第13章 轴对称章末知识汇总 人教版数学八年级上册学案

章末知识汇总

类型一　利用对称思想求线段的长度

命题点：轴对称的性质．

例1　如图，点P是∠AOB外的一点．点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为(　　　)

A．4.5cm　　　　　 B．5.5cm

C．6.5cm  D．7cm

解析：∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，∴PM＝MQ，PN＝NR.∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，NQ＝MN－MQ＝4－2.5＝1.5(cm)，则线段QR的长为RN＋NQ＝3＋1.5＝4.5(cm)．

答案：A

类型二　等腰三角形的综合应用

命题点：利用方程思想和等腰三角形的性质与判定解题．

例2　如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，则∠DCE的大小为________．

解析：设∠A＝x°，∠B＝y°，∴x°＋y°＝90°.∵BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD.在△BCD中，∵∠BDC＋∠BCD＋∠B＝180°，∴2∠BCD＋∠B＝180°，即2∠BCD＋y°＝180°，∴∠BCD＝90°－.又∵AE＝AC，在△ACE中，同理可得：∠ACE＝90°－.∠BCD＋∠ACE＝＋＝180°－，又∵∠BCD＋∠ACE＝∠BCD＋∠ACD＋∠DCE＝∠ACB＋∠DCE＝90°＋∠DCE，

∴90°＋∠DCE＝180°－，

∴∠DCE＝180°－45°－90°＝45°.

答案：45°

点拨：本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和的性质，求解有关角的度数问题．

类型三　等边三角形的性质与判定

命题点：1.等边三角形的性质与判定；2.含30°角的直角三角形的性质．

例3　如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

(1)求∠F的度数；

(2)若CD＝2，求DF的长．

解析：(1)根据平行线的性质可得∠EDC＝∠B＝60°，在Rt△DEF中，根据三角形内角和定理求解∠F；(2)易证△EDC是等边三角形，再根据等边三角形的性质等求解．

解：(1)∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°.

∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.

∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.

∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.

(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，

∴△EDC是等边三角形，

∴DE＝CE＝DC＝2，∠ECD＝60°.

∵∠F＝30°，

∴∠CEF＝∠ECD－∠F＝30°，

∴∠F＝∠CEF.∴CE＝CF＝2.

∴DF＝DC＋CF＝4.

类型四　等边三角形与直角三角形的综合

命题点：利用等边三角形的性质与判定和含30°角的直角三角形的性质解方位角问题．

例4　如图所示，某船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向东航行到C

处，再观测海岛B在北偏东30°，航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°，当轮船到达C处时恰与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间．

解：由题意可知：∠BAD＝30°，∠BCD＝∠BDC＝60°，∴△BCD为等边三角形，△ABD为直角三角形．∵BC＝20海里，∴CD＝BD＝20海里．

又∵BD＝AD，∴AD＝40海里．

∵∠BCD＝∠BAC＋∠ABC，

∴∠ABC＝60°－30°＝30°，

∴△CAB为等腰三角形．

∴CA＝CB＝20海里．

∴轮船从A到C的时间为＝2(小时)，

从A到D的时间为＝4(小时)．

∴轮船到达C处的时间为13时30分，到达D处的时间为15时30分．

点拨：解答此题的关键是证得△BCD，△ABD，△CAB分别为等边三角形、直角三角形、等腰三角形．