13.3 等腰三角形 甘肃省八年级数学期末试题选编(含答案)

这是一份13.3 等腰三角形 甘肃省八年级数学期末试题选编(含答案)，共32页。
13.3 等腰三角形

一、单选题
1．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）已知等腰三角形的一个角为40°，则其底角为（　　）
A．70° B．100° C．40° D．40°或70°
2．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在ABC中，AB=AC，D是BC的中点，∠B=35°，则∠BAD=（   ）

A．110° B．70° C．55° D．35°
3．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9
4．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图，平面直角坐标系中，点M的坐标为（2，2），点N在轴上，若△OMN是等腰三角形，则满足条件的点N共有（   ）个

A．3 B．4 C．5 D．8
5．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）等腰三角形一边长等于2，一边长等于3，则它的周长是（   ）
A．5 B．7 C．8 D．7或8
6．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）已知等腰三角形的两条边长分别为4和9，则它的周长为（    ）
A．17 B．22 C．23 D．17或22
7．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
8．（2022秋·甘肃庆阳·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，连结AD，AE是∠BAD的平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，若EF=3，则AE的长是（    ）

A．3 B．6 C．9 D．12

二、填空题
9．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点，，则的度数是 ．

10．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．

11．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）在等腰三角形ABC中，，则 .
12．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，在中，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，，，则的周长等于 ．

13．（2022秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，其中点A1，A2，…，An在x轴上，点B1，B2，…，Bn在直线y＝x上，已知OA1＝1，则OA2021的长为 ．

14．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，MN过点O，且MN∥BC，分别交AB、AC于点M、N．则△AMN的周长为 ．

15．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为 ．
16．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）若△ABC的边AB=6cm，周长为16cm，当边 时，△ABC为等腰三角形．
17．（2022秋·甘肃武威·八年级统考期末）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角的度数为
18．（2022秋·甘肃天水·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边分别为 4 和 10，则它的周长为 ．
19．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，BC=2cm，DE是AC边的垂直平分线，连接CD，则△BCD的周长是 ．

20．（2022春·甘肃平凉·八年级统考期末）如图．已知直线，过点作x轴的垂线交直线l于点N，，过点N作直线l的垂线交x轴于点；过点作x轴的垂线交直线l于点，过点作直线l的垂线交x轴于点，…；按此作法继续下去，则点的坐标为 ．


三、解答题
21．（2022春·甘肃张掖·八年级期末）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．

22．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF．

23．（2022春·甘肃白银·八年级统考期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，，求证：

(1)△ABC是等腰三角形；
(2)．
24．（2022秋·甘肃平凉·八年级统考期末）已知，如图，点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB＝DE，BF＝CE．

求证：（1）△ABC≌△DEF；
（2）GF＝GC．
25．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，，.

求证：
(1)
(2)
26．（2022秋·甘肃庆阳·八年级期末）如图，在中，的平分线交于点，．求证：是等腰三角形．

27．（2022秋·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．
（1）求证：△ABE≌△ACF；
（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．

28．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE//BC．

（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由．
（2）若M为DE上的点，且BM平分，CM平分，若的周长为20，BC=8．求的周长．
29．（2022秋·甘肃武威·八年级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=10厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上以4厘米/秒由点A出发向C点运动．设运动时间为t秒．

(1)用含t的式子表示第t秒时，BP=________厘米，CQ=________厘米．
(2)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过2秒后，△BPD与△CPQ是否全等？请说明理由．
(3)如果点P与点Q分别从B，A两点同时出发，经过几秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形？
30．（2022秋·甘肃陇南·八年级统考期末）如图，为等边三角形，，，相交于点，于，，．

(1)求证：；
(2)求的长．
31．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP交于点H，求证：BQ⊥CP．

32．（2022秋·甘肃定西·八年级统考期末）问题发现：（1）如图1，在中，分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则的数量关系是_______，的数量关系是________．
拓展探究：（2）如图2，和均为等边三角形，点在同一直线上，连接．试求的度数及线段之间的数量关系．
解决问题：（3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点在同一直线上，为中边上的高，连接．试求的度数及线段之间的数量关系．

33．（2022秋·甘肃天水·八年级统考期末）数学模型（“一线三等角”模型）

(1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE．
(2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）；
(3)如图3，D，E是直线上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由．
34．（2022春·甘肃兰州·八年级统考期末）如图，△ABC为等边三角形，点D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，且CE＝BD，连接AD，AE，DE．

(1)求证：；
(2)试判断△ADE的形状，并说明理由．
35．（2022秋·甘肃金昌·八年级期末）如图，为等边三角形，，与相交于点，于Q，，．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)求的长．
36．（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期末）如图，已知中，，于点，的平分线分别交，于点．

(1)试说明是等腰三角形；
(2)若点恰好在线段的垂直平分线上，猜想：线段与线段的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若，，求的面积．

参考答案：
1．D
【分析】由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40°的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角==70°；
当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，
故它的底角的度数是70°或40°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．
2．C
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
【详解】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵∠B＝35°，
∴∠BAD＝90°−35°＝55°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
3．C
【分析】分为两种情况：①以为腰时；②以为底时，符合条件的总数即为所求．
【详解】分为两种情况：①以为腰时，符合条件的有点C、D、E、F、G、H；②以AB为底时，符合条件的有点I、J；相加即可得出答案．

①以为腰时，符合条件的有点C、D、E、F、G、H；
②以为底时，符合条件的有点I、J；
共6+2=8，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意：有两边相等的三角形是等腰三角形．
4．B
【分析】根据等腰三角形的定义，以底边分类讨论分别得出个数，然后合并即可得出结论
【详解】解：若OM为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若ON为底边，则满足条件的点N有1个，在点O的右侧
若NM为底边，则满足条件的点N有2个，在点O的右侧一个，在点O的左侧一个
由上可知，满足条件的点N共有4个
故选：B
【点睛】本题考查等要三角形的定义，熟练掌握定义，分情况讨论是解本题的关键
5．D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＞3，所以能构成三角形，周长是2+2+3=7；
当腰为3时，3+2＞3，所以能构成三角形，周长是：2+3+3=8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．B
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）如果腰长为4，则三边是：4，4，9；不满足三角形两边之和大于第三边的性质，不成立；
（2）如果腰长为9，则三边是：4，9，9；满足三角形两边之和大于第三边的性质，成立；周长=9+9+4=22．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
7．C
【分析】由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．
【详解】解：连接BE，

∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，
∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，
∵EF⊥AB，
∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，
∴BE=DE，
在Rt△BEF中，EF=1，
∴BE=2EF=2，
∴BE=DE=2，
∴DF=EF+DE=3，
故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．
8．B
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，，，再根据角平分线，求出，然后根据平行线的性质求出，从而得到，最后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：∵，AD是的中线，
∴，，．
∵AE是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，利用数形结合的思想是解题关键．
9．/50度
【分析】由的垂直平分线交于点，可得，即可证得，又由等腰中，，可得，继而可得：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
，
等腰中，，
，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，注意方程思想的应用．
10．112
【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO=28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB=OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE=CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．
【详解】如图，连接OB、OC，

∵OA平分∠BAC，∠BAC=56°，
∴∠BAO=∠BAC=×56°=28°，
∵AB=AC,∠BAC=56°，
∴∠ABC= (180°−∠BAC)=×(180°−56°)=62°，
∵OD垂直平分AB，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO=28°，
∴∠OBC=∠ABC−∠OBA=62°−28°=34°，
由等腰三角形的性质，OB=OC，
∴∠OCE=∠OBC=34°，
∵∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴∠OEC=180°−2×34°=112°.
故答案为112.
【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于利用等腰三角形的性质求解.
11．400
【详解】试题分析：由条件可判断∠A为顶角，再利用三角形内角和定理求得∠B．
解：∵100°，
∴∠A只能为△ABC的顶角，
∵△ABC为等腰三角形，
∴∠B=∠C=×(180°−100°)=40°，
故答案为40°.
12．18
【分析】利用角平分线得到，，根据得到，，于是得到，可得，即可求出的周长．
【详解】解：与 的平分线交于点，
，

，，
，，
，，
的周长
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，等边对等角，平行线的性质，掌握角平分线的性质，平行线的性质是解题的关键．
13．
【分析】根据△A1B1A2为等腰直角三角形，得出A1B1OA2，∠B1A2O=45°，根据点B1在直线y=x上，∠B1Ox=45°=∠B1A2O，OA1= A1A2，即点A1为OA2的中点，根据OA1=1，得出OA2=2OA1=2，根据△A2B2A3为等腰直角三角形，得出A2B2OA2，∠B2A3O=45°=∠B2OA3，得出OA2=A2A3=2，可求OA3=OA2+A2A3=2+2=4=22，根据△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，可得∠B3A4O=…=∠BnAn＋1O=45°=∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn-1An-1⊥OAn，得出OA4=2OA3=2×4=8=23，…OAn=2OAn-1=2×2n-2=2n-1，当n=2021时，代入求值即可．
【详解】解：∵△A1B1A2为等腰直角三角形，
∴A1B1OA2，∠B1A2O=45°，
又∵点B1在直线y=x上，
∴∠B1Ox=45°=∠B1A2O
∴OA1= A1A2，即点A1为OA2的中点，
又∵OA1=1，
∴A1B1=A1A2=1 ．OA2=2OA1=2，
∵△A2B2A3为等腰直角三角形，点B2在直线y=x上，
∴A2B2OA2，∠B2A3O=45°=∠B2OA3，
∴OA2=A2A3=2，
∴OA3=OA2+A2A3=2+2=4=22，
∵△A3B3A4，…△AnBnAn＋1都是等腰直角三角形，点B3，Bn在直线y=x上，
∴∠B3A4O=…=∠BnAn＋1O=45°=∠B3OA4=∠BnOAn，B3A3⊥OA4，…，Bn-1An-1⊥OAn，
∴OA4=2OA3=2×4=8=23，
…
∴OAn=2OAn-1=2×2n-2=2n-1
当n=2021时，
∴OA2021=22021-1=22020．
故答案为：22020．
【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，规律型：图形的变化类，等腰直角三角形性质．
14．18
【分析】由在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，过点O作MN∥BC，易证得△BOM与△CON是等腰三角形，继而可得△AMN的周长等于AB+AC．
【详解】∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠ABO＝∠OBC，
∵MN∥BC，
∴∠MOB＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠MOB，
∴BM＝OM，
同理CN＝ON，
∴△AMN的周长是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝10+8＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，平行线的判定，三角形周长的求法，等量代换等知识点．
15．6或8/8或6
【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．
【详解】解：设底边长为x，腰长为y，
则，
①当腰长时，
，
；
三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；
故；
②当底边长时，
，
；
三边长分别为7，7，6能构成三角形，符合题意；
故；
综上所述，或；
故答案为：6或8．
【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键．
16．6或5或4
【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况讨论，当时，当时，当时，再结合三角形的三边关系可得答案.
【详解】解： △ABC的边AB=6cm，周长为16cm，

当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，则 符合三角形的三边关系，
当时，符合三角形的三边关系，
所以为6cm或5cm或4cm.
故答案为：6或5或4
【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键.
17．60°或120°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【详解】解：当高在三角形内部时（如图1），

∵，
∴，即顶角是60°；
当高在三角形外部时（如图2），
∵，
∴，
∴，即顶角是120°．
故答案为：60或120．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出60°一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形．因此此题属于易错题．
18．24
【分析】分4是腰长和10是腰长两种情况，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
（1）当4是腰长时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，
，
不满足三角形的三边关系定理，舍去；
（2）当10是腰长时，
则这个等腰三角形的三边长分别为，
，
满足三角形的三边关系定理，
此时它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长是24，
故答案为：24．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理，正确分两种情况讨论是解题关键．
19．6cm.
【详解】试题解析：∵DE是AC边的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠ACD=∠A=30°，
∵Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=30°，
∴∠B=∠BCD=60°，
∴∠BDC=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∵BC=2cm，
∴△BCD的周长是：2+2+2=6（cm）．
考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等边三角形的判定与性质．-
20．
【分析】由∠MON=60°，从而得到∠MNO=∠OM1N=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OM1=4OM，然后表示出OMn与OM的关系，再根据点Mn在x轴上写出坐标即可．
【详解】解：∵点M（1，0），
∴OM=1，
∵∠NOM=60°，
∴ONM=30°，
∴ON=2OM=2．
又∵NM1⊥l，即∠ONM1=90°，
∴∠OM1N=30°，OM1=2ON=41OM=4．
同理，OM2=4OM1=42OM，
OM3=4OM2=4×42OM=43OM，
…
OMn=4nOM=4n．
∴点Mn的坐标是（4n，0）．
故答案是：（4n，0）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出变化规律是解题的关键．
21．30°
【分析】根据DE垂直平分AB，求证∠DAE=∠B，再利用角平分线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数．
【详解】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，
∴∠DAE= ∠CAB=（90°-∠B），
∵DE垂直平分AB，
∴AD=BD，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAE=∠CAB=（90°-∠B）=∠B，
∴3∠B=90°，
∴∠B=30°．
若DE垂直平分AB，∠B的度数为30°．
【点睛】此题本题考查的知识点为线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识点，比较简单．
22．见解析
【分析】根据角平分线的性质定理可得DE＝DF，可证得Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到AE＝AF，再根据等腰三角形的性质，即可求证．
【详解】证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴AD垂直平分EF．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）由AE//BC可得，由AE平分得，从而，故可得结论；
（2）根据SAS证明即可证明AF=CE．
【详解】（1）∵AE//BC
∴
∵AE平分
∴
∴
∴，即△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）可得，
∵
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质，能判断出等角对等边是解答本题的关键．
24．（1）证明见解析，（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据BF＝CE证明BC＝EF，然后利用“边角边”即可证明△ABC和△DEF全等；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DFE，再根据等角对等边证明即可．
【详解】证明：（1）∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+FC，
即BC＝EF，
∵AB⊥BE，DE⊥BE，
∴∠B＝∠E＝90°，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ACB＝∠DFE       
∴GF＝GC．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的判定，比较简单，证明出BC＝EF是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）求出，利用SAS证明即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，根据等角对等边可得结论．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵在△ABC和△DEF中，，
∴（SAS）；
（2）∵
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等角对等边，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
26．见解析
【分析】根据的平分线交于点，得到∠ABD=∠CBD；根据，得到∠BDE=∠CBD；继而得到∠ABD=∠BDE，得证EB=ED完毕．
【详解】因为的平分线交于点，
所以∠ABD=∠CBD；
因为，
所以∠BDE=∠CBD；
所以∠ABD=∠BDE，
所以EB=ED，
故是等腰三角形．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角的平分线的定义即把角分成相等两个角的射线，等腰三角形的判定，熟练掌握性质，等腰三角形的判定是解题的关键．
27．（1）见解析；（2）80°
【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；
（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．
【详解】解：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACF，
∵∠BAF＝∠CAE，
∴∠BAF﹣∠EAF＝∠CAE﹣∠EAF，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）；
（2）解：∵B＝∠ACF＝30°，
∵∠AEB＝130°，
∴∠BAE＝180°﹣130°﹣30°＝20°，
∵△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝20°，
∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ADC＝＝80°．
答：∠ADC的度数为80°．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
28．（1）是等腰三角形，理由详见解析；（2）28．
【分析】（1）由DE//BC，可知∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边即可求得结论；
（2）由于DE//BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，易证BD=DM，ME=CE，根据△ADE的周长为20，BC=8，即可求出△ABC的周长．
【详解】（1）∵DE//BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形．
（2）∵DE//BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，
∴∠MBC=∠DMB=∠DBM，∠MCB=∠MCE=∠EMC．
∴BD=DM，ME=CE．
∵△ADE的周长=AD+AE+DM+ME=20，
∴AD+AE+BD+CE=20．
∴△ABC的周长=（AD+AE+BD+CE）+BC=20+8=28．
29．(1)2t，(12－4t)
(2)△BPD与△CPQ全等，理由见解析
(3)经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形

【分析】（1）根据路程＝速度×时间列式即可；
（2）当t＝2时，求出BP＝2t＝4，CQ＝12−4t＝4，PC＝10－4＝6，BD＝＝6，由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C，根据全等三角形的判定可得出结论；
（3）由等腰三角形的性质得出10−2t＝12−4t，解方程即可得出答案．
（1）
解：由题意得，BP＝2t厘米，CQ＝（12−4t）厘米，
故答案为：2t，（12−4t）；
（2）
△BPD与△CPQ全等，
理由：当t＝2时，BP＝2t＝4，CQ＝12−4t＝4，PC＝10－4＝6，BD＝＝6，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD和△CQP中，，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（3）
当△CPQ是以PQ为底的等腰三角形时，有CP＝CQ，
∴10−2t＝12−4t，
解得：t＝1，
即经过1秒后，△CPQ是以PQ为底的等腰三角形．
【点睛】此题考查了列代数式，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
30．(1)见解析
(2)12

【分析】（1）根据证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
，
；
（2），
，
，
又，
．
，
．
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，证明是解题的关键．
31．见解析
【分析】由等边三角形的性质可得出∠CAP=∠CBQ=60°，求出∠BCP=30°，由三角形内角和定理得出∠BHC=90°，则可得出结论．
【详解】证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
32．（1）；
（2），；
（3），．
【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，由， 容易得；
（2）由等边三角形的性质先找，然后证明，从而可以得出答案；
（3）由和均为等腰直角三角形可得，进而得到，从而即可得出答案．
【详解】解：（1），理由如下：
是的一个外角，
，
， ，
，
故答案是：；
（2），，理由如下：
和均为等边三角形，
，
，即．
在和中，，
，
．
为等边三角形，
．
点在同一直线上，
，
，
．
（3）， ，理由如下：
和均为等腰直角三角形，，
，即．
在和中，
，
，
．
是等腰直角三角形，为斜边上的高，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定及性质，根据条件得出全等三角形是解题的关键．
33．(1)见解析
(2)a+b
(3)△DEF是等边三角形，理由见解析．

【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△CAE；
（2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解；
（3）由“SAS”可证△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得结论．
【详解】（1）证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°，
∴∠1＝∠C，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
（2）解：∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∵CE＝a，BD＝b，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b；
（3）解：△DEF是等边三角形，理由如下：
∵△ABF和△ACF都是等边三角形
∴AB＝AC，
由（2）知：△ABD≌△CAE，
∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE，
∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形，
∴∠CAF＝60°，AB＝AF，
∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
即∠DBF＝∠FAE，
在△BDF和△AEF中，
，
∴△BDF≌△AEF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°，
∴△DEF是等边三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
34．(1)见解析
(2)等边三角形，见解析

【分析】（1）由等边三角形的性质可得∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，由角平分线的性质可得∠ACE=∠DCE=60°，可得结论；
（2）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得AD=AE，∠BAD=∠CAE，可得结论．
【详解】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC，
即∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
∴∠BAC=∠ACE=60°，
∴AB∥CE；
（2）解：△ADE是等边三角形，理由如下：
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
又∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
35．(1)答案见解析
(2)
(3)

【分析】（1）根据SAS证明与全等即可；
（2）根据全等三角形的性质得出，进而解答即可；
（3）根据含的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：为等边三角形，
，，
又，
在与中，，
（SAS），
；
（2）解：由（1）得，，


；
（3）解：，，
，
，
又，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质．熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
36．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)4

【分析】（1）先根据题意得出，再根据角平分线定义及三角形外角的性质求出，根据等腰三角形的判定即可得到结论；
（2）由垂直平分线的性质定理和角平分线的定义得出，再由三角形内角和定理求出，再根据含30°的直角三角形的性质即可求解；
（3）过点作于点，根据角平分线的性质定理求出，即可求三角形面积．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∵是的平分线，
∴，
∵，，
∴
∴．
∴是等腰三角形；
（2）
理由如下：
∵点恰好在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∴．
（3）过点作于点，

由（2）得，，
∵，
∴，
∵是的平分线，，

∴
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．