初中数学人教版八年级上册13.1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时学案

第十三章 轴对称

13．1 轴对称

13．1．2  线段的垂直平分线的性质

第1课时 线段垂直平分线的性质运判定

学习目标：1．能用尺规作已知线段的垂直平分线．

          2．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．

          3．能够运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．

重点：用尺规作已知线段的垂直平分线．

难点：运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．

课堂探究

一、要点探究

探究点1：线段垂直平分线的性质

探究发现：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．

P1A ____P1B

P2A ____ P2B

P3A ____ P3B

猜想：点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离分别相等．

由此你能得到什么结论？

命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

你能验证这一结论吗？

验证结论：

已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P在l上．

求证：PA =PB．

典例精析

例1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为(　　)

A．5 cm

B．10 cm

C．15 cm

D．17．5 cm

方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．

练一练：

1．如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（    ）

A．  6        B．  5       C．   4      D． 3

2．如图②所示，在△ABC中，BC=8 cm，边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E， △BCE的周长等于18 cm，则AC的长是          ．

例2：尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．

已知：直线AB和AB外一点C ．

求作：AB的垂线，使它经过点C ．

想一想：（1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？

（2）为什么要以大于DE的长为半径作弧？  

（3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？

例3：已知：如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于P．求证：PA=PB=PC．

方法总结：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等．

例4：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．

求证：（1）FC＝AD（2）AB＝BC＋AD．

探究点2：线段垂直平分线的判定

合作探究：

想一想：如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？

已知：如图，PA =PB．

求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．

知识要点：

线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

应用格式：

∵PA =PB，

∴点P 在AB 的垂直平分线上．

作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上．

想一想：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？

应用格式：

∵AB =AC，MB =MC，

∴直线AM 是线段BC 的垂直平分线．

作用：判断一条直线是线段的垂直平分线的方法．

例5：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．

求证：OE是CD的垂直平分线．

二、课堂小结

当堂检测

2．在锐角△ABC内有一点P，满足PA=PB=PC，则点P是△ABC(     )

A．三条角平分线的交点   B．三条中线的交点

C．三条高的交点    D．三边垂直平分线的交点

3．已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有　　　　种．

4．下列说法：

①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；

②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；

③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；

④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．

其中正确的有               （填序号）．

5．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE，AB+BC=16 cm，则△BCE的周长是        cm．

6．如图所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，试说明AD与EF的关系．

拓展提升：

7．如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O．

（1）找出图中相等的线段；

（2）若OE，OF分别是点O到∠CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系．

参考答案

课堂探究

一、要点探究

探究点1：线段垂直平分线的性质

探究发现  ＝  ＝  ＝           

验证结论  证明：∵l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB．

又AC =CB，PC =PC，∴△PCA ≌△PCB（SAS）．∴PA =PB．

典例精析

例1  C  解析：∵△DBC的周长为BC+BD+CD＝35 cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC+AD+CD＝35 cm．∵AC＝AD+DC＝20 cm，∴BC＝35－20＝15(cm)．故选C．

练一练：

1．B   2．10 cm

例2  解：作法：（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．

（2）以点C 为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和点E．

（3）分别以点D和点E为圆心，大于   DE的长为半径作弧，两弧相交于点F．

（4）作直线CF．

直线CF就是所求作的垂线．

例3  证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA=PB．

同理，PB=PC．∴PA=PB=PC．

例4：证明：（1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF．∵E是CD的中点，∴DE＝EC．

又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD．

（2）∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF．∵BE⊥AE，∴BE是线段AF的垂直平分线，

∴AB＝BF＝BC＋CF．∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD．

探究点2：线段垂直平分线的判定

想一想  证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C．则∠PCA =∠PCB =90°．

在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC =BC．

又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．

想一想  与A，B的距离相等的点都在直线l上，所以直线l可以看成与A、B两点的距离相等的所有点的集合．

例5：证明：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴DE=CE．

又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC．∴DO=CO．∴OE是CD的垂直平分线．

当堂检测

6．解：AD垂直平分EF．

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°．

又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF．

∴A、D均在线段EF的垂直平分线上，即直线AD垂直平分线段EF．

拓展提升：

7．解：（1）∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD．

（2）OE＝OF．理由如下：

在△AOC和△AOD中，∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，

∴∠CAO＝∠DAO．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF．