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这是一份+江苏省南通市崇川区启秀中学2023-2024学年八年级上学期开学数学试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）开学数学试卷
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况
D．了解一批灯泡的使用寿命
3．（2分）如图，直线a∥b，且直线a，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
4．（2分）如图，已知AB＝AC，AE＝AD，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
5．（2分）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
6．（2分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，若∠EFD＝74°，则∠EGF的度数是（ ）
A．37° B．53° C．74° D．76°
7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
8．（2分）已知点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）或（6，3） B．（﹣2，3）或（2，7）
C．（6，3）或（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（2，7）
9．（2分）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
10．（2分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝ ．
12．（2分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 ．
13．（2分）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 kg．
14．（2分）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝3，y2＝25，则点P的坐标是 ．
15．（2分）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OE⊥OD，则∠BOE＝ ．
16．（2分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，若CF＝6，AD＝4 ．
17．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数（k是常数）的值始终不变，则k＝ ．
18．（2分）如图，在三角形ABC中，BC＝8cm，所得图形对应为三角形DEF，设平移的时间为t秒 时，AD＝2CE．
三、解答题（第19题10分，20-21题6分，第22-25题8分，第26题10分，共60分）
19．（10分）（1）计算：﹣12+×（）2+|1﹣|；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a），B（b，a），b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在
21．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
22．（8分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．
求证：CD＝AB．
24．（8分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？
25．（8分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
26．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，请说明理由；若不发生变化；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍
2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【解答】解：在实数﹣8，，5，2，0.010010001…（相邻两个7之间依次增加一个0），中，8.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况
D．了解一批灯泡的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，故本选项不合题意；
B．了解某河流的水质情况，故本选项不合题意；
C．调查全班同学的视力情况，故本选项符合题意；
D．了解一批灯泡的使用寿命，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2分）如图，直线a∥b，且直线a，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，两直线平行”可以判定c∥d；
B、若∠3+∠5＝180°时，两直线平行”可以判定c∥d；
C、若∠1＝∠3时，两直线平行”可以判定a∥b，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°，则∠6+∠5＝180°，两直线平行”可以判定c∥d．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
4．（2分）如图，已知AB＝AC，AE＝AD，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
【分析】根据BD＝CE，利用“SSS”定理解答即可．
【解答】解：当BD＝CE时，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟练运用“SSS”定理是解题的关键．
5．（2分）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴7﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵﹣8＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
6．（2分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，若∠EFD＝74°，则∠EGF的度数是（ ）
A．37° B．53° C．74° D．76°
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝74°，
∴∠GFD＝∠EFD＝，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝37°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
【解答】解：根据小朋友的人数为x，根据题意可得：
0≤5x+12﹣2（x﹣1）＜8，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．
8．（2分）已知点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）或（6，3） B．（﹣2，3）或（2，7）
C．（6，3）或（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（2，7）
【分析】根据点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，且AB＝4，可知点A的纵坐标为3，横坐标为：2+4＝6或2﹣4＝﹣2，然后即可得到点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，3），点B在直线l上，
∴点A的纵坐标为7，横坐标为：2+4＝4或2﹣4＝﹣4，
即点A的坐标为（6，3）或（﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确与x轴平行的直线上点的纵坐标相等．
9．（2分）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
【分析】根据图形设小长方形的长为xcm，则宽为（7﹣x） cm，然后根据BC＝一个小长方形的长+三个小长方形的宽列出方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可．
【解答】解：（1）设小长方形的长为xcm，则宽为（7﹣x） cm，
由题意得：x+3（2﹣x）＝11，
解得：x＝5，
则7﹣x＝4﹣5＝2，
∴阴影部分图形的总面积＝7×11﹣5×5×5＝27（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，说法正确；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，五年的人口总数增长速度变缓；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，掌握人口自然增长率的定义是解答本题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴a2﹣2＝1且a﹣2≠3，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键．
12．（2分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 11 ．
【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：，
解得：n＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
13．（2分）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 5 kg．
【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为＝5（kg）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了频数分布直方图，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14．（2分）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝3，y2＝25，则点P的坐标是 （﹣3，5） ．
【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x＝±3，y＝±5，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x＝﹣3，y＝5，然后可直接写出P点坐标．
【解答】解：∵|x|＝3，y2＝25，
∴x＝±4，y＝±5，
∵第二象限内的点P（x，y），
∴x＜0，y＞2，
∴x＝﹣3，y＝5，
∴点P的坐标为（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，8）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．（2分）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OE⊥OD，则∠BOE＝ 72°或108° ．
【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．
【解答】解：∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，
∴∠BOC＝180°×＝144°＝36°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝18°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
如图8，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，
故答案为：72°或108°．
【点评】本题考查平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，通过图形直观得出各个角之间的关系是正确计算的前提．
16．（2分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，若CF＝6，AD＝4 2 ．
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE＝FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝5，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
17．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数（k是常数）的值始终不变，则k＝ ﹣1 ．
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．
【解答】解：∵（a是常数），
∴8x+8y+x﹣3y＝﹣6a+4+4a+8，
即x+y＝2，
∴﹣x﹣y＝﹣2，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉a是解题的关键．
18．（2分）如图，在三角形ABC中，BC＝8cm，所得图形对应为三角形DEF，设平移的时间为t秒 8或 时，AD＝2CE．
【分析】情况一：当点E移点C右侧时，根据平移的性质可知AD＝CF＝CE+EF＝2CE，EF＝BC＝CE＝8，可得t；
情况二：当点E在点B，点C之间时，可知AD＝BE＝CF＝2CE，BC＝BE+CE＝BE+BE＝8，可得BE＝，可得t．
【解答】解：情况一：当点E移点C右侧时，
∵AD＝CF＝CE+EF＝2CE，
BC＝EF，
∴CE＝EF＝BC＝8，
∴CF＝7×8＝16，
∴t＝16÷2＝3，
∴当t＝8时，AD＝2CE；
情况二：当点E在点B，点C之间时，
∵AD＝BE＝CF＝6CE，
∴BC＝BE+CE＝BE+BE＝3，
∴BE＝，
∴t＝÷2＝，
当t＝时，AD＝2CE；
故答案为：2，．
【点评】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出CF的长是解答此题的关键．
三、解答题（第19题10分，20-21题6分，第22-25题8分，第26题10分，共60分）
19．（10分）（1）计算：﹣12+×（）2+|1﹣|；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【分析】（1）先计算平方，立方根，绝对值，再计算加减法；
（2）根据加减消元法解方程即可求解；
（3）根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的整数解，即可求解．
【解答】解：（1）﹣12+×（）8+|1﹣|
＝﹣5+4×+﹣1
＝﹣7+1+﹣7
＝﹣1；
（2），
①×7+②，得9x＝18，
解得x＝2，
将x＝6代入①得：8+y＝10，
解得y＝2，
∴原方程组的解为；
（3），
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞﹣，
∴不等式组解集为：﹣＜x≤5，
∴它的整数解有：﹣5，﹣1，0，2，2，3，7，5，
∴它们的和为﹣2﹣7+0+1+2+3+4+7＝12．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的性质，解不等式的方法，不等式组的取值方法是解题的关键．同时考查了实数的运算，解二元一次方程组．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a），B（b，a），b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在
【分析】（1）由偶次方及绝对值的非负性可求出a、b的值，进而即可得出点A、B的坐标，再根据平移的性质可得出点C、D的坐标；根据坐标与图形的性质求出S四边形ABCD；
（2）设M坐标为（0，m），根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点M的坐标；
【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣3|＝0，
∴a＝3，b＝8，
∴点A（0，3），8）．
将点A，B分别向下平移3个单位，得到点C、D，
∴点C（﹣1，7），0）．
∴S四边形ABDC＝CD×OA＝5×5＝15；
（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD，
设M坐标为（6，m）．
∵S△MCD＝S四边形ABDC，
∴×5×|m|＝，
解得m＝±2，
∴M（7，2）或（0；
∴在y轴上存在点M（7，2）或（0，使S△MCD＝S四边形ABCD．
【点评】本题综合考查了坐标与图形性质、三角形的面积、平行四边形的面积、平移以及非负性的运用，解题的关键是熟练掌握点的坐标与线段长度之间的转化．
21．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”可得n的值，进而得出a、b的值；
（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.2＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝3.15，
故答案为：14；0.15；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）480×＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．（8分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可解答；
（2）根据直角三角形即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝6x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．
求证：CD＝AB．
【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴CD＝AB．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
25．（8分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值；
（2）已知不等式组利用题中的新定义化简，把a与b的值代入后，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：（1）∵2※3＝8，3※（﹣1）＝10，
∴，
解得：；
（2）∵不等式组，且a＝2，
∴ax﹣b（2x﹣3）+6＝﹣3x+11＜9，7ax+6b+5＝4x+17＜t，
解得：，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴1＜≤5，
解得：20＜t≤23，
∴t的取值范围是20＜t≤23．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，请说明理由；若不发生变化；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F 90 °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB＝90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝，
∴∠AEB＝135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO＝∠BAO∠GAO，
∴∠EAF＝（∠BAO+∠GAO）＝．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO＝∠BAO∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝，
即∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍
①∠EAF＝6∠E，∠E＝30°；
②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°；
③∠F＝3∠E，∠E＝22.7°；
④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°．
∴∠ABO为60°或45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
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2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）开学数学试卷
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况
D．了解一批灯泡的使用寿命
3．（2分）如图，直线a∥b，且直线a，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
4．（2分）如图，已知AB＝AC，AE＝AD，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
5．（2分）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
6．（2分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，若∠EFD＝74°，则∠EGF的度数是（ ）
A．37° B．53° C．74° D．76°
7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
8．（2分）已知点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）或（6，3） B．（﹣2，3）或（2，7）
C．（6，3）或（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（2，7）
9．（2分）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
10．（2分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝ ．
12．（2分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 ．
13．（2分）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 kg．
14．（2分）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝3，y2＝25，则点P的坐标是 ．
15．（2分）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OE⊥OD，则∠BOE＝ ．
16．（2分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，若CF＝6，AD＝4 ．
17．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数（k是常数）的值始终不变，则k＝ ．
18．（2分）如图，在三角形ABC中，BC＝8cm，所得图形对应为三角形DEF，设平移的时间为t秒 时，AD＝2CE．
三、解答题（第19题10分，20-21题6分，第22-25题8分，第26题10分，共60分）
19．（10分）（1）计算：﹣12+×（）2+|1﹣|；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a），B（b，a），b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在
21．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ，b＝ ，n＝ ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
22．（8分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．
求证：CD＝AB．
24．（8分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？
25．（8分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
26．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，请说明理由；若不发生变化；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍
2023-2024学年江苏省南通市崇川区启秀中学八年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每题2分，共20分）
1．（2分）下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【解答】解：在实数﹣8，，5，2，0.010010001…（相邻两个7之间依次增加一个0），中，8.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（2分）下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．了解全国中学生的睡眠时间
B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况
D．了解一批灯泡的使用寿命
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．了解全国中学生的睡眠时间，故本选项不合题意；
B．了解某河流的水质情况，故本选项不合题意；
C．调查全班同学的视力情况，故本选项符合题意；
D．了解一批灯泡的使用寿命，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
3．（2分）如图，直线a∥b，且直线a，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4 B．∠1+∠5＝180° C．∠1＝∠2 D．∠1＝∠4
【分析】根据平行线的判定定理进行一一分析．
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，两直线平行”可以判定c∥d；
B、若∠3+∠5＝180°时，两直线平行”可以判定c∥d；
C、若∠1＝∠3时，两直线平行”可以判定a∥b，符合题意；
D、由a∥b推知∠4+∠5＝180°，则∠6+∠5＝180°，两直线平行”可以判定c∥d．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
4．（2分）如图，已知AB＝AC，AE＝AD，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠B＝∠C B．BD＝CE C．∠BAD＝∠CAE D．以上都不对
【分析】根据BD＝CE，利用“SSS”定理解答即可．
【解答】解：当BD＝CE时，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定，熟练运用“SSS”定理是解题的关键．
5．（2分）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0
【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴7﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵﹣8＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴|a|＜|b|，
∴|a|﹣|b|＜0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a，b的取值范围是解题的关键．
6．（2分）如图，平行线AB，CD被直线EF所截，若∠EFD＝74°，则∠EGF的度数是（ ）
A．37° B．53° C．74° D．76°
【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝74°，
∴∠GFD＝∠EFD＝，
∵AB∥CD，
∴∠EGF＝∠GFD＝37°．
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．（2分）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．若小朋友的人数为x，则列式正确的是（ ）
A．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 B．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
C．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8
【分析】根据每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8个．由此得出不等式组．
【解答】解：根据小朋友的人数为x，根据题意可得：
0≤5x+12﹣2（x﹣1）＜8，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出不等式的取值范围是解决问题的关键．
8．（2分）已知点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣2，3）或（6，3） B．（﹣2，3）或（2，7）
C．（6，3）或（2，﹣1） D．（2，﹣1）或（2，7）
【分析】根据点A的坐标为（2，3），过点A的直线l∥x轴，点B在直线l上，且AB＝4，可知点A的纵坐标为3，横坐标为：2+4＝6或2﹣4＝﹣2，然后即可得到点B的坐标．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，3），点B在直线l上，
∴点A的纵坐标为7，横坐标为：2+4＝4或2﹣4＝﹣4，
即点A的坐标为（6，3）或（﹣6，
故选：A．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确与x轴平行的直线上点的纵坐标相等．
9．（2分）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝7cm，求阴影部分图形的总面积（ ）
A．18cm2 B．21cm2 C．24cm2 D．27cm2
【分析】根据图形设小长方形的长为xcm，则宽为（7﹣x） cm，然后根据BC＝一个小长方形的长+三个小长方形的宽列出方程，求出x后，再用大长方形的面积减去五个小长方形的面积即可．
【解答】解：（1）设小长方形的长为xcm，则宽为（7﹣x） cm，
由题意得：x+3（2﹣x）＝11，
解得：x＝5，
则7﹣x＝4﹣5＝2，
∴阴影部分图形的总面积＝7×11﹣5×5×5＝27（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
10．（2分）我国近十年的人口出生率及人口死亡率如图所示．
已知人口自然增长率＝人口出生率﹣人口死亡率，下列判断错误的是（ ）
A．与2012年相比，2021年的人口出生率下降了近一半
B．近十年的人口死亡率基本稳定
C．近五年的人口总数持续下降
D．近五年的人口自然增长率持续下降
【分析】根据折线统计图的信息解答即可．
【解答】解：由折线统计图可知，
A．与2012年相比，说法正确；
B．近十年的人口死亡率基本稳定，故本选项不合题意；
C．近五年的人口总数持续下降，五年的人口总数增长速度变缓；
D．近五年的人口自然增长率持续下降，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了折线统计图，掌握人口自然增长率的定义是解答本题的关键．
二、填空题（每题2分，共16分）
11．（2分）若＞2是关于x的一元一次不等式，则a＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0即可得出答案．
【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴a2﹣2＝1且a﹣2≠3，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的未知数x的次数等于1，系数不等于0是解题的关键．
12．（2分）一个多边形外角和是内角和的，则这个多边形的边数为 11 ．
【分析】多边形的内角和定理为（n﹣2）×180°，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n的值．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意可得：，
解得：n＝11，
故答案为：11．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用这两个公式是解题的关键．
13．（2分）某班40名学生体重的频数分布直方图（不完整）如图所示，组距为 5 kg．
【分析】根据频数分布直方图计算即可．
【解答】解：组距为＝5（kg）．
故答案为：5．
【点评】本题考查了频数分布直方图，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
14．（2分）若第二象限内的点P（x，y）满足|x|＝3，y2＝25，则点P的坐标是 （﹣3，5） ．
【分析】根据绝对值的意义和平方根得到x＝±3，y＝±5，再根据第二象限的点的坐标特点得到x＜0，y＞0，于是x＝﹣3，y＝5，然后可直接写出P点坐标．
【解答】解：∵|x|＝3，y2＝25，
∴x＝±4，y＝±5，
∵第二象限内的点P（x，y），
∴x＜0，y＞2，
∴x＝﹣3，y＝5，
∴点P的坐标为（﹣3，5），
故答案为：（﹣3，8）．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
15．（2分）已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OE⊥OD，则∠BOE＝ 72°或108° ．
【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．
【解答】解：∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，
∴∠AOB+∠BOC＝180°，
又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，
∴∠BOC＝180°×＝144°＝36°，
∵射线OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝18°，
∵OE⊥OD，
∴∠DOE＝90°，
如图8，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，
如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，
故答案为：72°或108°．
【点评】本题考查平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，通过图形直观得出各个角之间的关系是正确计算的前提．
16．（2分）如图，已知AC与BF相交于点E，AB∥CF，若CF＝6，AD＝4 2 ．
【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理可得结果．
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠A＝∠FCE，
∠B＝∠F，
∵点E为BF中点，
∴BE＝FE，
在△ABE与△CFE中，
，
∴△ABE≌△CFE（AAS），
∴AB＝CF＝6，
∵AD＝4，
∴BD＝5，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键．
17．（2分）已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数（k是常数）的值始终不变，则k＝ ﹣1 ．
【分析】将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论．
【解答】解：∵（a是常数），
∴8x+8y+x﹣3y＝﹣6a+4+4a+8，
即x+y＝2，
∴﹣x﹣y＝﹣2，
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程联立消掉a是解题的关键．
18．（2分）如图，在三角形ABC中，BC＝8cm，所得图形对应为三角形DEF，设平移的时间为t秒 8或 时，AD＝2CE．
【分析】情况一：当点E移点C右侧时，根据平移的性质可知AD＝CF＝CE+EF＝2CE，EF＝BC＝CE＝8，可得t；
情况二：当点E在点B，点C之间时，可知AD＝BE＝CF＝2CE，BC＝BE+CE＝BE+BE＝8，可得BE＝，可得t．
【解答】解：情况一：当点E移点C右侧时，
∵AD＝CF＝CE+EF＝2CE，
BC＝EF，
∴CE＝EF＝BC＝8，
∴CF＝7×8＝16，
∴t＝16÷2＝3，
∴当t＝8时，AD＝2CE；
情况二：当点E在点B，点C之间时，
∵AD＝BE＝CF＝6CE，
∴BC＝BE+CE＝BE+BE＝3，
∴BE＝，
∴t＝÷2＝，
当t＝时，AD＝2CE；
故答案为：2，．
【点评】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质得出CF的长是解答此题的关键．
三、解答题（第19题10分，20-21题6分，第22-25题8分，第26题10分，共60分）
19．（10分）（1）计算：﹣12+×（）2+|1﹣|；
（2）解方程组：；
（3）解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【分析】（1）先计算平方，立方根，绝对值，再计算加减法；
（2）根据加减消元法解方程即可求解；
（3）根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的整数解，即可求解．
【解答】解：（1）﹣12+×（）8+|1﹣|
＝﹣5+4×+﹣1
＝﹣7+1+﹣7
＝﹣1；
（2），
①×7+②，得9x＝18，
解得x＝2，
将x＝6代入①得：8+y＝10，
解得y＝2，
∴原方程组的解为；
（3），
解不等式①得：x≤5，
解不等式②得：x＞﹣，
∴不等式组解集为：﹣＜x≤5，
∴它的整数解有：﹣5，﹣1，0，2，2，3，7，5，
∴它们的和为﹣2﹣7+0+1+2+3+4+7＝12．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的性质，解不等式的方法，不等式组的取值方法是解题的关键．同时考查了实数的运算，解二元一次方程组．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A，B坐标分别为A（0，a），B（b，a），b满足（a﹣3）2+|b﹣5|＝0，现同时将点A，B分别向下平移3个单位，分别得到点A，B的对应点C，BD，AB．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD；
（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD△MCD＝S四边形ABCD？若存在这样一点，求出点M的坐标；若不存在
【分析】（1）由偶次方及绝对值的非负性可求出a、b的值，进而即可得出点A、B的坐标，再根据平移的性质可得出点C、D的坐标；根据坐标与图形的性质求出S四边形ABCD；
（2）设M坐标为（0，m），根据三角形的面积公式列出方程，解方程求出m，得到点M的坐标；
【解答】解：（1）∵（a﹣3）2+|b﹣3|＝0，
∴a＝3，b＝8，
∴点A（0，3），8）．
将点A，B分别向下平移3个单位，得到点C、D，
∴点C（﹣1，7），0）．
∴S四边形ABDC＝CD×OA＝5×5＝15；
（2）在y轴上存在一点M，使S△MCD＝S四边形ABCD，
设M坐标为（6，m）．
∵S△MCD＝S四边形ABDC，
∴×5×|m|＝，
解得m＝±2，
∴M（7，2）或（0；
∴在y轴上存在点M（7，2）或（0，使S△MCD＝S四边形ABCD．
【点评】本题综合考查了坐标与图形性质、三角形的面积、平行四边形的面积、平移以及非负性的运用，解题的关键是熟练掌握点的坐标与线段长度之间的转化．
21．（6分）某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
频数分布表
运动时间t/min
频数
频率
30≤t＜60
4
0.1
60≤t＜90
7
0.175
90≤t＜120
a
0.35
120≤t＜150
9
0.225
150≤t＜180
6
b
合计
n
1
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 14 ，b＝ 0.15 ，n＝ 40 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数．
【分析】（1）根据“频率＝频数÷总数”可得n的值，进而得出a、b的值；
（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体解答即可．
【解答】解：（1）由题意可知，n＝4÷0.2＝40，
∴a＝40×0.35＝14，b＝6÷40＝3.15，
故答案为：14；0.15；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）480×＝180（名），
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120min的学生人数为180名．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布直方图的意义和制作方法，从统计图表中获取数量和数量关系是正确计算的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
22．（8分）如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于D，FE⊥AB于E交AC于点H，点G是BC延长线上一点，∠ACD+∠F＝180°．
（1）求证：AC∥FG；
（2）若∠A＝45°，∠BCD：∠ACD＝2：3，求∠BCD的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质和判定即可解答；
（2）根据直角三角形即可解答．
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠AEH＝∠ADC＝90°，
∴EF∥DC，
∴∠ACD+∠CHE＝180°，
∵∠ACD+∠F＝180°，
∴∠F＝∠CHE，
∴AC∥FG；
（2）解：∵∠BCD：∠ACD＝2：3，
设∠BCD＝6x，∠ACD＝3x，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
即45°+3x＝90°，
解得x＝15°，
∴∠BCD＝30°．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
23．（8分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，DE∥AB，∠DCE＝∠A．
求证：CD＝AB．
【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴CD＝AB．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24．（8分）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元
（1）求篮球和足球的单价分别是多少元；
（2）学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？
【分析】（1）根据购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为a元，足球的单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）设采购篮球x个，则采购足球为（50﹣x）个，
∵要求篮球不少于30个，且总费用不超过5500元，
∴，
解得30≤x≤33，
∵x为整数，
∴x的值可为30，31，33，
∴共有四种购买方案，
方案一：采购篮球30个，采购足球20个；
方案二：采购篮球31个，采购足球19个；
方案三：采购篮球32个，采购足球18个；
方案四：采购篮球33个，采购足球17个．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和不等式组．
25．（8分）对m、n定义一种新运算“※”，规定：m※n＝am﹣bn+5（a．b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，3※（﹣1）＝10．
（1）求a、b的值；
（2）若关于x的不等式组有且只有一个整数解，试求字母t的取值范围．
【分析】（1）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出a与b的值；
（2）已知不等式组利用题中的新定义化简，把a与b的值代入后，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出t的范围即可．
【解答】解：（1）∵2※3＝8，3※（﹣1）＝10，
∴，
解得：；
（2）∵不等式组，且a＝2，
∴ax﹣b（2x﹣3）+6＝﹣3x+11＜9，7ax+6b+5＝4x+17＜t，
解得：，
∵关于x的不等式组有且只有一个整数解，
∴1＜≤5，
解得：20＜t≤23，
∴t的取值范围是20＜t≤23．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解二元一次方程组，以及解一元一次不等式，弄清题中的新定义是解本题的关键．
26．（10分）直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，请说明理由；若不发生变化；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F 90 °；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍
【分析】（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB＝90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE＝∠OAB，∠ABE＝∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO＝∠BAO，∠EOQ＝∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF＝90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
【解答】解：（1）∠AEB的大小不变，
∵直线MN与直线PQ垂直相交于O，
∴∠AOB＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，
∴∠BAE＝∠OAB∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE＝（∠OAB+∠ABO）＝，
∴∠AEB＝135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
∴∠EAO＝∠BAO∠GAO，
∴∠EAF＝（∠BAO+∠GAO）＝．
故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E，
∴∠EAO＝∠BAO∠BOQ，
∴∠E＝∠EOQ﹣∠EAO＝（∠BOQ﹣∠BAO）＝，
即∠ABO＝2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍
①∠EAF＝6∠E，∠E＝30°；
②∠EAF＝3∠F，∠E＝60°；
③∠F＝3∠E，∠E＝22.7°；
④∠E＝3∠F，∠E＝67.5°．
∴∠ABO为60°或45°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/9/13 14:44:04；用户：娄老师；邮箱：15225657626；学号：48669677
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