2022-2023学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷（含答案解析）

2022-2023学年北京市西城区七年级（下）期末数学试卷

1.  实数，，，中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，，的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列命题中，是假命题的是(    )

A. 如果两个角相等，那么它们是对顶角 B. 同旁内角互补，两直线平行
C. 如果，，那么 D. 负数没有平方根

5.  在平面直角坐标系中，点，，若直线AB与y轴垂直，则m的值为(    )

A. 0 B. 3 C. 4 D. 7

6.  以下抽样调查中，选取的样本具有代表性的是(    )

A. 了解某公园的平均日客流量，选择在周末进行调查
B. 了解某校七年级学生的身高，对该校七年级某班男生进行调查
C. 了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，对小区活动中心的老年人进行调查
D. 了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查

7.  以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是和如图1，甲的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图2，景点C和D分别在线段OB，BA上，乙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为，如图3，景点E和G分别在线段OB，BA上，景点F在线段OA上，丙的游览路线是：，其折线段的路程总长记为下列，，的大小关系正确的是(    )

 

A.  B. 且 C.  D. 且

8.  有8张形状、大小完全相同的小长方形卡片，将它们按如图所示的方式不重叠放置在大长方形ABCD中，根据图中标出的数据，1张小长方形卡片的面积是(    )

A. 72 B. 68 C. 64 D. 60

9.  若是方程的解，则a的值为______ .

10.  在平面直角坐标系中，已知点P在第四象限，且点P到两坐标轴的距离相等，写出一个符合条件的点P的坐标：______ .

11.  若一个数的平方等于，则这个数是______ .

12.  如图，在三角形ABC中，，点B到直线AC的距离是线段______ 的长，的依据是______ .

13.  点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是______ .

14.  解方程组，小红的思路是：用①②消去未知数x，请你写出一种用加减消元法消去未知数y的思路：用______ 消去未知数

15.  如图，四边形纸片ABCD，，折叠纸片ABCD，使点D落在AB上的点处，点C落在点处，折痕为若，则______

16.  小明沿街心公园的环形跑道从起点出发按逆时针方向跑步，他用软件记录了跑步的轨迹，他每跑1km软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前5km的记录如图所示.已知该环形跑道一圈的周长大于
小明恰好跑3圈时，路程是否超过了5km？答：______ 填“是”或“否”；
小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了______ 圈.

17.  计算：

18.  解方程组；
解不等式组，并写出它的所有整数解.

19.  如图，点E，F分别在BA，DC的延长线上，直线EF分别交AD，BC于点G，H，，
求证：
请将下面的证明过程补充完整：
证明：，
______ ______ .
______ ______ 填推理的依据
，
______ .
______ ______ ______ 填推理的依据

，______ 填推理的依据
 

20.  为鼓励同学们参加主题为“阅读润泽心灵，文字见证成长”的读书月活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品.已知同类图书中每本书价格相同，购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元.
科技类图书和文学类图书每本各多少元？
经过评选有300名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书.如果学校用于购买奖品的资金不超过8000元，那么科技类图书最多能买多少本？

21.  如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别是，，将三角形ABC先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形DEF，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点.
在图中画出三角形DEF；
求三角形ABC的面积；
若三角形ABC内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标用含m，n的式子表示

22.  《北京市节水条例》自2023年3月1日起实施.学校组织了“珍惜水资源，节水从我做起”的活动，号召大家节约用水.为了解所居住小区家庭用水的情况，小芸从该小区的住户中随机抽取了部分家庭，获得了这些家庭4月份用水量单位：的数据，并对这些数据进行整理和描述.数据分成5组：，，，，下面给出了部分信息：
月份用水量的数据的扇形图、频数分布直方图分别如图1，图2所示.

月份用水量的数据在这一组的是：

根据以上信息，回答下列问题：
小芸共抽取了______ 户家庭进行调查；
扇形图中，这一组所对应的扇形的圆心角的度数为______ ，______ ；
补全频数分布直方图；
请你根据小芸的调查结果，估计该小区480户家庭中有多少户家庭年用水量超过

23.  将三角形ABC和三角形DEF按图1所示的方式摆放，其中，，，，点D，A，F，B在同一条直线上.
将图1中的三角形ABC绕点B逆时针旋转，且点A在直线DF的下方.
①如图2，当时，求证：；
②当时，直接写出的度数；
将图1中的三角形DEF绕点E逆时针旋转，如图3，当点D首次落在边BC上时，过点E作，作射线DM平分，作射线EN平分交DM的反向延长线于点N，依题意补全图形并求的度数.

 

24.  在平面直角坐标系xOy中，已知点，对于点，将点称为点P关于点M的关联点.
点关于点的关联点Q的坐标是______ ；
点，，以AB为边在直线AB的下方作正方形点，，关于点的关联点分别是点，，若三角形与正方形ABCD有公共点，直接写出a的取值范围；
点，关于点的关联点分别是点，，且点在x轴上，点O为原点，三角形的面积为3，求点的坐标.

25.  在边长为1的正方形网格中，网格线交点称为格点，顶点都在格点上的多边形称为格点多边形.将格点多边形边上含顶点的格点个数记为M，内部的格点个数记为N，其面积记为S，它们满足公式小东忘记了公式中a，b的值，他想到可以借助两个特殊格点多边形求出a，b的值.小东画出一个格点四边形如图，它所对应的，，
请在图2中画出一个格点三角形EFG，并直接写出它所对应的M，N，S的值；
求a，b的值.

26.  在平面直角坐标系xOy中，已知点，，给出如下定义：

已知点
①若点Q与点P重合，则______ ；
②若点，则______ ；
正方形OABC四个顶点的坐标分别是，，，，其中，在正方形OABC内部有一点，动点Q在正方形OABC的边上及其内部运动.若，求所有满足条件的点Q组成的图形的面积用含a，b，t的式子表示；
若点，，，且为奇数，直接写出k的取值范围.

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：实数，，，中，无理数是，
故选：
根据无理数的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，立方根，熟练掌握无理数的定义是解题的关键．

2.【答案】C 

【解析】解：，
，
A选项错误，不符合题意；
，
，
B选项错误，不符合题意；
，
，
C选项正确，符合题意；
，
，
D选项错误，不符合题意；
故选：
根据不等式的性质①不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是本题的关键．

3.【答案】D 

【解析】解：，
，
，
，

故选：
利用垂直定义和对顶角相等进行计算即可．
此题主要考查了垂线与对顶角、邻补角，关键是掌握垂线定义和对顶角相等的性质．

4.【答案】A 

【解析】解：A、如果两个角相等，那么它们是对顶角，是假命题，符合题意；
B、同旁内角互补，两直线平行，是真命题，不符合题意；
C、如果，，那么，是真命题，不符合题意；
D、负数没有平方根，是真命题，不符合题意，
故选：
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

5.【答案】C 

【解析】解：点，，若直线AB与y轴垂直，
，
解得，
故选：
点，，直线AB与y轴垂直，即点A，点B到x轴的距离相等，也就是其纵坐标相等，解即可．
本题考查点的坐标，理解平面内点的坐标的定义，掌握平面内点的坐标确定点的位置的方法是正确解答的前提，理解“点，，直线AB与y轴垂直，就是它们纵坐标相等”是解决问题的关键．

6.【答案】D 

【解析】解：了解某公园的平均日客流量，不能只选择周末或节假日，这样选取的样本就不具有代表性，因此选项A不符合题意；
B.了解某校七年级学生的身高，不能只选择某班男生，这样选择的样本比较片面，不具有代表性，要从七年级的学生中，随机选取部分男生和女生，因此选项B不符合题意；
C.了解某小区居民坚持进行垃圾分类的情况，不能只对小区活动中心的老年人进行调查，要将小区中的所有居民，即不同年龄阶段，不同职业水平，不同生活习惯的居民，随机进行抽样，因此选项C不符合题意；
D.了解某校学生每天体育锻炼的时长，从该校所有班级中各随机选取5人进行调查，具有代表性，因此选项D符合题意；
故选：
根据选择样本的代表性结合具体的问题情境逐项进行判断即可．
本题考查抽样调查的可靠性，理解抽样调查的可靠性，抽取样本的代表性是正确判断的前提．

7.【答案】D 

【解析】解：根据题意可得，，
；
将线段EF平移，可得到线段BG，线段FG移可得到线段BE，
，，
，
，
故选：
根据三角形三边的关系即可证明，根据平移的性质可证明
本题考查了三角形三边关系平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是关键

8.【答案】B 

【解析】解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，
根据题意得：，
解得：，
，
张小长方形卡片的面积是
故选：
设小长方形卡片的长为x，宽为y，根据图中各边之间的关系，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入xy中，即可求出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9.【答案】4 

【解析】解：将代入原方程得：，
解得：，
的值为
故答案为：
将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．

10.【答案】答案不唯一 

【解析】解：设点，
点P在第四象限，
，，
点P到两坐标轴的距离相等，
，
因此点P的坐标可能为答案不唯一
故答案为：答案不唯一
根据平面内点的坐标特征，即点的坐标确定点的位置的方法进行解答即可．
本题考查点的坐标，理解点的坐标的定义，掌握点的坐标确定点的位置的方法是解决问题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：
故答案为：
根据平方根的定义得出即可．
本题考查了对平方根和实数的应用，主要考查学生的理解能力和记忆能力．

12.【答案】BC 垂线段最短 

【解析】解：，
，
点B到直线AC的距离是线段BC的长，
根据垂线段最短可得，
故答案为：BC，垂线段最短．
根据点到直线的距离的定义解答即可；
本题考查了点到直线的距离，正确把握定义是解题的关键，熟知垂线段最短的性质．

13.【答案】点P 

【解析】解：，
，
，
则表示实数的点是点P，
故答案为：点
先估算出在哪两个整数之间，再结合数轴即可求得答案．
本题考查实数与数轴的关系，估算出在哪两个整数之间是解题的关键．

14.【答案】①②答案不唯一 

【解析】解：解方程组，小红的思路是：用①②消去未知数x，用加减消元法消去未知数y的思路：用①②消去未知数y，
故答案为：①②答案不唯一
利用加减消元法，进行计算即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．

15.【答案】24 

【解析】解：，
，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
故答案为：
根据平行线性质及折叠性质求得的度数，继而求得的度数．
本题考查平行线的性质，结合已知条件求得是解题的关键．

16.【答案】否  10 

【解析】解：小明恰好跑3圈时，路程没有超过了5km，
故答案为：否；
小明恰好跑3圈时，路程超过了4km，但小于，
所以小明跑9圈时，路程超过12km但小于14km，
又因为一圈的路程比1km多，
所以小明共跑了14km且恰好回到起点，那么他共跑了10圈．
故答案为：
由题意可知，小明恰好跑3圈时，路程超过了4km，但没有达到5km；
由可知，小明恰好跑3圈时，路程比4km多，但小于，再根据一圈的路程比1km多，据此可得答案．
本题考查了函数的图象，理清题意，利用数形结合的方法是解答本题的关键．

17.【答案】解：



 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，二次根式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：，
②-①，得，

把代入①，得，

所以这个方程组的解是；
，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集为，
它的所有整数解为0，1，2， 

【解析】利用加减消元法求解可得；
先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，进一步得到它的所有整数解即可求解．
本题考查的是解二元一次方程组与一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则及加减消元法解方程组是解答此题的关键．

19.【答案】BE DF DAE 两直线平行，内错角相等  DAE BC AD 同位角相等，两直线平行  对顶角相等 

【解析】证明：，

两直线平行，内错角相等
，

同位角相等，两直线平行，
，
，对顶角相等，

故答案为：BE，DF，DAE，两直线平行，内错角相等，DAE，BC，AD，同位角相等，两直线平行，对顶角相等．
根据平行线的判定定理及性质定理即可得到结论．
本题主要考查了平行线的判定定理及性质定理，熟记性质及判定定理并能熟练运用是解决本题的关键．

20.【答案】解：设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，
根据题意得：，
解得：
答：科技类图书每本28元，文学类图书每本25元；
设购买科技类图书m本，则购买文学类图书本，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为
答：科技类图书最多能买166本． 

【解析】设科技类图书每本x元，文学类图书每本y元，根据“购买2本科技类图书和3本文学类图书需131元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需237元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买科技类图书m本，则购买文学类图书本，利用总价=单价数量，结合总价不超过8000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可求出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

21.【答案】解：如图，即为所求；

的面积；
由题意， 

【解析】利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可；
把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
平移平移变换的性质判断即可．
本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质属于中考常考题型．

22.【答案】 

【解析】解：小芸共抽取了户，
故答案为：40；
扇形图中，这一组所对应的扇形的圆心角的度数为：，
第一组的频数为：，
；
故答案为：144，；
如图所示；

，
被调查的40户家庭中有4户家庭4月份的用水量超过15t，
户
答：估计该小区480户家庭中约有48户家庭年用水量超过
根据第三组的频数和所占的百分比即可求出答案；
用乘第三组占的百分比即可得到扇形圆心角，用第一组的频数除以总数即可求出n；
根据所求，即可补全频数分布直方图；
用480乘以家庭年用水量超过180t的百分比即可．
本题考查的是频数率分布直方图、扇形图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23.【答案】①证明：




点D，A，F，B在同一条直线上．
，
，

②解：过点B作，

，
，
，，
，
，
又，
，

解：补全图形如下：

过点N作，设，，则，
，
，
，，
为的平分线，DM为的平分线，
，，
，
，
，
，
，
解得：
 

【解析】①由得，进而得，然后根据，点D，A，F，B在同一条直线上得，据此可得出结论；
②过点B作，则，由平行线的性质得，，进而得，，据此可求出的度数；
先按照题意补全图形，在过点N作，设，，则，由得，，再根据角平分线的定义得，，进而得，然后根据得，据此列出关于的方程，解方程求出即可．
此题主要考查了图形的旋转及性质，平行线的性质，角平分线的定义，解答此题关键是准确识图，熟练掌握图形的旋转变换，理解两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．

24.【答案】 

【解析】解：，，
，，
点关于点的关联点Q的坐标是
故答案为：；
点，，关于点的关联点分别是点，，，
，，，
正方形ABCD中，，，
，
，，
，
，
若三角形与正方形ABCD有公共点，
或，
或；
点，关于点的关联点分别是点，，
点的坐标为，点的坐标为
点在x轴上，
，即，
的坐标为，点的坐标为
三角形的面积为3，
，即，
或
或
点的坐标为或
根据关联点的定义即可求解；
先根据关联点的定义求出，，，那么，根据正方形的性质得出，，然后根据三角形与正方形ABCD有公共点，列出关于a的不等式组，求出解集即可；
先根据关联点的定义求出点的坐标为，点的坐标为由点在x轴上，得到，那么的坐标为，点的坐标为然后根据三角形的面积为3，列出关于t的方程，解方程即可．
本题考查了新定义，坐标与图形性质，点的坐标，正方形的性质，三角形的面积等知识，正确理解新定义是解题的关键．

25.【答案】解：所作三角形如图2，
由图得，在四边形ABCD中，，，，
在三角形EFG中，，，；
有公式得：
，
解得： 

【解析】作出三角形EFG，并求出M、N、S即可；
利用公式列出方程组，解答即可．
本题考查了作图能力，方程组的计算是解题关键．

26.【答案】1 0 

【解析】解：①由题意得：，
故答案为：
②由题意得：，
故答案为：
设点Q的坐标为，
，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
，
，，
所有满足条件的点Q组成的图形是如图所示的阴影区域，面积为，

由题意得，，
当时，，
，
，
，
为奇数，即k为奇数，
；
当时，，
此时满足且为奇数，
，
当时，，
，
，
，
为奇数，即k为奇数，
；
综上，或或
根据所给的定义进行求解即可；
设点Q的坐标为，则，然后讨论x、y的取值范围，去绝对值，根据确定x、y的取值范围，从而求出答案；
求出，然后讨论k的取值范围，去绝对值，然后根据，且为奇数进行求解即可．
本题考查了一次函数的综合应用，利用分类讨论的思想是解题的关键．