专题23等腰三角形与等边三角形：三年（2021-2023）中考数学真题

这是一份专题23等腰三角形与等边三角形：三年（2021-2023）中考数学真题，共67页。试卷主要包含了的三边长a，b，c满足，则是，在和中，，如图，中，，则的度数为等内容，欢迎下载使用。
专题23等腰三角形与等边三角形三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编
专题23等腰三角形与等边三角形
一．选择题（共30小题）
（2023•贵州）
1．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（    ）
    
A． B． C． D．
（2023•内蒙古）
2．如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•菏泽）
3．的三边长a，b，c满足，则是（    ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
（2023•河北）
4．在和中，．已知，则（    ）
A． B． C．或 D．或
（2023•滨州）
5．已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段为边的三角形中，最小内角的大小为（　　）
A． B． C． D．
（2023•河北）
6．四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）
  
A．2 B．3 C．4 D．5
（2023•金昌）
7．如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（    ）
  
A． B． C． D．
（2023•眉山）
8．如图，中，，则的度数为（    ）
  
A． B． C． D．
（2022•泰安）
9．如图，，点A在直线上，点B在直线上，，，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
（2022•淄博）
10．某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路AB与AE的夹角∠BAE＝50°．城市规划部门想新修一条道路CE，要求CF＝EF，则∠E的度数为（    ）

A．23° B．25° C．27° D．30°
（2022•台湾）
11．如图，中，点在上，点在上，为的中垂线．若，且，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（　　）

A．， B．，
C．， D．，
（2022•荆州）
12．如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（    ）

A．60° B．70° C．80° D．90°
（2022•宿迁）
13．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
（2022•天津）
14．如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB=6，OA=OB=5，则点A的坐标是（    ）

A． B． C． D．
（2022•海南）
15．如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
（2022•鞍山）
16．如图，在中，，，延长到点，使，连接，则的度数（    ）

A． B． C． D．
（2022•自贡）
17．等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（    ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
（2021•青海）
18．已知，是等腰三角形的两边长，且，满足，则此等腰三角形的周长为（    ）．
A．8 B．6或8 C．7 D．7或8
（2021•赤峰）
19．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD＝CE，若∠ABC＝30°，则∠D的度数为（　　）

A．85° B．75° C．65° D．30°
（2021•广西）
20．如图，的半径为，于点，，则的长是（    ）

A． B． C． D．
（2021•辽宁）
21．如图，在中，，由图中的尺规作图痕迹得到的射线与交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长为（ ）

A． B． C． D．4
（2021•益阳）
22．如图，为等边三角形，，则等于（    ）

A． B． C． D．
（2022•鞍山）
23．如图，直线，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
（2022•绵阳）
24．下列关于等边三角形的描述不正确的是（    ）
A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
（2023•台湾）
25．如图，中，D点在上，且BD的中垂线与相交于E点，的中垂线与相交于F点，已知的三个内角皆不相等，根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确（　　）
  
A．， B．，
C．， D．，
（2022•宜昌）
26．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则的周长为（    ）

A．25 B．22 C．19 D．18
（2022•湖北）
27．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC•EF＝CF•CD；
④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．
其中正确结论的个数是（    ）

A．4 B．3 C．2 D．1
（2021•梧州）
28．如图，DE是△ABC的边BC的垂直平分线，分别交边AB，BC于点D，E，且AB＝9，AC＝6，则△ACD的周长是（　　）

A．10.5 B．12 C．15 D．18
（2021•河北）
29．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ）

A．0 B．5
C．6 D．7
（2021•淮安）
30．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8
二．填空题（共23小题）
（2023•吉林）
31．如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．
  
（2023•江西）
32．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．
  
（2023•新疆）
33．如图，在中，若，，，则 ．
  
（2023•重庆）
34．如图，在中，，是边的中线，若，，则的长度为 ．
  
（2023•凉山州）
35．如图，边长为2的等边的两个顶点分别在两条射线上滑动，若，则的最大值是 ．
  
（2023•沙依巴克区模拟）
36．已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组，则此等腰三角形的周长为 ．
（2022•云南）
37．已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是 ．
（2022•广安）
38．若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
（2022•苏州）
39．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
（2022•滨州）
40．如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为 ．

（2022•鄂州）
41．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为 ．

（2021•苏州）
42．如图，在RtABC中，∠C=90°，AF=EF．若∠CFE=70°，则∠B= °．

（2021•绍兴）
43．如图，在中，，，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连结AP，则的度数是 ．

（2021•朝阳）
44．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为 ．

（2021•陕西）
45．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8．若E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为 ．

（2021•牡丹江）
46．过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为 ．
（2023•武汉）
47．如图，平分等边的面积，折叠得到分别与相交于两点．若，用含的式子表示的长是 ．
  
（2023•丽水）
48．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．
  
（2022•鄂尔多斯）
49．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是 ．
  
（2022•青海）
50．如图，在RtABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为 °．

（2021•锦州）
51．如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，∠B＝45°，BC边的垂直平分线DE交AB于点D，连接CD，则AB的长为 ．

（2021•娄底）
52．如图，中，是上任意一点，于点于点F，若，则 ．

（2021•南京）
53．如图，在四边形中，．设，则 （用含的代数式表示）．

三．解答题（共7小题）
（2023•荆州）
54．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．
  
55．如图，点C为线段上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
（2022•温州）
56．如图，是的角平分线，，交于点E．

(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
（2021•淄博）
57．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
（2021•温州）
58．如图，是的角平分线，在上取点D，使．
  
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
（2021•绍兴）
59．如图，在中，，点D，E分别在边AB，AC上，，连结CD，BE．

（1）若，求，的度数．
（2）写出与之间的关系，并说明理由．
（2021•长沙）
60．如图，在中，，垂足为D，，延长至E，使得，连接．
  
(1)求证：；
(2)若，求的周长和面积．

参考答案：
1．B
【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，作于点D，
  
中,，，
，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．
2．C
【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
3．D
【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形．
【详解】解∵
又∵
∴，
∴
解得 ，
∴，且，
∴为等腰直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理．
4．C
【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：过A作于点D，过作于点，
∵，
∴，
当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，
  
∵，，
∴，
∴；
当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，
  
∵，，
∴，
∴，即；
综上，的值为或．
故选：C．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．
5．B
【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，根据邻补角以及旋转的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，将绕点逆时针旋转得到，
      
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴以线段为边的三角形，即，最小的锐角为，
∵，
∴
∴
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
6．B
【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，即，
当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；
若时，为等腰三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．C
【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵是等边的边上的高，
∴，
∵，
∴，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
8．C
【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．
9．A
【分析】先根据等边对等角求出∠BAC的度数，然后根据平行线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=25°，
∵，
∴∠ABD=∠1=60°，
∴∠2=180°-∠C-∠BAC-∠ABD=180°-25°-25°-60°=70°，
故选A．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确求出∠BAD和∠ABD的度数是解题的关键．
10．B
【分析】先根据平行线的性质，由得到∠BAE=∠DFE=50°，然后根据三角形外角性质计算∠E的度数．
【详解】解：∵，∠BAE＝50°，
∴∠BAE=∠DFE=50°，
∵CF＝EF，
∴∠C=∠E，
∵∠DFE=∠C+∠E=50°，
∴∠E=25°．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：为的中垂线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
12．B
【分析】由AB＝AC，∠BAC＝40°得∠ABC=70°，在由得即可求解；
【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC=（180°-∠BAC）＝（180°-40°）=70°，
∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
13．D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
14．D
【分析】利用HL证明△ACO≌△BCO，利用勾股定理得到OC=4，即可求解．
【详解】解：∵AB⊥x轴，
∴∠ACO=∠BCO=90°，

∵OA=OB，OC=OC，
∴△ACO≌△BCO(HL)，
∴AC=BC=AB=3，
∵OA=5，
∴OC=4，
∴点A的坐标是（4，3），
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．B
【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，再由三角形外角的性质可得∠AEF=∠1-∠A=80°，从而得到∠BEF=100°，然后根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠1=140°，
∴∠AEF=∠1-∠A=80°，
∴∠BEF=180°-∠AEF=100°，
∵，
∴∠2=∠BEF=100°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质是解题的关键．
16．A
【分析】利用等边对等角求得，然后利用三角形的内角和求得答案即可．
【详解】解：，，
．
，，，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是了解“等边对等角”的性质，难度不大．
17．B
【分析】这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据三角形的内角和等于180°，即可求解．
【详解】解：设这个底角的度数为x，则顶角的度数为（2x+20°），根据题意得：
，
解得：，
即这个底角的度数为40°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
18．D
【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值，再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．
【详解】解：∵，
∴
解得，
①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、3，能组成三角形，周长=2+2+3=7；
②2是底边时，三角形的三边分别为2、3、3，能组成三角形，周长=2+3+3=8，
所以该等腰三角形的周长为7或8．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值与算术平方根的非负性，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．
19．B
【分析】根据AB∥CD，可得∠C＝∠ABC＝30°，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝30°，
又∵CD＝CE，
∴∠D＝∠CED，
∵∠C+∠D+∠CED＝180°，即30°+2∠D＝180°，
∴∠D＝75°．
故选：B
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形中，等边对等角是解题的关键．
20．C
【分析】根据圆周角定理求出∠COB的度数，再求出∠OBD的度数，根据“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”求出OD的长度．
【详解】∵ ∠BAC=30°，
∴∠COB=60°，
∵∠ODB=90°，
∴∠OBD=30°，
∵OB=4，
∴OD=OB==2．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
21．C
【分析】根据作图可知平分，，由三线合一，解，即可求得．
【详解】平分,,
,

点F为的中点

的周长为:

故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的概念，等腰三角形性质，勾股定理，直角三角形性质，求出边是解题的关键．
22．C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．
23．A
【分析】先根据等边三角形的性质得到∠A＝60°，再根据三角形内角和定理计算出∠3＝80°，然后根据平行线的性质得到∠1的度数．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，

∴∠A＝60°，
∵∠A＋∠3＋∠2＝180°，
∴∠3＝180°−40°−60°＝80°，
∵，
∴∠1＝∠3＝80°．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了平行线的性质．
24．C
【分析】根据等边三角形的轴对称性，三线合一的性质逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 等边三角形是轴对称图形，正确，不符合题意，    
B. 等边三角形的对称轴的交点是其重心，正确，不符合题意，    
C. 等边三角形不是中心对称图形，符合题意，    
D. 等边三角形绕重心顺时针旋转120°能与自身重合，正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形重心，中心对称图形与轴对称图形的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
25．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的外角性质，三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：的中垂线与相交于E点，的中垂线与相交于F点，
，
，
，
，
，，
，
综上所述：，，
故选C．
【点睛】本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等这一知识点．
26．C
【分析】由垂直平分线的性质可得BD＝CD，由△ABD的周长＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．
【详解】解：由作图的过程可知，DE是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵，，
∴ △ABD的周长＝AB＋AD＋BD
＝AB＋AD＋CD
＝AB＋AC
＝19．
故选：C
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图、线段垂直平分线的性质、三角形的周长等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
27．B
【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】如图，设与的交点为，

根据作图可得，且平分，
，
四边形是矩形，
，
，
又， ，
，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形，故①正确；
②，
，
∠AFB＝2∠ACB；故②正确；
③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确，
④四边形是矩形，
，
若AF平分∠BAC，，
则，
，
，
，
，
，
，
CF＝2BF．故④正确；
故选B
【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
28．C
【分析】由垂直平分线的性质可得DC=BD，再计算△ACD周长即可．
【详解】解：∵DE是△ABC的边BC的垂直平分线，
∴BD=DC
∴AB=AD+BD=AD+DC=9
∵AC=6
∴△ACD的周长=AD+DC+AC=9+6=15
故选：C
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
29．B
【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．
【详解】解：连接，如图，

∵是P关于直线l的对称点，
∴直线l是的垂直平分线，
∴
∵是P关于直线m的对称点，
∴直线m是的垂直平分线，
∴
当不在同一条直线上时，
即
当在同一条直线上时，
故选：B
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键
30．C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
31．55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
32．
【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵直尺的两边平行，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∵点，表示的刻度分别为，
∴，
∴
∴线段的长为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
33．
【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．
34．4
【分析】由等腰三角形三线合一的性质，得，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，是边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，
根据勾股定理，得，
故答案为：4．
【点睛】本题考查等腰三角形三线合一的性质、勾股定理，熟练掌握三线合一的性质是解题的关键．
35．##
【分析】如图所示，取的中点D，连接，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形的性质得到，再由可得当三点共线时，有最大值，最大值为．
【详解】解：如图所示，取的中点D，连接，
∵是边长为2的等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴当三点共线时，有最大值，最大值为，
故答案为：．
  
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当三点共线时，有最大值是解题的关键．
36．5
【分析】先解二元一次方程组，然后讨论腰长的大小，再根据三角形三边关系即可得出答案．
【详解】解：解方程组，得：，
所以等腰三角形的两边长为2，1．　
若腰长为1，底边长为2，由1+1=2知，这样的三角形不存在．
若腰长为2，底边长为1，则三角形的周长为5．
所以，这个等腰三角形的周长为5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及解二元一次方程组，难度一般，关键是掌握分类讨论的思想解题．
37．40°或100°
【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°；
当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°；
故答案为：40°或100°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论．
38．11或13##13或11
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，
∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
39．6
【分析】分类讨论：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根据三角形三边关系即可得出结果．
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3
∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．
故答案为6．
【点睛】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，涉及分类讨论思想，结合三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
40．30°##30度
【分析】先由等边对等角得到，再根据三角形的内角和进行求解即可．
【详解】，
，
，，
，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
41．
【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，
∵CE=BD=2，AB=AC=6，
∴AE=4，
∴，
∴BF=4，
∴，
又∵BD=CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，
又∵∠BDP=∠ADB，
∴△BDP∽△ADB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴△ABP的周长，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．
42．55
【分析】首先根据等腰三角形的性质得出∠A=∠AEF，再根据三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠B的度数即可．
【详解】∵ AF=EF，
∴ ∠A=∠AEF，
∵∠A+∠AEF=∠CFE=70°，
∴ ∠A=35°，
∵ ∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，
∴ ∠B=180°−∠A−∠C=55°．
故答案为：55．
【点睛】本题考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关定理和性质是解题的关键．
43．或
【分析】分①点P在BC的延长线上，②点P在CB的延长线上两种情况，再利用等腰三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：①当点P在BC的延长线上时，如图

∵，，
∴
∴
∵以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，
∴AC=PC
∴
∵
∴
∴
②当点P在CB的延长线上时，如图

由①得，
∵AC=PC
∴
∴
故答案为：或
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论不重不漏是解题的关键．
44．(，4)或(，4)或(10，4)
【分析】分三种情况：①PM＝PA，②MP＝MA，③AM＝AP，分别画图，根据等腰三角形的性质和两点的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点P的坐标为（x，4），
分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴PM＝x，PA＝ ，
∵PM＝PA，
∴x＝，解得：x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴MP＝x，MA＝＝，
∵MP＝MA，
∴x＝，
∴点P的坐标为（，4）；
③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），
∴AP＝，MA＝＝，
∵AM＝AP，
∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），
∴点P的坐标为（10，4）；
综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．
故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和坐标与图形的性质，熟练掌握坐标与图形特征，利用坐标特征和勾股定理求线段的长是解题的关键．
45．6
【分析】当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，根据30°角所对的直角边是斜边的一半可得AC＝4，AP＝2，再由勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，

当点F与C重合时，△EFP的边长最长，周长也最长，
∵∠ACB＝90°，∠PFE＝60°，
∴∠PCA＝30°，
∵∠A＝60°，
∴∠APC＝90°，
△ABC中，AC＝AB＝4，
△ACP中，AP＝AC＝2，
∴PC＝＝＝2，
∴周长为2×3＝6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形的性质，运用勾股定理是解题关键．
46．45°或36°
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：①如图1，

当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=BC，AD=CD=BD，
设∠A=x°，
则∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，
∴∠BCD=∠B=x°，
∵∠A+∠ACB+∠B=180°，
∴x+x+x+x=180，
解得x=45，
∴原等腰三角形的底角是45°；
②如图2，

△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，
∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，
∵∠CDA=2∠B，
∴∠CAB=3∠B，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
∴原等腰三角形的底角为36°；
故答案为45°或36°
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解．
47．
【分析】先根据折叠的性质可得，，从而可得，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，，然后将两个等式相加即可得．
【详解】解：是等边三角形，
，
∵折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
，
，
又，
，
，，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
48．4
【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
49．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．
【详解】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，
∴BD＝CD，
∵AB＝3.7，AC＝2.3，
∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握这一性质是解题的关键．
50．40°
【分析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．
51．2＋2
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的外角性质得到∠ADC＝90°，根据含30°角的直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出DC，进而求出AB．
【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝45°，
∴∠ADC＝∠DCB＋∠B＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
由勾股定理得：DC＝＝＝2，
∴DB＝DC＝2，
∴AB＝AD＋DB＝2＋2，
故答案为：2＋2．
【点睛】本题主要考查了三角形外角性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
52．1
【分析】将的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出的值．
【详解】解：连接，如下图：

于点于点，


，
，
，
故答案是：1．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将的面积拆成两个三角形面积之和来解答．
53．
【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．
【详解】解：在△ABD中，AB=BD
∴∠A=∠ADB=
在△BCD中，BC=BD
∴∠C=∠BDC=
∵
∴
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．
54．见解析
【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．
【详解】证明：为等边的中线，
  
，

，

，


【点睛】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．
55．(1)见解析；
(2)

【分析】（1）根据等边对等角及，可得，因此，由此可得，又由于，因此得．再证，，根据SAS即可证明，由此可证．
（2）作，交于H，由G点是的中点可得是的中位线，由此可得．由，，可得，因此，则可得．设，将用含有m的式子表示出来，代入比例式中，求出m的值即可．
【详解】（1）证明：分别是以，为底边的等腰三角形，
，，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
又，
，
；
（2）解：，，，
，
，
，
作，交于H，

，
，
，，
，
，    
设，
，
，
，
，，
，
，
，即，
解得或（舍去），
∴的长为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形中位线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，综合性较强．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
56．(1)见解析
(2)相等，见解析

【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；
（2）利用平行线的性质可得， 则AD= AE，从而有CD = BE，由(1) 得，，可知BE = DE，等量代换即可．
【详解】（1）证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴，
∴．
（2）．理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
由（1）得，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．
57．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证明，，可得，从而可得结论；
（2）求解，结合的平分线交于点D，可得，由（1）知．
【详解】（1）证明：在中，的平分线交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∵的平分线交于点D，
∴，
由（1）知，
故的度数为．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握以上基础的几何知识是解本题的关键．
58．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据角平分线定义和等边对等角求出，然后利用平行线的判定定理得出结论；
（2）先根据平行线的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，然后根据角平分线定义得出答案．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
是的角平分线，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，角平分线定义，灵活运用相关判定定理和性质定理进行推理计算是解题的关键．
59．（1）；；（2），见解析
【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出，．
（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含分别表示，，即可得到两角的关系．
【详解】（1），，
．
在中，，
，
，
，
．
．

（2），的关系：．
理由如下：设，．
在中，，
，
．
，
在中，，
．
．
．
．
【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于 ．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．
60．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）根据线段的垂直平分线性质证明即可．
（2）根据勾股定理，等腰三角形的性质计算即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴直线是的垂直平分线，
∴，
∴．
（2）在中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线，勾股定理是解题的关键．