2023-2024学年河南省郑州实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省郑州实验外国语学校九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

2.  若关于的一元二次方程配方后得到方程，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上若线段，则线段的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了在如下定理中：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
对角线相等的平行四边形是矩形，
矩形的四个角都是直角，
三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，在菱形中，，，、分别是边、中点，则周长等于(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于，于点，连结，则线段的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，矩形中，是的中点，点为上的动点不与、重合，过作，垂足为，，垂足为，，，，，则与之间的函数关系式为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若关于的方程是一元二次方程，则的值为______．

12.  如图，矩形中，于，：：，则的度数等于______．

13.  三角形两边的长分别是和，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为        ．

14.  已知：正方形的边长为，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴的负半轴、轴的正半轴上，点在边上，将该矩形沿折叠，点恰好落在边上的处，且为等腰直角三角形，若，则点的坐标是______．

三、解答题（本大题共5小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：
；
；
；
．

17.  本小题分
关于的一元二次方程有两个不等的实数根．
求的取值范围；
当取最小整数时，求的值．

18.  本小题分
年月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展某品牌头盔的销量逐月攀升，已知月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
若此头盔的进价为元个，经测算当售价为元个时，月销售量为个；售价每上涨元，则月销售量减少个，为使月销售利润达到元，并尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的售价应定为多少元个？

19.  本小题分
如图，在中，，垂足是，是的外角的平分线，，垂足是，连接交于．
求证：四边形为矩形；
求证：，；
当满足______ 时，四边形为正方形．

20.  本小题分
如图，在中，、为边上的两个动点，．

若，，则与相似吗？为什么？
若即、重合，则 ______ 时，∽；
当和满足怎样的数量关系时，∽？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
原方程无实数根，
故选：．
计算一元二次方程根的判别式即可求解．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

2.【答案】 

【解析】解：配方可得到，
变形可得，
，
．
故选：．
根据完全平方式的特征对配方可得到，通过变形可得的值．
本题考查了完全平方公式和一元二次方程的综合运用，熟练完全平方式的配方是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法求的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

5.【答案】 

【解析】解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在平行横线于，

，
五线谱是由等距离的五条平行横线组成的，
，
，
解得，
故选：．
过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在平行横线于，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，计算即可得解．
此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握并灵活运用该定理、找准对应线段是解答此题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直，
故选：．
根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论．
本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：设根据题意得：．
故选：．
利用年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作辅助线构造出等边三角形是解题的关键，也是本题的突破点．
连接，然后判定是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，，同理可得，，然后判定是等边三角形，再根据等边三角形的周长求解即可．
【解答】
解：如图，连接，

菱形，，
是等边三角形，
点是的中点，
，，
同理可得：，，
，，
是等边三角形，
的周长．
故选B．

9.【答案】 

【解析】解：连接，
，，
，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，，
，
的最小值为：．
线段长的最小值为．
故选：．
连接，当时，最小，利用三角形面积解答即可．
本题主要考查的是矩形的判定与性质，关键是根据矩形的性质和三角形的面积公式解答．

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，过点作于点，

四边形是矩形，
，，，
，
，
，，，，
，
点是的中点，
，
，
，
．
故选：．
连接，过点作于点，容易求出的面积为，而，利用面积即可得出和的关系式．
本题考查了矩形的性质、勾股定理以及列函数关系式，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有； 角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等．

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得，且，
解得：．
故答案为：．
根据一元二次方程的定义，必须满足三个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为，是整式方程，据此即可求解．
本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：是常数且，特别要注意的条件．

12.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
：：，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质可得，，然后根据比例求出，，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，最后根据直角三角形两锐角互余解答．
本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
所以，，
而，
所以三角形第三边长为，
所以此三角形的周长为．
故答案为：．
先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算此三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法、三角形三边的关系，解题的关键是掌握因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

14.【答案】 

【解析】解：四边形为正方形，
，，
，，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，


故答案为：
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：由折叠可得，，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
，
，
，
由折叠可得，，
四边形为矩形，
，
，
，
点在第二象限，
点坐标为，
故答案为
本题主要考查了折叠问题，矩形的性质，勾股定理的运用，以及轴对称中的坐标变化．
根据勾股定理以及折叠的性质，即可得到和的长，进而得到点的坐标．

16.【答案】解：，
则，
，
，；
，
则，
，
，
，
，；
，
，
，
，，，
则，
，
，；
，
则，
，
或，
，． 

【解析】利用直接开平方法解出方程；
利用配方法解出方程；
利用公式法解出方程；
利用因式分解法解出方程．
本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

17.【答案】解：一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
且；
满足条件的最小值为，
此时方程为，
解得，． 

【解析】根据方程有两个不相等的实数根根，则根的判别式且，建立关于的不等式，求出的取值范围；
得到的最小整数，利用因式分解法解一元二次方程即可．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

18.【答案】解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
又要尽可能让顾客得到实惠，
．
答：该品牌头盔的售价应定为元个． 

【解析】设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，利用月份的销售量月份的销售量该品牌头盔销售量的月平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
设该品牌头盔的售价定为元个，则每个头盔的销售利润为元，月销售量为个，利用月销售利润每个头盔的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】是等腰直角三角形 

【解析】证明：，垂足是，
平分，，
，
是的外角平分线，
，
，
，
即，
又，
，
又，
，
四边形是矩形．
证明：四边形是矩形，
，
，平分，
，
是的中位线，
即，．
解：当是等腰直角三角形时，四边形为正方形．
在中，平分，
，
，
又四边形是矩形，
矩形为正方形．
故答案为：是等腰直角三角形．
先根据，垂足是，得平分，然后根据是的外角平分线，可求出，故，所以四边形为矩形；
根据四边形是矩形，可知是的中点，由，平分可知是的中点，故DF是的中位线，即，；
根据矩形的性质可知当是等腰直角三角形时，则，利用等腰三角形的性质定理可知对应边再运用邻边相等的矩形是正方形．问题得证．
此题考查的是等腰三角形、矩形、正方形的判定与性质和三角形外角平分线的性质，具有一定的综合性，需要灵活应用．

20.【答案】 

【解析】解：结论：∽．
理由：，
，
，
，，
，
∽；
当时，∽．
理由：如图，

，
，
，，
，
∽．
故答案为：；
结论：．
理由：，
，
，
当时，则有∽，
，
，
，
在中，，
，
即．
由条件可证明为等边三角形，结合可得到，可证明∽；
利用的结论可得到对应边成比例，把条件代入可得到与之间的关系；
由条件可知当关系成立时则有∽，可得到，再结合外角和三角形内角和可找到和之间的关系式．
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例、对应角相等是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．