福建省莆田市荔城区莆田第九中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案）

这是一份福建省莆田市荔城区莆田第九中学2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

福建省莆田九中2023-2024学年九年级上学期返校考数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
2．（4分）下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
3．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，BC＝8，则AB＝（　　）

A．4 B．8 C．12 D．9
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0的一个根为1，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣2
5．（4分）秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x（　　）
A．100（1+x）2＝196
B．100（1+2x）＝196
C．196（1﹣x）2＝100
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝196
6．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．所有的正五边形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似
D．所有的等腰三角形都相似
7．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
8．（4分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
9．（4分）如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比（　　）

A．2：1 B．3：2 C． D．
10．（4分）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，刻度尺的分度值为1mm，玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，DE∥AB，量得AB＝10mm　 　mm．

12．（4分）已知，则＝　 　．
13．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则+2x1+x2＝　 　．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E　 　．

15．（4分）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根　 　．
16．（4分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，如：Max{2，4}＝4，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）16x2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
18．（8分）如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，OB＝5，DC＝12．求AB

19．（8分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AD＝5，AE＝4

20．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为17m）
（1）若围成的面积为144m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成面积为160m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能

21．（8分）在解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3）．得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 　 　；
（2）请给出正确的解答过程．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）利用尺规在AC边上求作点E，使得EC＝ED（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，BC＝10

24．（12分）【观察思考】

【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 　 　；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　 　．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
25．（14分）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，交AC于H点，交CD于G点．
（1）求证：GD•AB＝DF•BG；
（2）若点G是DC中点，求的值．
（3）连接CF，求∠CFB的度数．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是（　　）
A．x＝0 B．x＝2 C．x1＝0，x2＝﹣2 D．x1＝0，x2＝2
【分析】利用因式分解法求解可得．
【解答】解：∵x2﹣2x＝8，
∴x（x﹣2）＝0，
则x＝4或x﹣2＝0，
解得：x8＝0，x2＝7．
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
2．（4分）下列线段中，能成比例的是（　　）
A．3cm、6cm、8cm、9cm B．3cm、5cm、6cm、9cm
C．3cm、6cm、7cm、9cm D．3cm、6cm、9cm、18cm
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
所给选项中，只有D符合，故选：D．
【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3．（4分）如图，两条直线被三条平行线所截，若DE＝3，BC＝8，则AB＝（　　）

A．4 B．8 C．12 D．9
【分析】利用平行线分线段成比例定理求解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l6，
∴＝，
∴＝，
∴AB＝4．
故选：A．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是学会利用平行线分线段成比例定理解决问题．
4．（4分）若关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣1＝0的一个根为1，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣2
【分析】把x＝1代入方程x2+3x+k﹣1＝0得到1+3+k﹣1＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+7x+k﹣1＝0得4+3+k﹣1＝6，
解得k＝﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（4分）秦杨商场去年第一季度销售利润是100万元，第二季度和第三季度的销售利润逐步攀升，第三季度销售利润是196万元．设第二季度和第三季度平均增长的百分率为x（　　）
A．100（1+x）2＝196
B．100（1+2x）＝196
C．196（1﹣x）2＝100
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝196
【分析】设平均每个季度销售利润的增长率为x，根据该公司第一季度及第三季度得销售利润，即可得出关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：设平均每个季度销售利润的增长率为x，
依题意得：100（1+x）2＝196，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（4分）下列说法不正确的是（　　）
A．所有的正五边形都相似
B．所有的正方形都相似
C．所有的正三角形都相似
D．所有的等腰三角形都相似
【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可进行判断．
【解答】解：A．所有的正五边形都相似，故此选项不符合题意；
B．所有的正方形都相似，故此选项不符合题意；
C．所有的正三角形都相似，故此选项不符合题意；
D．所有的等腰三角形对应边的比不一定相等，所有的等腰三角形不一定相似．
故选：D．
【点评】本题考查相似多边形的识别．解题的关键是掌握判定两个图形相似的依据：对应边的比相等，对应角相等，两个条件必须同时具备．
7．（4分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠1 B．k＞ C．k≥且k≠1 D．k≥
【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+7x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：k＞且k≠1，
∴k的取值范围是k＞且k≠1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
8．（4分）定义运算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．则方程2☆x＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【分析】根据新运算得到x2﹣2x﹣1＝0，再计算判别式的值，然后根据判别式的意义确定方程根的情况．
【解答】解：根据题意得x2﹣2x﹣7＝0，
∵Δ＝（﹣2）4﹣4×（﹣1）＝5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
9．（4分）如图，把一张矩形纸片沿着它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．若小矩形的长与宽的比恰好等于原来矩形的长与宽的比（　　）

A．2：1 B．3：2 C． D．
【分析】根据折叠的性质可得：AE＝AD，再根据题意可得：矩形ABFE与矩形ADCB相似，然后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：由折叠得：AE＝AD，
由题意得：矩形ABFE与矩形ADCB相似，
∴＝，
∴AD•AE＝AB7，
∴AD2＝AB2，
∴＝2，
∴AD：AB＝：8，
故选：D．
【点评】本题考查了相似多边形的性质，翻折变换（折叠问题），熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
10．（4分）已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，下列阴影部分三角形与原三角形不一定相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、不能证明阴影部分的三角形与原△ABC相似；
B、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，故选项C不符合题意；
D、由有两组角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，刻度尺的分度值为1mm，玻璃管的内径DE正对“30”刻度线，DE∥AB，量得AB＝10mm　6　mm．

【分析】通过证明△CDE∽△CAB，可得，即可求解．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴，
∴，
∴DE＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求线段的长是解题的关键．
12．（4分）已知，则＝　2　．
【分析】令＝k，然后利用比例的性质求得以k表示的a、b、c的值，再将其值代入所求的代数式并求值．
【解答】解：设＝k、b＝4k，
＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质．设比例式的比值为k的（比例系数），这是解比例式常用的有效方法．
13．（4分）设x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，则+2x1+x2＝　2022　．
【分析】由x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个根，得出x1+x2＝﹣1，+x1＝2023，再把+2x1+x2变形为+x1+x1+x2，即可求出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x8+x﹣2023＝0的两个根，
∴x1+x3＝﹣1，+x1＝2023，
∴+2x1+x3＝+x4+x1+x2＝2023﹣3＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
14．（4分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，D是BC上一点，DE⊥AB，垂足为E　3　．

【分析】由垂直的定义得到∠DEB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴∠C＝∠DEB，
∵∠B＝∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
即＝，
∴DE＝8，
故答案为：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（4分）已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程的两根　7　．
【分析】由题意知方程有两个相等的实数根，据此得出k的值，再利用三角形的周长公式可得答案．
【解答】解：由题意知方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣）2﹣4×k×3＝4，
解得：k＝3，
∴原方程为：x2﹣3x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
则三角形的三边长度为2、6、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．（4分）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号Max{a，b}表示a，如：Max{2，4}＝4，方程Max{x，﹣x}＝x2﹣2的解为　+2或﹣2　．
【分析】分为两种情况：①当x＞﹣x时，得出方程x2﹣2＝x，②当﹣x＞x时，得出方程x2﹣2＝﹣x，求出方程的解即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当x＞﹣x，即x＞0时，x2﹣5＝x，
解得：x1＝2，x2＝﹣1，
x＝﹣1舍去；
②当﹣x＞x，即x＜8时，x2﹣2＝﹣x，
解得：x2＝﹣2，x2＝2，
x＝1舍去；
所以方程Max{x，﹣x}＝x2﹣6的解为2或﹣2，
故答案为：4或﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方程：
（1）16x2﹣25＝0；
（2）x2﹣4x+1＝0．
【分析】（1）方程变形后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程移项后，利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）16x2﹣25＝0，
移项得16x8＝25，
x2＝，
∴x＝±，
∴x1＝，x2＝﹣；
（2）x2﹣4x+2＝0．
移项，得x2﹣6x＝﹣1，
在方程两边加上一次项系数一半的平方得，
x2﹣5x+4＝﹣1+2，
（x﹣2）2＝3．
∴x﹣2＝±，
∴x7＝2+，x5＝2﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
18．（8分）如图，已知△AOB∽△DOC，OA＝2，OB＝5，DC＝12．求AB

【分析】先根据OA＝2，AD＝9求出OD的长，再根据△AOB∽△DOC即可得出＝＝，再把已知数据代入进行计算即可．
【解答】解：∵OA＝2，AD＝9，
∴OD＝6﹣2＝7，
∵△AOB∽△DOC，
∴＝＝，
∵OA＝8，OB＝5，
∴＝＝，解得OC＝．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
19．（8分）如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AD＝5，AE＝4

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【解答】解：∵FE∥CD，
∴＝，即＝，
解得，AC＝，
∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得，AB＝．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
20．（8分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为17m）
（1）若围成的面积为144m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成面积为160m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能

【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（34﹣2x）m，根据矩形车棚的面积为144m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合可利用的墙长为17m即可确定车棚的宽，再将其代入（34﹣2x）中可求出车棚的长；
（2）设AB＝ym，则BC＝（34﹣2y）m，根据矩形车棚的面积为160m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，即可得出该方程没有实数根，即不能围成面积为160m2的自行车车棚．
【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（34﹣2x）m，
依题意得：x（34﹣2x）＝144，
整理得：x8﹣17x+72＝0，
解得：x1＝8，x2＝9．
当x＝7时，34﹣2x＝34﹣2×5＝18＞17，舍去；
当x＝9时，34﹣2x＝34﹣8×9＝16＜17．
答：自行车车棚的长为16m，宽为9m．
（2）不能，理由如下：
设AB＝ym，则BC＝（34﹣3y）m，
依题意得：y（34﹣2y）＝160，
整理得：y2﹣17y+80＝4．
∵Δ＝（﹣17）2﹣4×8×80＝﹣31＜0，
∴该方程没有实数根，
即不能围成面积为160m2的自行车车棚．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0，方程没有实数根”．
21．（8分）在解方程x2﹣9＝2（x﹣3）的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得（x+3）（x﹣3）＝2（x﹣3），…第一步
方程两边都除以（x﹣3）．得x+3＝2，…第二步
解得x＝﹣1…第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 　第二步　；
（2）请给出正确的解答过程．
【分析】（1）根据等式的基本性质可判断第一题；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
【解答】解：（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步；
（2）正确的解答过程如下：
移项，得：（x+3）（x﹣3）﹣3（x﹣3）＝0，
将左边因式分解，得：（x﹣7）（x+1）＝0，
则x﹣3＝0或x+1＝2，
解得x1＝3，x2＝﹣1．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣6＝0，
∴Δ＝[﹣（m+5）]2﹣4（8m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣4）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x＝7或x＝m﹣2，
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜6．
综上可知，若方程有一个根是负数．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D．
（1）利用尺规在AC边上求作点E，使得EC＝ED（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，BC＝10

【分析】（1）由题意可知有两种方法：方法一，根据线段垂直平分线的性质，使点E在CD的垂直平分线上，方法二，根据等腰三角形的性质可利用平行线的性质、角平分线的性质推出∠ECD＝∠EDC，从而有EC＝ED；
（2）根据方法一求解，先利用垂直平分线的性质得出EC＝ED，从而推出∠EDC＝∠DCE，再根据角平分线的性质推出∠BCD＝∠，进而推出DE∥BC、△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
根据方法二求解，由DE∥BC得到∠ADE＝∠B，从而推出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可；
【解答】（1）方法一：作CD的垂直平分线交AC于点E．∴点E就是所求作的点．
方法二：过点D作BC的平行线交AC于点E．∴点E就是所求作的点．

（2）当第（1）问用方法一时：
由（1）知DE＝CE，
∴∠EDC＝∠DCE，
∵CD平分∠BCE，
∴∠BCD＝∠DCE，
∴∠BCD＝∠EDC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝10，
∴，
∴，
∴DE＝4；
当第（1）问用方法二时：
由（1）知DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，BC＝10，
∴，
∴，
∴DE＝4．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质和作图—复杂作图，解题的关键是根据角平分线的性质、平行线的性质推出角之间的关系，从而推出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质求解．
24．（12分）【观察思考】

【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 　3n　；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 　　．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，…，从而可求第n个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝2+2，
第2个图案中“◎”的个数为：4＝1+2+8+1，
第3个图案中“◎”的个数为：2＝1+2+5+3+1，
…，
∴第n个图案中“◎”的个数：7+2（n﹣1）+n+7＝3n，
故答案为：3n；
（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：＝3×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
25．（14分）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，交AC于H点，交CD于G点．
（1）求证：GD•AB＝DF•BG；
（2）若点G是DC中点，求的值．
（3）连接CF，求∠CFB的度数．

【分析】（1）利用△BGC∽△DGF，得，而AB＝BC，即可证明；
（2）首先利用AAS证明△BGC≌△DEC，得CG＝EC，由△BGC∽△DGF，得GF：DG＝CG：BG，在Rt△BGC中，设CG＝x，则BC＝2x，BG＝x，从而得出答案；
（3）连接BD、CF，利用两边成比例且夹角相等，可证△BGD∽△CGF，得∠BDG＝∠CFG，从而解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠BCD＝∠GFD，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴△BGC∽△DGF，
∴，
∴DG•BC＝DF•BG，
∵AB＝BC，
∴DG•AB＝DF•BG；
（2）解：∵△BGC∽△DGF，
∴∠FDG＝∠CBG，
在△BGC与△DEC中，
，
∴△BGC≌△DEC（AAS），
∴CG＝EC，
∵G是CD中点，
∴CG＝DG，
∴GF：CE＝GF：DG，
∵△BGC∽△DGF，
∴GF：DG＝CG：BG，
在Rt△BGC中，设CG＝x，BG＝x，
∴CG：BG＝，
∴GF：CE＝；
（3）如图，连接BD，

∵△BGC∽△DGF，
∴，
∴，
又∵∠BGD＝∠CGF，
∴△BGD∽△CGF，
∴∠BDG＝∠CFG，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴，
∴∠CFG＝45°，
∴∠CFB＝45°．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，证明△BGD∽△CGF是解题的关键．