初中数学人教版八年级上册13.3.2 等边三角形当堂达标检测题

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13.3.2　等边三角形　　　　　　　　　　 必备知识·基础练 (打“√”或“×”)1．三条边都相等的三角形是等边三角形．(√)2．三个角都相等的三角形是等边三角形．(√)3．有一个角是60°的三角形是等边三角形．(×)4．有一个角等于30°的三角形，它所对的边等于最长边的一半. (×)5．在△ABC中，若 AB＝BC＝AC，则∠A＝∠B＝∠C＝60°.(√)知识点1　等边三角形的性质1．如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，若AB＝10，BD＝6，则△ADE的周长为(　D　)A．4    B．30    C．18    D．12【解析】∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠AED＝∠B＝∠C＝60°，∴△ADE为等边三角形，∵AB＝10，BD＝6，∴AD＝AB－BD＝10－6＝4，∴△ADE的周长为12.2．如图，在正三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝__30__°.【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠BAC＝30°.3．(2020·阜新中考)如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为__102°__．【解析】如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠1＝42°，a∥b，∴∠2＝∠1＋∠BAC＝42°＋60°＝102°.知识点2　等边三角形的判定4．(易错警示题)下列推理中，错误的是(　B　)A．因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形B．因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形C．因为∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形D．因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形【解析】选项A，根据判定方法可知三个角相等的三角形是等边三角形，因此A是正确的；选项B，由AB＝AC可推出∠B＝∠C，因此它只能判定△ABC是等腰三角形，故B是错误的；选项C，可求出第三个角也是60°，因此有两个角是60°的三角形可判定为等边三角形，故C是正确的；选项D，有一个角为60°的等腰三角形，可判定为等边三角形，故D是正确的．5．(2021·长沙期中)如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠CAB＝60°，∵DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，∴∠DAB＝∠ACF＝∠CBE＝90°，∴∠FAC＝∠BCE＝∠DBA＝30°，∴∠D＝∠E＝∠F＝180°－90°－30°＝60°，∴△DEF是等边三角形． 6.(2021·北京期中)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．【证明】∵∠A＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，∴∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠EDF＝60°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△BDE与△CDF中，∴△BDE≌△CDF(ASA)，∴DE＝DF，∴△DEF是等边三角形．知识点3　含30°角的直角三角形的性质7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3 cm，则BD的长度是(　C　)A.3 cm       B．6 cmC．9 cm       D．12 cm【解析】在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°(同角的余角相等)，∵AD＝3 cm，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6 cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12 cm.∴BD＝AB－AD＝12－3＝9(cm).8．如图，∠MON＝30°，且OP平分∠MON，过点P作PQ∥OM交ON于点Q.若点P到OM的距离为2，则OQ的长为(　D　)A.1    B．2    C．3    D．4【解析】如图，过点P作PE⊥ON，∵OP平分∠MON，∴∠1＝∠2，∵PQ∥OM，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3＝∠MON＝15°，∴OQ＝PQ，∠4＝30°，∴PQ＝2PE＝4，∴OQ＝PQ＝4.9．(生活情境题)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝12 m，∠A＝30°，则立柱BC的长度为(　B　)A.4 m    B．6 m    C．8 m    D．12 m【解析】∵∠ACB＝90°，AB＝12 m，∠A＝30°，∴BC＝AB＝6 m．则立柱BC的长度为6 m．10．(2021·珠海期中)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝3 cm，求BC的长．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∵AB⊥AD，∴BD＝2AD＝2×3＝6(cm)，∵∠B＋∠ADB＝90°，∴∠ADB＝60°，∵∠ADB＝∠DAC＋∠C＝60°，∴∠DAC＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴DC＝AD＝3 cm，∴BC＝BD＋DC＝6＋3＝9(cm). 关键能力·综合练 11.如图，在以BC为底边的等腰△ABC中，∠A＝30°，AC＝8，BD⊥AC，则△ABC的面积是(　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．12      B．16C．20      D．24【解析】∵AB＝AC，AC＝8，∴AB＝8，∵BD是高，∴∠BDA＝90°，∵∠A＝30°，∴BD＝  AB＝4，∴△ABC的面积＝×8×4＝16.12．(2021·深圳质检)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　A　)A.15°    B．30°    C．45°    D．60°【解析】∵等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴BD＝CD，即：AD是BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴BE＝CE，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC＝45°，∴∠ECB＝45°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝15°.13．(2020·河南中考)如图，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(　D　)A.6      B．9C．6       D．3【解析】连接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四边形ABCD的面积＝2××3×＝3.14．(生活情境题)某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要(　B　)A.300a元       B．150a元C．450a元       D．225a元【解析】如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°，∵CD⊥BD，AC＝30 m，∴CD＝15 m，∵AB＝20 m，∴S△ABC＝AB×CD＝×20×15＝150 m2，∵每平方米售价a元，∴购买这种草皮的价格是150a元．15．(2020·常州中考)如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AB于点E，F.若△AFC是等边三角形，则∠B＝__30__°.【解析】∵EF垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠B＝∠BCF，∵△AFC为等边三角形，∴∠AFC＝60°，∴∠B＝∠BCF＝30°.16．(2021·杭州期中)如图，AD，BE是等边△ABC的两条高线，AD，BE交于点O，则∠AOB＝__120__°.【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠CAB＝∠ABC＝60°，∵AD，BE是等边△ABC的两条高线，∴∠BAD＝∠BAC＝30°，∠ABE＝∠ABC＝30°，∴∠AOB＝180°－∠BAD－∠ABE＝180°－30°－30°＝120°.17．如图，已知△ABC是等边三角形，过点B作BD⊥BC，过A作AD⊥BD，垂足为D，若△ABC的周长为12，求AD的长．【解析】∵BD⊥BC，在等边三角形ABC中，∠ABC＝60°，∴∠ABD＝90°－60°＝30°.又∵AD⊥BD，即△ABD是直角三角形，∴∠ABD所对的直角边AD是斜边AB的一半．∵等边三角形ABC的周长为12，∴其边长AB＝4.∴AD＝AB＝2.18．(素养提升题)(2021·广州期中)如图，已知△ABC和△CDE均为等边三角形，且点B，C，D在同一条直线上，连接AD，BE，交CE和AC分别于G，H点，连接GH.(1)试证明AD＝BE；(2)试证明△BCH≌△ACG；(3)试猜想：△CGH是什么特殊的三角形，并加以说明．【解析】(1)∵△ABC和△CDE均为等边三角形，∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝60°.∴∠ACD＝∠ECB，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.(2)∵△ACD≌△BCE，∴∠CBH＝∠CAG.∵∠ACB＝∠ECD＝60°，点B，C，D在同一条直线上，∴∠ACB＝∠ECD＝∠ACG＝60°.又∵AC＝BC，∴△ACG≌△BCH.(3)△CGH是等边三角形，理由如下：∵△ACG≌△BCH，∴CG＝CH，又∵∠ACG＝60°，∴△CGH是等边三角形(有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形).模型　等边三角形判定定理1的应用模型如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB.求证：△ADE是等边三角形．【证明】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB＝60°，∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°，∴AD＝AE＝DE，即△ADE是等边三角形．应用模型：在△ABC中，∵∠A＝∠B＝∠C，∴AB＝BC＝CA.关闭Word文档返回原板块