2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年湖南省长沙市岳麓区长郡双语实验中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列四个数中，最大的一个数是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 3.  如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件能判断四边形是平行四边形(    )
 A. ，
B. ，
C. ，
D. ，4.  函数中自变量的取值范围是(    )A.  B. 且 C. 且 D. 5.  一家鞋店在一段时间内销售了某款运动鞋双，该款的各种尺码鞋销售量如图所示．鞋店决定在下一次进货时增加一些尺码为的该款运动鞋，影响鞋店这一决策的统计量是(    )
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差6.  对于二次函数的图象，下列说法正确的是(    )A. 开口向下 B. 对称轴是直线
C. 顶点坐标是 D. 与轴有两个交点7.  某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 8.  如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点有下列结论：关于的方程的解为；关于的方程的解为；当时，；当时，其中正确的是(    )

 A.  B.  C.  D. 9.  如图，在中，，为中线，延长至点，使，连接，为的中点，连接，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 10.  如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线，下列结论：；；；；其中正确结论的个数有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  分解因式： ______ ．12.  计算 ______ ．13.  如果将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，那么所得到的新抛物线的表达式是______ ．14.  清代诗人袁枚的一首诗苔中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开”，若苔花的花粉直径约为米，用科学记数法表示为______米．15.  如图，在▱中，平分，交于，，，则的长为______ ．
 16.  如图，在正方形中，、相交于点，、分别为、上的两点，，、分别交、于、两点，连、下列结论：；；；其中正确的序数是______．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
已知二次函数的图象经过点、和求此二次函数的解析式，并直接写出它的顶点坐标；18.  本小题分
已知：如图、是平行四边形的对角线上的两点，求证：．
19.  本小题分
某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，初、高中部根据初赛成绩各选出名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩如条形图所示．
下面是根据名选手的决赛成绩的条形图绘制的关于平均数、中位数、众数方差的统计表． 平均数分中位数分众数分方差分初中代表队高中代表队根据条形图计算出，，的值：______，______，______．
结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
计算初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手的成绩较为稳定．
20.  本小题分
如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．
求的值；
求的面积；
21.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．22.  本小题分
如图，在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形是菱形；
若，，求的长．
23.  本小题分
某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量件与每件的售价元满足一次函数关系．
该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？
物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，设这种衬衫每月的总利润为元，那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？24.  本小题分
在平面直角坐标系中，我们将形如，这样，纵坐标与横坐标互为相反数的点称之为“互补点”．
直线上的“互补点”的坐标为______ ；
直线上是否有“互补点”，若有，请求出点的坐标，若没有请说明理由；
若函数的图象上存在唯一的一个“互补点”，且当时，的最小值为，求的值．25.  本小题分
在平面直角坐标系中，矩形的坐标分别为点，点，点，点，动点从出发，以每秒个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称图形，设点的运动时间为．
Ⅰ如图，若，求的长；
Ⅱ如图，若点恰好落在上时，求点的坐标；
Ⅲ是否存在异于图的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的值？若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，
四个数中最大的是．
故选：．
根据实数的大小比较法则：正数大于，负数小于，正数总大于负数，即可得答案．
本题考查实数大小比较的方法和无理数的估算，解题的关键是正确估算无理数的大小．2.【答案】 【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用分式的乘除运算法则以及完全平方公式，分别判断得出答案．
此题主要考查了分式的乘除运算以及完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】 【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A符合题意；
B、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
C、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由，，不能判定四边形是平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．4.【答案】 【解析】解：由题意得：且，
解得：且，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为是解题的关键．5.【答案】 【解析】解：由表中数据知，这组数据的众数为，
所以影响店主决策的统计量是众数，
故选：．
平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．6.【答案】 【解析】解：二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，此方程没有实数解，所以抛物线与轴没有交点．
故选：．
利用二次函数的性质对、、进行判断；利用的实数解的个数对进行判断．
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质．7.【答案】 【解析】解：由题意得：
，
故选：．
根据一次降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．8.【答案】 【解析】解：由图象得：关于的方程的解为，正确；
关于的方程的解为，正确；
当时，，正确；
当时，，错误；
故选：．
根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解．
本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键．9.【答案】 【解析】解：在中，，，，
．
又为中线，
．
为中点，即点是的中点，
是的中位线，则．
故选：．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．10.【答案】 【解析】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
当时，，
，
故正确；
图象与轴的交点在和之间，

，
；
故正确；
正确结论为：，有个，
故选：．
根据对称轴为直线及图象开口向下可判断出、、的符号，从而判断；根据对称轴得到函数图象经过，则得的判断；根据图象经过可得到、、之间的关系；当时，，则得的判断；从图象与轴的交点在和之间可以判断的大小得出的正误．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．11.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．12.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先计算二次根式的乘法，再算减法，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移个单位，所得直线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移个单位，所得抛物线的解析式为：．
故答案为：．
分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了科学记数法表示绝对值较小的数．解题的关键是能够用科学记数法表示较小的数的一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：，
故答案为：．15.【答案】 【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据角平分线的性质可得，再根据平行线的性质可得，利用等量代换可得，根据等角对等边可得，再根据线段的和差关系可得长．
此题主要考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是得到．16.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，故正确；
由知：≌，
，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，故错误；
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，故正确；
故答案为：．
易证得≌，则可证得结论正确；
由≌，可得，证得，选项正确；
证明是等腰直角三角形，求得选项错误；
证明≌，根据正方形被对角线将面积四等分，即可得出选项正确．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．17.【答案】解：二次函数的图象经过点、和，代入二次函数解析式得：
，
解得：
二次函数的解析式为，即，
顶点的坐标为． 【解析】分别将点和点的坐标代入函数解析式，然后即可得出和的值，得出函数解析式后也即可得出顶点的坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数解析式的知识及二次函数的顶点坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是待定系数法的运用．18.【答案】证明：、是平行四边形的对角线上的两点，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．19.【答案】     【解析】解：初中名选手的平均分，众数，
高中名选手的成绩是：，，，，，故中位数
故答案为：，，；

由表格可知初中部与高中部的平均分相同，初中部的中位数高，
故初中部决赛成绩较好；

，
，
初中代表队选手的成绩较为稳定．
根据平均数的计算公式和众数、中位数的定义分别进行解答即可；
根据平均数相同的情况下，中位数高的哪个队的决赛成绩较好；
根据方差公式先算出各队的方差，然后根据方差的意义即可得出答案．
本题考查方差、中位数、众数、条形图等知识，记住这些概念是解决问题的关键，理解方差越小成绩越稳定，属于中考常考题型．20.【答案】解：直线：与轴交于点，且经过定点，
，
，
直线：，
直线：经过点，
，
，
把代入，
得到；
对于直线：，令，得到，
，
，
对于直线：，令，
得到，
，
，，
，
． 【解析】利用待定系数法求解即可；
求出，，的坐标，利用三角形面积公式求解即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题，一次函数的性质，待定系数法，正确地求出函数解析式是解题的关键．21.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 【解析】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．22.【答案】证明：，
，
为的平分线，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
解：四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
在中，，，
，
． 【解析】先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出是解答本题的关键．23.【答案】解：，
解得，，，
尽量给客户优惠，
这种衬衫定价为元；
由题意可得，，
该衬衫的每件利润不允许高于进货价的，每件售价不低于进货价，
，，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：售价定为元可获得最大利润，最大利润是元． 【解析】根据题意列方程，解方程即可得到结论；
根据题意列函数关系式，根据二次函数的性质即可得到结论．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．24.【答案】 【解析】解：设直线上的“互补点”的坐标为，
，解得，
直线上的“互补点”的坐标为，
故答案为：；
假设直线上存在“互补点”，
则由题意得：，
解得：，
时，无意义，不存在互补点，
直线上有“互补点”，点的坐标为；
设“互补点”的坐标为，
由题意可知，方程有唯一解，
整理得：，且．
即，
整理得：．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，取得最小函数值．
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，解得；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，显然无解；
当时，此时当时，取得最小值，
由题意得，
整理得：，
解得，．
，
．
综上所述，的值为或．
根据“互补点”的定义即可求解；
假设直线上存在“互补点”，由题意可列出关于的方程，解这个方程即可；
根据题意列出关于的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于的二次函数，将此函数化为顶点式再由二次函数的增减性进行分类讨论即可求解．
此题是二次函数综合题，主要考查了新定义、解方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的增减性，对“互补点”的理解以及分类讨论的运用是解决本题的关键．25.【答案】解：Ⅰ，，
，
在中，
，，
；
Ⅱ，，，
，，
在中，
，
若点恰好落在上的处，
，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
点的坐标为；
Ⅲ分两种情况：
当时，
此时又有两种情况：
点在上，如图所示：

由题意，得：，
在中，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
点在延长线上，如图所示：

由题意，得：，
在中，
，
，
在中，
，，
由勾股定理得：，
即，
解得：；
当时，如图所示：

由题意，得：，
则四边形为正方形，
，即；
综上所述，在异于图的时刻，使得是直角三角形，符合题意的值为或或． 【解析】Ⅰ根据坐标确定的长，由确定的长，再根据勾股定理即可求出的长；
Ⅱ先求出，用的代数式表示，，再在中，利用勾股定理列方程求出的值，即可求出点的坐标；
Ⅲ分情况讨论，当时，点在上，点在延长线上；当时，分别画出图形，利用勾股定理列方程，或利用正方形的性质求出的值即可．
本题是四边形综合题，以平面直角坐标系为背景，主要考查矩形的性质、正方形的性质，全等三角形的判定与性质、轴对称图形的性质、勾股定理、分类讨论等知识；熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键．