初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形第2课时学案

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第十三章 轴对称13．3 等腰三角形13．3．1  等腰三角形第2课时 等腰三角形的判定学习目标：1．掌握等腰三角形的判定方法．          2．掌握等腰三角形的判定定理，并运用其进行证明和计算．重点：等腰三角形的判定方法．难点：运用等腰三角形的判定定理进行证明和计算．自主学习教学备注：学生在课前完成自主学习部分一、知识链接1．说一说等腰三角形的定义．  2．忆一忆，在学过的知识中，有哪些证明线段相等的方法？  3．等腰三角形中，常用的作辅助线的方法有几种？分别是什么？  课堂探究 一、要点探究探究点：等腰三角形的判定互动探究：如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？ 建立数学模型：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？你能验证你的结论吗？    要点归纳：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．应用格式：在△ABC中，           ∵∠B=∠C，( 已知  )          ∴AC=_____．(             )          即△ABC为等腰三角形． 辨一辨：如图，下列推理正确吗?  典例精析例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC． 求证：AB=AC． 例2：已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD．方法总结：平分角+平行=等腰三角形．变式训练：如图，把一张长方形的纸沿着对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？针对训练1．在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定 △ABC是等腰三角形的是（        ）A．∠A＝50°，∠B＝70°          B．∠A＝70°，∠B＝40°C．∠A＝30°，∠B＝90°          D．∠A＝80°，∠B＝60°2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于_______．例3：已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．例4：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．例5：如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O．过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F．探究EF、BE、FC之间的关系． 想一想：若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？ 方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题．  二、课堂小结     当堂检测 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有(　　)A．5个    B．4个    C．3个    D．2个   第1题图                       第3题图2．一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，则这个三角形是（       ）A．钝角三角形   　  B．直角三角形    C．等腰三角形    　 D．等边三角形3．如图，直线a、b相交于点O，∠1=40°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（　　）A．1个        B．2个      C．3个       D．4个 4．如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBA=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________．              第4题图                    第5题图5．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____．6．如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°．求从B处到灯塔C的距离．7．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D．求证：BC＝CD．拓展提升8．在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？ 
参考答案自主学习一、知识链接1．有两边相等的三角形是等腰三角形．2．全等三角形对应的边相等；角平分线上任一点到角两边的距离相等登．3．3种，作顶角平分线，底边上的高或底边上的中线．课堂探究一、要点探究探究点：等腰三角形的判定建立数学模型  AB=AC做一做  AB=AC证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D．在△ABD与△ACD，∴ △ABD ≌ △ACD． ∴AB=AC．要点归纳  AB  等角对等边辨一辨 错，因为都不是在同一个三角形中．典例精析例1  证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 例2  证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD．变式训练  解：是．由折叠可知，∠EBD=∠CBD．∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，△EBD是等腰三角形．针对训练1．B   2．3 cm例3  解：作法：1．作线段AB=a．2．作线段AB的垂直平分线MN，交AB于点D．3．在MN上取一点C，使DC=h．4．连接AC，BC，则△ABC即为所求．例4  证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°．∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD．∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．例5  解：EF=BE+CF．理由如下：∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO． ∵ BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，∴BE＝OE，CF=OF，∴EF=EO+FO＝BE+CF．当堂检测1．A   2．C   3．D   4．36°  72°  △ABC、△DBA、△BCD   5．96．解：∵∠NBC=∠A+∠C，∴∠C=80°- 40°= 40°，∴∠C = ∠A，∴BA=BC（等角对等边）．∵AB=20×（12-10）=40(海里)，∴BC=40海里．答：B处距离灯塔C 40海里．7．证明：连接BD．∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵∠ABC=∠ADC，∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，即∠DBC=∠BDC，∴BC=CD．拓展提升8．解：3种“补出”方法：方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．方法3：对折．