2023-2024学年福建省莆田市荔城区砺成中学九年级（上）返校考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省莆田市荔城区砺成中学九年级（上）返校考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  将一元二次方程配方后可得到方程(    )

A.  B.  C.  D.

3.  一元二次方程的一个根为，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知∽，且，，若的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D. 无法计算

5.  已知方程的解是，，那么方程的解是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  如图，已知，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  在平面直角坐标系中，已知点、，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

8.  年某电影上映的第一天票房为亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为，则根据题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图所示，在中，点是的中点，，点在边上，下列判断错误的是(    )

A. ∽
B.
C.
D.

10.  如图，在边长为的正方形中，，连接，，，分别是，的中点，连接，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  已知，则______．

12.  已知为方程的一个根，则代数式的值为______ ．

13.  已知，分别为矩形两条对角线的长，且是关于的方程的根，则的值为______ ．

14.  若，求的值为______ ．

15.  如图，，若：：，，则 ______ ．

16.  如图，在中，点、在上，点、分别在、上，四边形是矩形，，是的高，，，那么的长为______．

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

17.  解方程

 

18.  列方程组解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克元；
小李：当销售价为每千克元时，每天可售出千克；若每千克降低元，每天的销售量将增加千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？

四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
已知关于的一元二次方程有实数根．
求的取值范围；
若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．

20.  本小题分
如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，若测得，，，楼高是多少？

21.  本小题分
如图，在矩形中，是边的中点，且于点，连接．
求证：；
．

22.  本小题分
如图，某小区矩形绿地的长宽分别为，现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．
若扩充后的矩形绿地面积为，求新的矩形绿地的长与宽；
扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为：求新的矩形绿地面积．

23.  本小题分
已知：如图，在中，，请利用没有刻度的直尺和圆规，按下列要求作图注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注．
在斜边边上找一点，连接，使得∽；
过作一射线分别交线段，线段于点，点，且使得；
在、条件下，若，，求的长．

24.  本小题分
如图，已知中，，，点是边上的一个动点点与点，不重合，点在边上，若为等腰三角形，求的长．

25.  本小题分
已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．
如图，若四边形是矩形，且求证：；
如图，若四边形是平行四边形．试探究：当与满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；
如图，若，，，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
B、未知数的最高次数为，不是一元二次方程，该选项不符合题意；
C、是一元二次方程，该选项符合题意；
D、不是整式，不是一元二次方程，该选项不符合题意．
故选：．
根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是二次的方程，叫做一元二次方程是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
先移项得到，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
根据一元二次方程的解的定义，把代入方程可得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可．
【解答】
解：把代入方程，得，
解得，
故选：．

4.【答案】 

【解析】解：∽，，，
：：：，
面积的比为：，
的面积为，
的面积为，
故选：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：把方程看作关于的一元二次方程，
方程的解是，，
或，
解得或，
方程的解为，．
故选：．
把方程看作关于的一元二次方程，则利用方程的解是，得到或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

6.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，
，，
，
负值已舍去．
故选：．
通过证明∽，利用相似三角形的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，正确得出对应边成比例的关系是解题关键．

7.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，以原点为位似中心将缩小，位似比为，
点的对应点的坐标为：或，即或，
故选：．
根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或解答．
本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

8.【答案】 

【解析】解：某电影上映的第一天票房为亿元，且平均每天票房的增长率为，
该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元．
根据题意得：．
故选：．
根据第一天的票房及平均每天票房的增长率，可得出该电影上映的第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，结合三天累计票房为亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：，，
∽，
，，故A，，选项正确；
点是的中点，
，
，
，故D选项错误，
故选：．
根据，，可得∽，进而根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接并延长交于，连接，如图所示，
正方形的边长为，，
，，
∽，
是的中点，
，
，，
，
，
，是的中点，
是的中位线，
．
故选：．

连接并延长交于，连接，先证∽，得出，得是的中位线，则，然后用勾股定理求出即可得解．
此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关性质与定理、添加适当的辅助线构造相似三角形是解答此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：，
，
则．
故答案为：．
直接利用已知得出，代入原式化简得出答案．
此题主要考查了比例的性质，正确把已知代入是解题关键．

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个根，
，
，



．
故答案为：．
先根据一元二次方程解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

13.【答案】 

【解析】解：，分别为矩形两条对角线的长，
，
，
解得．
故答案为：．
利用矩形的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了矩形的性质．

14.【答案】 

【解析】解：令，
，
，
，
或，
或，
，
，
的值为，
故答案为．
令，即可得到，因式分解法求出方程的解，进而选择合适的答案．
本题主要考查了换元法解一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握因式分解法解方程，此题难度不大．

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合：：，，即可求出的长．
本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：设交于点，
矩形的边在上，
，，
∽，
于点，
，
，
，
，，，
，
，，，
，
解得，
的长为，
故答案为：．
设交于点，由矩形的边在上证明，，则∽，得，其中，，，可以列出方程，解方程求出的值即可．
此题重点考查矩形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，根据“相似三角形对应高的比等于相似比”列方程是解题的关键．

17.【答案】解：，
，
则或，
解得，；

，
，
或，
解得，． 

【解析】利用因式分解法求解可得；
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】解：设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意得，
，
整理得，
或．
要尽可能让顾客得到实惠，
，
售价为元．
答：水果的销售价为每千克元时，超市每天可获得销售利润元． 

【解析】设降低元，超市每天可获得销售利润元，由题意列出一元二次方程，解之即可得出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

19.【答案】解：根据题意得：，
解得：．
故的取值范围是：．
根据题意得：，，
，
，即，
解得：，由得，故舍去．
故的值为． 

【解析】本题考查了根与系数的关系：当，是一元二次方程的两根时，，．
根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可；
根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
注意：由得，故舍去．

20.【答案】解：，，
，
∽，
，
已知，，，
，
，
答：楼高是． 

【解析】根据平行线的判定得到，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，证得∽是解题的关键．

21.【答案】证明：过点作交于点，交于点，如图所示：
四边形为矩形，
，，
四边形为平行四边形，
，
点为的中点，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
垂直平分，
．
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】过点作交于点，交于点，证明四边形为平行四边形，得出，根据点为的中点，得出，根据，得出，得出点为的中点，求出，证明垂直平分，得出；
证明∽，得出，求出，即可得出．
本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定，得出∽．

22.【答案】解：设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：
解得：，不符合题意，舍去，
，．
答：新的矩形绿地的长为，宽为．
设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，
根据题意得：：：，
即  ，
解得：，
．
答：新的矩形绿地面积为． 

【解析】设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据扩充后的矩形绿地面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其正值分别代入及中，即可得出结论；
设将绿地的长、宽增加，则新的矩形绿地的长为，宽为，根据实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为：，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出新的矩形绿地面积．
本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；找准等量关系，正确列出一元一次方程．

23.【答案】解：如图，点即为所求作．
如图，射线即为所求作．

过点作于．
由作图可知，平分，
，，
，
，，，
，
，
，
． 

【解析】作出斜边边上的高交于点．
作的角平分线交于点，交于点即可．
过点作于证明，利用面积法求解即可
本题考查作图复杂作图，三角形的高，角平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．

24.【答案】解：当时，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
当时，
设，则，
，
，
，
，
，∽，
，即，
，
，
，
又，
，
∽，
，
即
解得，经检验符合题意；
的长为或． 

【解析】分两种情况讨论：当时，证明≌，可得；当时，设，则，证明∽，可得，，再证明∽，可得，可得答案．
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键．

25.【答案】证明：四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
∽，
；

当时，成立．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，，
，
，
∽，
，
，
，
即当时，成立．

解：．
理由是：过作于，交延长线于，连接，设，
，即，
，
四边形是矩形，
，，
在和中

≌，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
舍去，，
，
，
，
，
，
，
∽，
． 

【解析】根据矩形性质得出，求出，证出∽即可；
当时，成立，证∽，得出，证∽，得出，即可得出答案；
过作于，交延长线于，连接，设，≌，推出，证∽，求出，在中，由勾股定理得出，代入得出方程，求出，证出∽，即可得出答案．
本题考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力，题目比较好．