2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）含参考答案

2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．

2．若的共轭复数为，且，则　　

A． B． C． D．

3．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是　　

A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 

B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 

C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 

D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间

4．的展开式中的系数为　　

A．9 B．15 C．21 D．24

5．已知，且，则　　

A． B． C． D．

6．某校举办演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再将剩下的分数的平均分，作为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别应为　　

A．？，86 B．？，87 C．？，87 D．？，86

7．如图，长方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点．给出以下结论：

①在运动的过程中，直线能与平行；

②直线与必然异面；

③设直线，分别与平面相交于点，，则点可能在直线上．其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

8．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为　　

A． B． C．2 D．3

9．某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为　　

A．168 B．192 C．240 D．336

10．已知函数．若存在，，，使得，则的最大值为　　

A． B． C． D．

11．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

12．已知，，，，则三数的大小关系是　　

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数，满足则的最大值为 　　．

14．已知，，若向量，的夹角为，则　　．

15．如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　　．

16．已知抛物线，圆过定点，圆心在上运动，且圆与轴交于，两点，记，，则的最大值 　　．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（12分）某市对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果（结果分为“良好以下”或“良好及以上” 进行分析，得到如下的列联表：

（1）计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望．

附表及公式：

其中，．

18．（12分）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19．（12分）已知棱锥的底面五边形中，为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，又．

（1）在线段上找一点，使得平面平面，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，二面角为，求与平面所成角的正弦值．

20．（12分）在平面直角坐标系内，椭圆过点，离心率为．

（1）求的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

21．已知函数在上的最大值为．

（1）求的值；

（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]↩

22．（10分）在平面直角坐标系中，为曲线为参数）上的动点，若将点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）设，是上异于极点的两点，且，求面积的最大值．

[选修4-5：不等式选讲]↩

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记函数的最大值为，若，证明：．

2023年四川省天府名校高考数学模拟试卷（理科）（二）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则　　

A． B． C． D．

【解析】：集合，

，则．故选：．

2．若的共轭复数为，且，则　　

A． B． C． D．

【解析】：，则，故．故选：．

3．某学校在高三年级中抽取200名学生，调查他们课后完成作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．根据此直方图得出了下列结论，其中不正确的是　　

A．所抽取的学生中有40人在2.5小时至3小时之间完成作业 

B．该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为0.1 

C．估计该校高三年级学生的平均做作业的时间超过3小时 

D．估计该校高三年级有一半的学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间

【解析】：对于，在2.5小时至3小时之间的人数为人，故正确；

对于，该校高三年级全体学生中，估计完成作业的时间超过4小时的学生概率为，故正确；

对于，该校高三年级学生的平均做作业的时间为，故错误；

对于，由图可估计该校高三年级学生做作业的时间在2.5小时至4.5小时之间的概率为，故正确．

故选：．

4．的展开式中的系数为　　

A．9 B．15 C．21 D．24

【解析】：根据二项式定理可得多项式的展开式中含的项为：

，所以的系数为9．故选：．

5．已知，且，则　　

A． B． C． D．

【解析】：因为，

所以，

因为，

所以，即①，

所以，

又②，

①②联立得（舍或，

因为，且，

所以．

故选：．

6．某校举办演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再将剩下的分数的平均分，作为选手的最终得分．现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为，，，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的分别应为　　

A．？，86 B．？，87 C．？，87 D．？，86

【解析】：由模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以，

由5个数据分别是78、86、85、92、94，

计算平均数为．

故选：．

7．如图，长方体中，点是棱的中点，点是棱上的动点．给出以下结论：

①在运动的过程中，直线能与平行；

②直线与必然异面；

③设直线，分别与平面相交于点，，则点可能在直线上．其中，所有正确结论的序号是　　

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③

【解析】：长方体中，，，，

连接，，，当，分别是棱，中点时，由勾股定理得：

，，，

四边形是平行四边形，运动的过程中，直线能与平行，与相交，故①正确，②错误；

以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，

则当点，分别是、中点，且长方体为正方体时，

设棱长为2，则，0，，，，，，2，，

，，，，，，则，

又两向量有公共点，，，三点共线，

点可能在直线上，故③正确．

故选：．

8．已知双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，过点作轴的垂线，交于点．若，则双曲线的离心率为　　

A． B． C．2 D．3

【解析】：设，可得，

双曲线的左，右顶点分别为，，点在双曲线上，

过点作轴的垂线，交于点．，

过作轴的垂线，垂足为，所以，

可得，结合，

可得，又，所以双曲线的离心率为：．

故选：．

9．某班在一次班团活动中，安排2名男生和4名女生讲演，为安排这六名学生讲演的顺序，要求两名男生之间不超过1人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总数为　　

A．168 B．192 C．240 D．336

【解析】：第一位和最后一位出场讲演的是女生，此时有种，

中间4人，为2男2女，任意排列有种，

若中间2名女生，则有种，则满足条件的有种，

则共有种不同的安排方法．

故选：．

10．已知函数．若存在，，，使得，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【解析】：因为，

则由题意可得，是函数取得最大值的的值，

则令，解得，

又，，，要求的最大值，只需令，则，令，则，

所以的最大值为．

故选：．

11．在四面体中，，，，则该四面体的外接球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解析】：由，，，

可把四面体扩充为一个长、宽、高分别为，，的长方体，且面上的对角线分别为3，3，4，

并且，，，

设球半径为，则有，

，

该四面体的外接球的表面积为．

故选：．

12．已知，，，，则三数的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解析】：由于，函数是减函数，

又因为，，

，

又，

故选：．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知实数，满足则的最大值为 　1　．

【解析】：由约束条件作出可行域如图，

由图可知，

令，得，由图可知，当直线过时，

直线在轴上的截距最小，有最大值为1．

故答案为：1．

14．已知，，若向量，的夹角为，则　　．

【解析】：，，

则，，

解得：．

故答案为：．

15．如图，在平面四边形中，，，为等腰直角三角形，且，则长的最大值为 　6　．

【解析】：设，则由余弦定理可得，

故，

，则，且，

因为为等腰直角三角形，且，故，，

在中，由余弦定理可得，

整理得

，

设，则，

故，整理得，

故△，

整理得到，即，即，

当时，，即，此时，

因为，故此时唯一存在，综上，长的最大值为6．

故答案为：6．

16．已知抛物线，圆过定点，圆心在上运动，且圆与轴交于，两点，记，，则的最大值 　　．

【解析】：设，则．半径，

可得的方程为，

令，得，

，解得，

不妨设，．

，，

，

当时，由得，．

当且仅当，即时取等号．

当时，．

综上可知：当时，所求最大值为．

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17．（12分）某市对高一年级学生进行体质测试（简称体测），现随机抽取了900名学生的体测结果（结果分为“良好以下”或“良好及以上” 进行分析，得到如下的列联表：

（1）计算并判断是否有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

（2）将频率视为概率，用样本估计总体．若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，记被抽取的4名学生的体测等级为“良好及以上”的人数为，求的分布列和数学期望．

附表及公式：

其中，．

【解析】：（1）易知，

所以没有的把握认为本次体测结果等级与性别有关系；

（2）若从全市高一所有学生中，每次采取随机抽样的方法抽取1名学生成绩进行具体指标分析，

连续抽取4次，且每次抽取的结果相互独立，

易知体测结果等级为“良好及以上”的频率为，

而的所有取值为0，1，2，3，4，

此时，，，，，

则的分布列为：

所以．

18．（12分）已知数列的各项均为正整数且互不相等，记为的前项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列是等比数列；②数列是等比数列；③．

注：如选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

【解析】：选①②为条件，③为结论，

即已知数列是等比数列，数列是等比数列，求证：．

证明：设等比数列的公比为，由题意知且，

则，，，

是等比数列，，

，

展开整理得，

，；

选择①③为条件，②为结论，

即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．

证明：设等比数列的公比为，由题意知且，

，，

，，

，，

，

数列是首项为，公比为的等比数列；

选择②③为条件，①为结论，

即已知数列是等比数列，，求证：数列是等比数列．

证明：设数列的公比为，由题意得，且，

则，

，

，且，，，

当时，，

，

数列是首项为，公比为的等比数列．

19．（12分）已知棱锥的底面五边形中，为边长为2的正方形，为等腰直角三角形，，又．

（1）在线段上找一点，使得平面平面，并说明理由；

（2）在（1）的条件下，二面角为，求与平面所成角的正弦值．

【解析】：（1）线段的中点即为所求点．

理由如下：

连接交于点，连接，，四边形是正方形，为中点，又为线段的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面，

又依题意可得，又平面，平面，

所以平面，

又，，平面，

所以平面平面；

（2）由题意可得，，所以直线平面，，

所以为二面角的平面角，即，

如图，以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，，，，，，，，，

则，，，，0，，

设平面的法向量，，，

由，可取，0，，

又，，，

设与平面所成的角为，则

，

所以与平面所成角的正弦值为．

20．（12分）在平面直角坐标系内，椭圆过点，离心率为．

（1）求的方程；

（2）设直线与椭圆交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【解析】：（1）由题可得，，①

由，得，即，则，②

将②代入①，解得，，

故的方程为．

（2）设存在点满足条件．

记，，，，

由消去，得．

显然，判别式△，

所以，，

于是

，

上式为定值，当且仅当，

解得或．

此时，或．

所以，存在定点或者满足条件．

21．已知函数在上的最大值为．

（1）求的值；

（2）证明：函数在区间上有且仅有2个零点．

【解析】：（1），

因为，所以，又，

所以，即．

当时，，所以在区间上递增，

所以，解得．

当时，，所以在区间上递减，

所以，不合题意．

当，，不合题意．

综上，．

（2）设，

则，

所以在上单调递减，又，

所以存在唯一的，使得，

当时，，即，所以在上单调递增；

当时，，即，所以在上单调递减，

又，

所以在与上各有一个零点，

综上，函数在区间上有且仅有两个零点．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]↩

22．（10分）在平面直角坐标系中，为曲线为参数）上的动点，若将点的横坐标变为原来的一半，纵坐标保持不变，得到点，记点的轨迹为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）设，是上异于极点的两点，且，求面积的最大值．

【解析】：（1）为曲线为参数）上的动点，

化为普通方程为：．

设，，可得，

消去和得到：．

即，

根据，转换为极坐标方程为．

（2）设，，，

则，，

，

当时，有最大值：．

[选修4-5：不等式选讲]↩

23．已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）记函数的最大值为，若，证明：．

【解答】（1）解：因为函数，

所以不等式，等价于，或，或，

解得，或，或，

所以不等式的解集为；

（2）证明：画出函数的图象，如图所示：

由图象知，函数的最大值为，

所以，

所以．

当且仅当，即，时取“”．