2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省杭州二中白马湖学校八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列甲骨文中，不是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列命题中是假命题的是(    )

A. 对顶角相等 B. 同旁内角互补 C. 两点确定一条直线 D. 垂线段最短

3.  已知三角形三边的长分别为、、，则的取值范围在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列长度的三条线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5.  到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的(    )

A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条角平分线的交点

6.  直角三角形斜边上的高与中线分别为和，则它的面积为．(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小红用如图所示的方法测量小河的宽度她利用适当的工具，使，，，点、、在同一直线上，就能保证≌，从而可通过测量的长度得知小河的宽度在这个问题中，可作为证明≌的依据的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，已知钝角三角形，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤：以为圆心，为半径画弧；
步骤：以为圆心，为半径画弧，交弧于点；
步骤：连接，交的延长线于点．
下列叙述正确的是(    )

A. 垂直平分线段
B. 平分
C.
D.

9.  如图：，分别是的边、上的点，若，，则(    )

A. 当为定值时，为定值
B. 当为定值时，为定值
C. 当为定值时，为定值
D. 当为定值时，为定值

10.  在平面直角坐标系中，若干个边长为个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第秒运动到点为正整数，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______ ．

12.  等腰三角形的两边长分别为、，则它的周长为______ ．

13.  若不等式的解集为，则的取值范围是______ ．

14.  如图，等边三角形中，、分别为、边上的两动点，且总使，与交于点，于点，则 ______ ．

15.  如图，，点在上，且，按以下要求画图：以点为圆心，为半径向右画弧交于点，得第一条线段；再以为圆心、为半径向右画弧交于点，得第二条线段；再以为圆心，为半径向右画弧交于点，得第三条线段这样一直画下去，最多能画______ 条线段．

16.  在直角坐标系中，为坐标原点，已知，在轴上确定一点，使为等腰三角形，写出所有符合条件的点的坐标______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．
；
．

18.  本小题分
已知关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值．
求的取值范围；
化简．

19.  本小题分
如图，，是上的一点，且，求证：是直角三角形．

20.  本小题分
已知，，．
若点在第二象限内，且，，求点的坐标，并求的面积；
若点在第四象限内，且的面积为，，求点的坐标．

21.  本小题分
某校计划为教师购买甲、乙两种词典．已知购买本甲种词典和本乙种词典共需元，购买本甲种词典和本乙种词典共需元．
求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元？
学校计划购买甲种词典和乙种词典共本，总费用不超过元，那么最多可购买甲种词典多少本？

22.  本小题分
如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．
若，则______，______用含的代数式表示；
若的周长是，求的长．
若，，直接写出的周长的最小值用含的代数式表示

23.  本小题分
在中，点在直线上，点在平面内，点在的延长线上，，，．
【问题解决】
如图，若点在边的延长线上，求证：；
【类比探究】
如图，若点在线段上，请探究线段、与之间存在怎样的数量关系？并证明；
【拓展延伸】
如图，若点在线段的延长线上，请直接写出线段，与之间的数量关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是轴对称图形，故本选项不合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了轴对称图形，轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．

2.【答案】 

【解析】解：、对顶角相等，所以选项为真命题；
B、两直线平行，同旁内角互补，所以选项为假命题；
C、两点确定一条直线，所以选项为真命题；
D、垂线段最短，所以选项为真命题．
故选：．
根据对顶角的性质对进行判断；根据平行线的性质对进行判断；根据直线公理对进行判断；根据垂线段公理对进行判断．
本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．

3.【答案】 

【解析】解：三角形的三边长分别是，，，
的取值范围是，
故选：．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可得：，然后在数轴上表示出来即可．
此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

4.【答案】 

【解析】解：、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
B、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
C、，该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，不符合题意；
D、，该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

5.【答案】 

【解析】解：到三角形三边的距离都相等的点是这个三角形的内心，即三个内角平分线的交点．
故选：．
直接利用三角形的内心性质进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

6.【答案】 

【解析】【分析】
据直角三角形斜边上中线性质求出斜边长，再根据直角三角形的面积公式求出面积即可．
本题考查了直角三角形斜边上中线性质的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．
【解答】
解：直角三角形的斜边上的中线为，
斜边为，
直角三角形斜边上的高为，
此直角三角形的面积为，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
则证明≌的依据的是，
故选：．
直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

8.【答案】 

【解析】解：、正确．如图连接、，

，，
点、点在线段的垂直平分线上，
垂直平分线段．
B、错误．不能证明，所以不一定平分；
C、错误．应该是；
D、错误．，在中，，但不一定等于倍的，故AB不一定等于．
故选：．
，根据步骤，可以得到，，证得点、点在线段的垂直平分线上，继而作出判断；
，要想证明平分，就要说明，据此作出判断；
，根据是边上的高，结合三角形的面积公式作出判断；
，根据线段之间的和差关系，以及直角三角形中边的关系进行判断即可．
本题侧重考查线段垂直平分线判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题关键．

9.【答案】 

【解析】【试题解析】
解：由得，
由得，
根据三角形的外角等于不相邻的两个内角的和可知，
，，
即，，代换得．
故选B．
问题即是判断与、、有无确定关系，通过等边对等角及外角与内角的关系探索求解．
本题充分运用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，列等式代换，得出结论．

10.【答案】 

【解析】解：每个点一个循环，它的纵坐标规律为：，，，，，，
，
点的纵坐标为，
点的横坐标规律为：，，，，，，，，
点的横坐标为，
点的坐标，
故选：．
每个点一个循环，它们的纵坐标规律为：，，，，，，点的横坐标规律为：，，，，，，，，即可求解．
本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：当腰为，则底边为，而，所以这种情况舍去；
当腰为，则底边为，则三角形周长为．
故答案为．
分类讨论：当腰为，则底边为；当腰为，则底边为，然后根据三角形三边的关系进行判断，再计算三角形周长．
本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．

13.【答案】 

【解析】解：解不等式，
当，即时，
原不等式可化为：，即，与已知相矛盾；
当，即时，
，即，符合题意，
故的取值范围是．
本题是关于的不等式，应先只把看成未知数，求得的解集，再根据数轴上的解集，来求得的值．
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．

14.【答案】 

【解析】解：，
，
等边三角形，
≌，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先根据题意推出≌，可知，因此，所以，即可推出结论．
本题主要考查全等三角形的判定和性质、含度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于根据题意推出≌和．

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
，
，，的度数，，，
．
．
为整数，
．
故答案为：．
先根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得，，，的度数．然后分析，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，解决本题的关键是找出规律．

16.【答案】，，， 

【解析】解：，
，
，，，．
故答案为：，，，．
分别以、为圆心，以长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点，再作线段的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点，作出图形，利用数形结合求解即可．
本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

17.【答案】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并得：，
解得：，
；
，
由得：，
由得：，

则不等式组解集为． 

【解析】不等式去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式，掌握求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了是本题的关键．

18.【答案】解：，
得：，
，
得：，
，
关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值，
，
解得：；

解：，
． 

【解析】得出，求出，求出，根据关于、的方程组的解为正数，且的值小于的值，得出，求出不等式组的解集即可；
根据中的取值范围得出，求出即可．
本题考查了绝对值、解方程组、解不等式组的应用，关键是得出关于的不等式组，题目比较好，但有一定难度．

19.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
是直角三角形． 

【解析】根据，得，利用“”可证明≌，根据全等三角形的性质得，从而得出，则是直角三角形．
本题考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：点在第二象限内，
，，
，，
，，
点的坐标为，
，，
的面积；
的面积为，点在第四象限内，
，
，
，
，
点的坐标为． 

【解析】因为点在第二象限内，所以，，因为，，所以，，即点的坐标为，再根据点，的坐标，即可得出的面积；
因为的面积为，点在第四象限内，所以，得，由，得，即可得出点的坐标．
本题考查直角坐标系内点的坐标的确定，解题的关键是正确处理线段长度与坐标之间的关系．

21.【答案】解：设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，
依题意，得：，
解得：．
答：每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元．
设学校购买甲种词典本，则购买乙种词典本，
依题意，得：，
解得：．
答：学校最多可购买甲种词典本． 

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设每本甲种词典的价格为元，每本乙种词典的价格为元，根据“购买本甲种词典和本乙种词典共需元，购买本甲种词典和本乙种词典共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设学校购买甲种词典本，则购买乙种词典本，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．

22.【答案】   

【解析】解：如图，连接、、．
是点关于的对称点，
，，，
，，
，
同理可得：，，，
，；
，
，
故答案为：，；

、分别是点关于、的对称点，
，，
的周长，
的周长等于，
；
，，
，，
的周长，且的周长的最小值为的长，
的周长的最小值是．
如图，连接、、，根据轴对称的性质可得和都是等腰三角形，且，进而可根据等腰三角形的性质得，同理可得，，于是可推得，，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
根据轴对称的性质可推出的周长，进而可得结果；
易得是等腰直角三角形，且，从而可根据勾股定理求出，而由轴对称的性质可知即为的周长的最小值，于是可得结果．
本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．

23.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：线段、与之间是，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
解：线段、与之间是，理由如下：
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论；
先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论；
先证，再由证得≌，得出，，即可得出结论．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．