设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
根据“互补点”的定义即可求解；
假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于的方程，解这个方程即可；
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．

25.【答案】解：令，则，
，
令，则，
，
将，代入，
，
解得，
；
，
抛物线的对称轴为直线，
设，，
令，则，
解得或，
，
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
当为平行四边形的对角线时，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或；
设，则，
，
连接，延长交轴于，
，，
，
，
，
，
，
，
当时，有最大值． 

【解析】求出、点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
设，，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，；当为平行四边形的对角线时，；
设，则，则，连接，延长交轴于，由等积法求出，则，当时，有最大值．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键．