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2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团九年级(上)入学数学试卷(含解析)
展开2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团九年级(上)入学数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列新能源汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 下列等式从左到右的变形,是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3. 用配方法解方程,下列配方结果正确的是( )
A. B. C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
5. 一次函数和的图象如图所示,则的解集是( )
A. B. C. D.
6. 下列命题是真命题的是( )
A. 若,则
B. 等腰三角形的角平分线、中线和高重合
C. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 一个正多边形的内角和为,则这个正多边形的一个外角等于
7. 某商店需要购进甲乙两种商品,已知甲的进价比乙多元,分别用万元进货甲乙两种商品,购买乙的件数比甲多件,现设乙的进价为元,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 如图,在菱形中,,,则菱形边上的高的长是( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知关于的分式方程的解为非负数,则的取值范围是( )
A. B.
C. 且 D. 且
10. 如图,在正方形中,点是对角线、的交点,过点作射线、分别交、于点、,且,、交于点给出下列结论:
≌;
≌;
;
正方形面积是四边形的面积为的倍.
其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11. 因式分解:______.
12. 已知方程的一个根是,则的值是______ .
13. 若关于的分式方程有增根,则的值为______.
14. 如图,在周长为的平行四边形中,、交于点,交于点,则的周长为______.
15. 如图,在菱形中,,、分别是边,上的动点,连接、,、分别为、的中点,连接若的最小值为,则的长为______ .
三、解答题(本大题共7小题,共55.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. 本小题分
解方程:
;
.
17. 本小题分
解不等式组:并把它的解集在数轴上表示出来;
先化简,再求值:,其中.
18. 本小题分
如图,方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度,在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系,的顶点都在格点上.
将向右平移个单位长度得到请画出;
画出关于点的中心对称图形;
若将绕某一点旋转可得到,旋转中心的坐标为______ .
19. 本小题分
如图,在四边形中,,,对角线,交于点,平分,过点作,交的延长线于点,连接.
求证:四边形是菱形.
若,,求的长.
20. 本小题分
某服装店老板用元购进了一批甲款恤,用元购进了一批乙款恤,已知所购乙款恤数量是甲款恤数量的倍,购进的乙款恤单价比甲款恤单价贵元.
购进甲、乙两款恤的单价分别是多少元?
老板把这两种恤的标价都定为每件元,甲款恤打九折销售,乙款恤按标价销售经过一段时间的销售,老板发现,销售两种恤共件时,利润不低于元那么这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售多少件?
21. 本小题分
【问题情境】:如图,点为正方形内一点,,,,将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、.
【问题解决】:
如图,在旋转的过程中,点落在了上则 ______ ;
若,如图,得到此时与重合,延长交于点,
试判断四边形的形状,并说明理由;
连接,求的长;
在直角三角形绕点逆时针方向旋转过程中,直接写出线段长度的取值范围.
22. 本小题分
问题提出:如图,在中,、分别是和的中点,连接,则与的数量关系是______ ,位置关系是______ ;
问题探究:如图,在四边形中,,,,为中点,连接,求的最大值;
问题解决:如图,某小区计划在一片足够大的空地上修建四边形的花园,其中米,,,,由于受地理位置的影响,根据要求,现计划给该花园修建条笔直的绿色长廊,且绿色长廊的入口定为的中点,出口定为点,为了尽可能地提高观赏体验,要求绿色长廊最长,试求绿色长廊最长为多少米?
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:、既是轴对称图形,又是中心对称图形,故A符合题意;
B、,是轴对称图形,但不是中心对称图形,故B、不符合题意;
C、不是轴对称图形,是中心对称图形.故C不符合题意.
故选:.
把一个图形绕某一点旋转,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,由此即可得到答案.
本题考查轴对称图形,中心对称图形,关键是掌握轴对称图形,中心对称图形的定义.
2.【答案】
【解析】解:,原题干因式分解错误,故A不符合题意;
B.,从左边到右边的变形是整式乘法计算,故B不符合题意;
C.,从左边到右边的变形属于因式分解,故C符合题意;
D.不属于多项式,故D不符合题意;
故选:.
根据因式分解的定义判断即可.
本题主要考查了因式分解的定义和因式分解的方法,能熟记因式分解的定义是解此题的关键,注意:把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫因式分解.
3.【答案】
【解析】解:,
移项,得,
配方,得,
即.
故选:.
先移项,再配方,即可得出选项.
本题考查了解一元二次方程,能够正确配方是解此题的关键.
4.【答案】
【解析】解:,
原方程有两个相等的实数根.
故选:.
先计算出根的判别式的值,再根据的值就可以判断根的情况.
本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况.一元二次方程的根与有如下关系:
当时,方程有两个不相等的实数根;
当时,方程有两个相等的实数根;
当时,方程无实数根.
5.【答案】
【解析】解:当时,,
所以不等式的解集为.
故选:.
利用函数图象,写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可.
本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
6.【答案】
【解析】解:若,则,故A是假命题,不符合题意;
等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高重合,故B是假命题,不符合题意;
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,故C是假命题,不符合题意;
一个正多边形的内角和为,则这个正多边形有条边,它的一个外角等于,故D是真命题,符合题意;
故选:.
根据不等式性质,等腰三角形性质,平行四边形判定,多边形内角和与外角和逐项判断.
本题考查命题与定理,解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理.
7.【答案】
【解析】解:设乙的进价为元,则甲的进价是元,
根据题意得,.
故选:.
由题意得甲的进价是元,根据用万元进货甲乙两种商品,购买乙的件数比甲多件列出方程即可.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
8.【答案】
【解析】解:对角线,交于点,则为直角三角形
则,
,
菱形的面积根据边长和高可以计算,根据对角线长也可以计算,
即,
,
故选:.
对角线,交于点,则为直角三角形,在中,已知,根据勾股定理即可求得的长,根据菱形面积不同的计算方法可以求得的长度,即可解题.
本题考查了菱形面积的计算方法,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,本题中根据勾股定理计算的值是解题的关键.
9.【答案】
【解析】解:原分式方程可化为,
方程两边同乘得,,
去括号得,,
移项得,,
合并同类项得,,
系数化为得,
原分式方程的解为非负数,
,,
即,,
解得且,
故选:.
先求出分式方程的解,然后根据其解为非负数得到,,即,,从而求出的取值范围.
本题考查了解分式方程,注意到分式方程的分母不为这一条件是关键.
10.【答案】
【解析】解:在正方形中,,,,
,
,
≌,故正确;
在正方形中,即,所以不全等于;故错误;
≌,
,,
四边形为正方形,
,
,
在中,,
,
,
又,
,
,故正确;
由全等可得四边形的面积与面积相等,
正方形面积是四边形的面积为的倍,故正确.
综上所述,结论正确的是.
故选:.
利用正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理逐一分析即可得出正确答案.
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,解题的关键是证明≌.
11.【答案】
【解析】解:,
故答案为:.
提公因式,再运用平方差公式因式分解.
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
12.【答案】
【解析】解:把代入,得,
解得,.
故答案为:.
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到关于的一次方程,然后解一次方程即可.
本题考查了一元二次方程的解的定义:能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.
13.【答案】
【解析】解:原分式方程变形为,
分式方程有增根,
,为增根,
将代入上式,
,
.
故答案为.
增根是指在分式方程化为整式方程的过程中,若整式方程的根使最简公分母为,那么这个根叫做原分式方程的增根.本题中,方程为分式方程,分母为,如果方程有增根,则分母为,所以得出即,根据,解出的值就是答案.
本题考查了分式方程的增根,正确理解增根的含义是解题的关键.
14.【答案】
【解析】解:
平行四边形的周长为,
,为的中点,
,
为线段的垂直平分线,
,
,
即的周长为,
故答案为:.
由平行四边形的性质结合条件可求得为线段的垂直平分线,可求得,则可求得的面积.
本题主要考查平行四边形的性质,掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分是解题的关键.
15.【答案】
【解析】解:连接,
,分别为,的中点,
,且,
要使最小,只要最小,
当时,最小,
的最小值为,
,
,
,
,
,
四边形是菱形,
.
故答案为:.
连接,利用中位线的性质,要使最小,只要最小,当时,最小为,由确定为等腰直角三角形,得出,由勾股定理得:求出即可.
本题考查动点图形中的中位线,菱形的性质,等腰直角三角形的性质,勾股定理应用问题,掌握中位线的性质,菱形性质,等腰直角三角形的性质是解题关键.
16.【答案】解:,
,
,
,
或,
,.
,
,,,
,
方程有两个不相等的实数根,
即,.
【解析】用因式分解法求解即可;
用公式法求解即可.
本题考查了一元二次方程的解法,常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,熟练掌握各种方法是解答本题的关键.
17.【答案】解:解不等式得,,
解不等式得,,
所以不等式组的解集为.
这个不等式组的解集在数轴上表示如图:
,
当时,原式.
【解析】分别求出每一个不等式的解集,将解集表示在数轴上,根据数轴求得不等式的解集即可求解.
先算括号内的式子,再算括号外的除法,然后将的值代入化简后的式子计算即可.
本题考查分式的化简求值,解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,数形结合是解题的关键.
18.【答案】
【解析】解:如图,即为所求;
如图,即为所求;
旋转中心的坐标为,
故答案为:.
利用平移变换的性质分别作出,,的对应点,,即可;
利用中心对称变换的性质分别作出,,的对应点,,即可;
对应点连线的交点即为旋转中心.
本题考查作图旋转变换,平移变换,中心对称变换等知识,掌握旋转变换,平移变换,中心对称变换的性质是解题的关键.
19.【答案】证明:,
,
为的平分线,
,
,
,
,
,
,
四边形是平行四边形,
,
平行四边形是菱形;
解:四边形是菱形,对角线,交于点,
,,,
,
在中,,
,
,
,
在中,,为中点,
.
【解析】根据题意先证明四边形是平行四边形,再由可得平行四边形是菱形;
根据菱形的性质得出的长以及,利用勾股定理求出的长,再根据直角三角形斜边中线定理得出,即可解答.
本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
20.【答案】解:设购进甲款恤的单价是元,则购进乙款恤的单价是元,
根据题意得:,
解得:,
经检验,是所列方程的解,且符合题意,
.
答:购进甲款恤的单价是元,乙款恤的单价是元;
设这段时间按标价销售了件乙款恤,则销售了件甲款恤,
根据题意得:,
解得:,
的最小值为.
答:这段时间按标价销售的乙款恤至少要销售件.
【解析】设购进甲款恤的单价是元,则购进乙款恤的单价是元,利用数量总价单价,结合用元购进乙款恤的数量是用元购进甲款恤数量的倍,可列出关于的分式方程,解之经检验后,可得出购进甲款恤的单价,再将其代入中,即可求出购进乙款恤的单价;
设这段时间按标价销售了件乙款恤,则销售了件甲款恤,利用总利润每件的销售利润销售数量,结合总利润不低于元,可列出关于的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:找准等量关系,正确列出分式方程;根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
21.【答案】
【解析】解:,,,
,
四边形是正方形,
,,
,
由旋转的性质得:,
;
故答案为:;
四边形是正方形,理由如下:
由旋转的性质得:,,,
,
四边形是矩形,
又,
四边形是正方形;
过点作于点,如图所示:
则,
,
,
在和中,
,
≌,
,,
,
;
直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、,
当时,与重合,最短;
当落在的延长线上时,,最长,
线段长度的取值范围是.
由勾股定理得,再由正方形的性质得,然后由旋转的性质得,即可求解;
由旋转的性质得,,,再证四边形是矩形,即可得出结论;
过点作于点,证≌,得,,则,再由勾股定理求解即可;
当时,与重合,最短;当落在的延长线上时,,最长,即可得出答案.
本题是四边形综合题目,考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识;本题综合性强,熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质,证明≌是解题的关键,属于中考常考题型.
22.【答案】
【解析】解:由题可知,、分别是和的中点,
为的中位线,
且;
故答案为:,;
如图,取的中点,连接、,
、分别是和的中点,
为的中位线,
且,
在中,,,
;
在中,,
当、、三点共线的时候最大,
即此时,
答:的最大值为;
过作于点,在上截取使,连接,取中点,连接,如图,
,,
,
四边形为矩形,
.
矩形为正方形,
,
在与中,
,
≌,
,,
,
在中,,
,
在中,点为中点,
,
在中,点、分别为、中点,
为的中位线,
且,
在中,,
当、三点共线的时最大,
即此时,
答:绿色长廊最长为米.
根据中位线定理即可得出答案;
取的中点,连接、,由图在中,,可得当、、三点共线的时候最大,此时,根据中位线可得出的长度,在中根据勾股定理可得的长度,即可得出的最大值;
过作于点,在上截取使,连接,取中点,连接、,可证得为正方形,再证明≌,易证为等腰直角三角形,从而得出的长度,根据中位线定理可得出的长度;利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出,再根据可得,当、、三点共线时最大,即可得出答案.
本题是四边形综合题,考查中位线定理的综合应用,结合三角形的全等以及三角形三边长关系,在做此类题目时注意类比每一问之间的关系,一般下一问都会用到上一问的结论和做题思路.
2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团七年级(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年广东省深圳市红岭教育集团七年级(上)期末数学试卷(含解析),共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷: 这是一份广东省深圳市福田区红岭教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷,共23页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
广东省+深圳市福田区红岭中学(红岭教育集团)2023-2024学年七年级上册期末数学试卷: 这是一份广东省+深圳市福田区红岭中学(红岭教育集团)2023-2024学年七年级上册期末数学试卷,共4页。