江苏省连云港市东海县石榴高级中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题

石榴高级中学期初考试高二数学试题

一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.  直线可能是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如果，，那么直线不通过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4.  设为实数，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是(    )

A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定

5.  圆：与圆：的位置关系是(    )

A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

6.  过圆上一点作圆的切线，则的方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  椭圆的焦点为，，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  实数，满足，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.          D.

二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  关于椭圆有以下结论，其中正确的有(    )

A. 离心率为 B. 长轴长是
C. 焦点在轴上 D. 焦点坐标为，

10.  已知椭圆，，分别为它的左、右焦点，，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点点不与点，重合，则下列结论中正确的有(    )

A. 离心率
B. 的周长为
C. 若，则的面积为
D. 直线与直线斜率的乘积为定值

11.  下列四个命题正确的是(    )

A. 直线的一个方向向量是
B. 设直线过点，则这条直线的方程可以写成
C. 直线与圆相交
D. 圆与圆恰有三条公切线

12.  已知直线与曲线有且仅有个公共点，则的取值可能是(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

13.  两条平行直线与间的距离为          ．

14.  过点且与直线平行的直线的方程为          ．

15.  圆上的点到直线的距离的最大值是          ．

16.  圆关于轴对称的圆的方程为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

设为实数，若直线与直线平行，求的值．

18.  本小题分

已知直线过点且与两坐标轴围成的三角形面积为，求直线的方程．

19.  本小题分

已知直线，求：

直线关于点对称的直线的方程

直线关于直线对称的直线的方程．

20.  本小题分

过点作直线，使它被两条相交直线和所截得的线段恰好被点平分，求直线的方程．

21.  本小题分

已知圆：，是否存在斜率为的直线，使被圆截得的弦为直径的圆过原点，若存在求出直线的方程，若不存在说明理由。

22.  本小题分

在直角坐标系中，已知射线，，过点作直线分别交射线，于点，．

当线段的中点为时，求直线的方程

当线段的中点在直线上时，求直线的方程．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线截距的定义，属于基础题．
在轴的截距即令求出的的值，在轴上的截距即令求出的值，分别求出即可．

【解答】

解：直线，
令，得到，解得，所以；
令，得到，解得，所以．
结合选项可知，B正确．
故选B．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了直线的点斜式方程，属于基础题．
根据定点，和斜率即可判断．

【解答】

解：直线过点，排除、选项，
又因为斜率，排除选项，所以选B．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线图象的应用，一般结合截距或斜率来理解，考查数形结合思想的应用，属于基础题．

判断直线在轴和轴上截距的正负，作出直线的图象可得出结论．

【解答】

解：如果，，则直线在轴上的截距为，
在轴上的截距为，如下图所示：

．

因此，直线不通过第二象限．

故选：．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线和圆以及点和圆的位置关系的判断，属于基础题．
先根据直线和圆的位置关系得到，的关系式，即可得到结论．

【解答】

解：圆，圆心为，半径为，
由直线与圆相交，
则圆心到直线的距离，
所以，即，
即点在圆外
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的方程和两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．
先求出圆心和半径，再根据两个圆的圆心距大于半径之差小于半径之和，可得两个圆相交 

【解答】

解：圆：，即，圆心是，半径是，
圆：，即，圆心是，半径是，
，
故，
两圆的位置关系是相交，
故选C．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了圆的切线方程，属于基础题．
求出切线的斜率，即可求出切线方程．

【解答】

解：由题意得：切线斜率存在且不为，设斜率为，
易知，
因为，
所以，
那么由点斜式可得，即，
故选B．

  7.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查了椭圆的焦三角形面积问题，也考查了三角形面积求解，属于中档题．
利用椭圆的定义以及余弦定理，可以解得，一方面，另一方面设点到轴的距离为，则，所以，即可求解．

【解答】

解：易得．
设，，则．

在中，由余弦定理得，

即，则，

所以．

设点到轴的距离为，则，
故，解得．

故选：．

8.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
设，则问题转化为直线与圆有交点的问题根据圆心到直线的距离小于等于半径，列式，解不等式可得．

【解答】

解：设，则与圆有交点，

圆心到直线的距离，

解得．

故选．

9.【答案】 

【解析】【分析】

本题主要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的几何性质．
利用椭圆的标准方程，逐项分析，即可得．

【解答】
解：将椭圆方程化为标准方程为，
所以该椭圆的焦点在轴上，C错误；
焦点坐标为，，D正确；
，长轴长是，B错误；
因为，，所以，离心率，A正确．
故选AD．

10.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查椭圆的离心率、焦点三角形问题，属于中档题．
利用椭圆的定义和性质求解即可

【解答】解：由，可知，，．
对于，故A正确
对于记，，则，
的周长为，故B错误
对于记，，，所以，故C正确
对于设，，，则，，
于是，故D正确．
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查直线的方向向量、直线的一般式方程、直线与圆的位置关系的判断以及圆与圆的位置关系的判断，属于中档题．
由直线的方向向量、直线的一般式方程、直线与圆的位置关系的判断以及圆与圆的位置的判断关系逐项求解判断即可．

【解答】
解：选项A直线的斜率为，所以该直线的一个方向向量是，故A错误；
选项B由点在直线上，有，则，
把代入，得，则，故B正确；
选项C由圆，得到圆心坐标为，半径，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆的位置关系是相交，故C正确；
选项D圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
则，
故两圆外切，恰有三条公切线，故D正确．
故选BCD．

12.【答案】 

【解析】【分析】

本题考查直线过定点及圆的标准方程，同时考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由已知直线过定点，曲线为半圆，利用直线与圆的位置关系即可求解．

【解答】
解：由，可得，
曲线的图象是单位圆的上半圆，如图所示，

直线过定点，
直线的斜率，，
当直线与圆相切时，由圆心到切线的距离等于半径，
可得，解得或舍去，
观察图象，当时，直线与曲线有且仅有个公共点，选项ABD符合．
故选ABD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

根据平行线间的距离公式求解即可．
本题考查两条平行间的距离，考查学生的运算能力，属于基础题．

【解答】

解：可将直线化为，
所以两条平行直线间的距离为，
故答案为：．
 

14【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的一般式方程和平行关系，属于基础题．
由直线的平行关系可设要求直线方程为，代点求值可得．

【解答】

解：由直线的平行关系可设要求直线方程为，
由直线过点可得，解得，
所求直线方程为．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
问题转化为圆心到直线的距离，可求结果．

【解答】

解：化圆为标准方程：，半径为，
则圆心到直线的距离为：，
所以圆上的点到直线的距离最大值是．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查求一个圆关于轴的对称圆的方程的方法，属于基础题．
求出对称圆的圆心和半径，进一步求解即可．

【解答】

解：圆的标准方程为，半径为，
圆心关于轴的对称点为， 
圆关于原点对称的圆的方程是：，
故答案为 

  17.【答案】解：直线与直线平行，
可知当时，两直线垂直，不符合题意，
，
解得
当时，，，两直线平行，
当时，，，两直线重合，舍去，
故． 

【解析】本题考查两直线平行求参数的取值，属于基础题．
由两直线平行得出关系式求出的值并验证即可．
 

18.【答案】解：设直线方程为，
由直线过点且与两坐标轴围成的三角形面积为，
则，解得或．
则直线方程为或，
故直线方程为或． 

【解析】本题主要考查用截距式求直线方程的方法，属于基础题．
设直线方程为，则由题可得到关于、的方程组，解得、，即得此直线的方程．
 

19.【答案】解：在直线关于点对称的直线上任取一点，
则点关于点对称的点在直线上，
故有，化简可得．
所以，直线关于点对称的直线的方程为．
在所求的对称直线上任取一点，
则可得点关于直线的对称点在直线上，即．
则由
故有，
即．
所以，直线关于直线对称的直线的方程为． 

【解析】本题主要考查直线关于点、关于直线的对称直线问题，属中档题．
在直线关于点对称的直线上任取一点，则点关于点对称的点在直线上，建立，的关系，可得对称的直线的方程．
在所求的对称直线上任取一点，则可得点关于直线的对称点在直线上，利用垂直和中点在对称轴上这两个条件求出，，代入，求得结果．
 

20.【答案】解：假设直线斜率不存在，则，
此时直线与和的交点为，，此时点不是中点，不符合题意，舍去．
假设直线斜率存在，过点作直线，
由点斜式设直线的方程为，则如图所示：

设点的横坐标为，则由点在直线上，得，
又由中点坐标公式，得，
把点的坐标代入直线，解得，
则
故，
故直线的方程为，
整理为一般式为． 

【解析】本题主要考查直线的点斜式方程，中点坐标公式，属于基础题．
假设直线斜率不存在，求出交点坐标，判断点是否是中点；假设直线斜率存在，由点斜式设直线的方程为，设点的横坐标为，求出，，代入直线中，解出，两点坐标，进而求出，从而得出答案．
21.【答案】解：圆化成标准方程为，假设存在以为直径的圆，圆心的坐标为．
，即
直线的方程为，即
，得或，
当时，，此时直线的方程为
当时，，此时直线的方程为
故这样的直线是存在的，方程为或． 

【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，本题是一道探究题，出题新颖，体现知识的灵活运用．
将圆化成标准方程，假设存在以为直径的圆，圆心的坐标为因为，则有，表示出直线的方程，从而求得圆心到直线的距离，再结合圆的有关性质和圆内线段的关系列式求解即可．
 

22.【答案】解：设，
、的中点为，
，
将代入射线解析式得：，
解得：，
，，
则直线为，即．
当直线斜率不存在时，则直线的方程为，易知，，所以的中点显然不在直线上，不满足题意；
当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
设，，
由，得，
由，得，
的中点坐标为，
的中点在直线上，
，
解得，
直线的方程为：． 

【解析】此题考查了点到直线的距离公式，线段中点坐标公式，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．
根据在射线上，设，根据为线段中点，利用中点坐标公式变形出坐标，代入射线解析式求出的值，确定出与坐标，即可求出直线解析式；
讨论直线的斜率是否存在，当直线的斜率不存在时，显然不满足题意，当直线的斜率存在时，求出的中点坐标为，由的中点在直线上，得，由此能求出直线的方程．