安徽省A10联盟2023-2024学年高二数学上学期9月初开学摸底考试试题（Word版附解析）

安徽省安庆、池州、铜陵三市2022-2023学年高二下学期联合期末检测数学试题

一、单选题

1．数列的第11项是（　　）

A． B． C． D．

2．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

3．已知变量之间具有线性相关关系，根据15对样本数据求得经验回归方程为，若，则（　　）

A．12 B．19 C．31 D．46

4．随机变量，若，则（　　）

A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2

5．如图，在正四棱台中，，则与平面所成角的大小为（　　）

A． B． C． D．

6．甲乙两个盒子里各装有4个大小形状都相同的小球，其中甲盒中有2个红球2个黑球，乙盒中有1个红球3个白球，从甲盒中取出2个小球放入乙盒，再从乙盒中随机地取出1个小球，则取出的小球是红球的概率是（　　）

A． B． C． D．

7．2023年第19届亚运会将在杭州举行，某大学5名大学生为志愿者，现有语言翻译、医疗卫生、物品分发三项工作可供安排，每项工作至少分配一名志愿者，这5名大学生每人安排一项工作．若学生甲和学生乙不安排同一项工作，则不同的安排方案有（　　）

A．162种 B．150种 C．120种 D．114种

8．已知，则的大小关系为（　　）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知圆，下列说法正确的是（　　）

A．圆心为 B．半径为2

C．圆与直线相离 D．圆被直线所截弦长为

10．关于的展开式，下列结论正确的是（　　）

A．二项式系数和为1028 B．所有项的系数之和为

C．第6项的二项式系数最大 D．项的系数为360

11．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术人门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、椎体、球体以及它们的组合体和穿插体．十字穿插体，是由两个相同的长方体相互从中部贯穿而形成的几何体，也可以看作四个相同的几何体（记为拼接而成，体现了数学的对称美．已知在如下图的十字穿插体中，，下列说法正确的是（　　）

A．平面

B．与所成角的余弦值为

C．平面截该十字穿插体的外接球的截面面积为

D．几何体的体积为

12．形如的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”．研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线．已知为坐标原点，下列关于函数的说法正确的是（　　）

A．渐近线方程为和

B．的对称轴方程为和

C．是函数图象上两动点，为的中点，则直线的斜率之积为定值

D．是函数图象上任意一点，过点作切线，交渐近线于两点，则的面积为定值

三、填空题

13．已知随机变量的分布列如表，则的均值　     　．

14．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则　     　．

15．已知数列满足，且，若（其中表示不超过的最大整数），则　     　；数列前2023项和　     　．

16．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为　           　．

四、解答题

17．在①，②这两个条件中选择一个，补充在下面的横线上，并解答问题．

已知向量，且满足____．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，角所对的边分别为，若，求的面积．

18．记为数列的前项和，已知．

（1）求的通项公式；

（2）设，记数列的前项和为，证明：．

19．如图1，已知正三棱锥分别为的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点的展开点分别为，点的展开点分别为），其中的面积为．在三棱锥中，

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值．

20．为了研究数学成绩是否与物理成绩有关联．某中学利用简单随机抽样获得了容量为100的样本，将所得数学和物理的考试成绩进行整理如下列联表：

参考公式：，其中．

参考数据：

（1）完成列联表，试根据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩与物理成绩有关联；

（2）用样本频率估计概率，从该学校中随机抽取12个学生，问这12个学生中数学成绩优秀的人数最有可能是多少?

21．已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

22．已知函数．

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）已知时，讨论函数的零点个数．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】数列的概念及简单表示法

【解析】【解答】设该数列的第n项为，

由已知，

变形可得，

所以数列的一个通项公式可以是，

可得．

故答案为：A.

【分析】由所给数列的前几项归纳数列的通项公式， 确定数列的第11项.

2．【答案】C

【知识点】导数的加法与减法法则；简单复合函数求导法则

【解析】【解答】对A：，故A错误；

对B：，故B错误；

对C：，故C正确；

对D：，故D错误．

故答案为：C.

【分析】根据求导运算逐项分析判断即可.

3．【答案】B

【知识点】众数、中位数、平均数；线性回归方程

【解析】【解答】因为，所以，
又因为过点，

所以，解得，则．

故答案为：B.

【分析】根据题意，求得，结合回归直线方程过样本中心点，代入求得，即可求解.

4．【答案】D

【知识点】正态密度曲线的特点

【解析】【解答】由，

可得，

由对称性可得，由，所以．

故答案为：D.

【分析】根据正态曲线的对称性得到，再结合计算可得.

5．【答案】B

【知识点】棱台的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【解答】将该正四棱台补成正四棱锥，设ABCD的中心为O，如图：

连接PO，设，
因为，则，，
所以，
又因为，所以，

由正棱锥的性质可知底面ABCD，底面ABCD，所以，

因为四边形ABCD是正方形，所以，而平面PDB，

所以平面PDB，则与平面所成角为，

因为，则在直角三角形PAO中，，

且，所以.

故答案为：B

【分析】将该正四棱台补成正四棱锥，根据线面角定义法分析可得与平面所成角为，在直角三角形中求解即可.

6．【答案】C

【知识点】全概率公式

【解析】【解答】从甲盒中取出2个红球的概率为，

从甲盒中取出2个黑球的概率为，

从甲盒中取出1个红球1个黑球的概率为，

由全概率公式，从乙盒中随机地取出1个红球的概率．

故答案为：C.

【分析】根据题意分别求出从甲盒中取出2个红球的概率，取出2个黑球的概率和取出1个红球1个黑球的概率，然后利用全概率公式可求得结果.

7．【答案】D

【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合

【解析】【解答】将5人分成三组的分法有种，其中甲乙同组的分法有种，

因此符合要求的分组有种，再把所分组安排工作，共有种，

所以不同的安排方案有114种．

故答案为：D.

【分析】把5人按照甲乙不在同一组分成3组，再作全排列并计算作答.

8．【答案】A

【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性

【解析】【解答】因为，所以，

设，

则

设，则，

则在单调递增，，即，

所以在单调递增，，

所以，即．

因为，所以，

设，

设，

则在单调递减，，则，

记可得，

所以，

所以．因此有．

故答案为：A.

【分析】因为，故构建，利用导数研究其单调性，由此比较的大小；因为，故构建，利用导数研究函数的单调性，由此比较的大小，由此确定结论.

9．【答案】B,D

【知识点】圆的标准方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系；相交弦所在直线的方程

【解析】【解答】将圆，化为标准方程得，

可知圆心，半径，故A错误，B正确；

由圆心到直线的距离，

即，直线与圆相切，故C错误；

圆心到直线的距离为，

所以所截弦长为，故D正确.

故答案为：BD.

【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确.

10．【答案】B,C

【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；二项式定理的应用

【解析】【解答】对A：的的展开式二项式系数和为，故A错误；

对B：令，可得中所有项的系数之和为，故B正确；

对C：因为10为偶数，所以的展开式中第项的二项式系数最大，故C正确；

对D：的展开式的通项为，

令得，此时，
所以项的系数为180，故D错误．

故答案为：BC.

【分析】对A：由题意得二项式系数和公式求解进行判断，对B：令可求得结果，对C：由二项式系数的性质进行判断，对D：求出二项式展开式的通项公式，令x的次数为，求出k，然后代入通项公式可求得结果.

11．【答案】A,C,D

【知识点】组合几何体的面积、体积问题；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定

【解析】【解答】对A：连接，由，可知均为棱上的四等分点，E，F为棱上的中点，

因为，所以，

所以，所以，故，

同理可得，又，平面EMN，

所以平面EMN，故A正确；

对B：连接EF，则PE与所成角即为PE与EF所成角，

在中，，

所以PE与EF所成角的余弦值为，故B错误；

对C：该十字穿插体的外接球球心即为长方体的中心O，

半径，

球心O到平面EMN的距离d，即为球心O到长方体侧面的距离，所以d=1，

所以截面圆的半径，所以截面面积为，故C正确；

对D：几何体可取为，设其体积为x，，

则，所以，故D正确．

故答案为：ACD.

 【分析】对A：连接，利用已知的数据结合勾股定理逆定理可得，，然后利用线面垂直的判定可得结论；对B：PE与所成角即为PE与EF所成角，在中求解即可；对C：求出球心O到平面EMN的距离，从而可求出截面圆的半径，进而可求出面积；对D：几何体可取为，设其体积为x，然后利用可求得结果.

12．【答案】A,B,D

【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式；直线的斜率；双曲线的简单性质

【解析】【解答】对A：因为是双曲线，由图象可知：函数图象无限接近和，但不相交，

故渐近线为和，故A正确；

对B：因为是双曲线，由双曲线的性质可得，对称轴为渐近线的角分线，且互相垂直，

一条直线的倾斜角为，

由二倍角公式可得，

整理得，解得或（舍去），

故，

另一条直线的斜率为，
所以的对称轴方程为和 ，故B正确；

对C：设，所以，

故，故C错误；

对D：因为，

设，则Q处切线的斜率，

所以切线方程为，

令，可得，即，则；

令，可得，即，则；

故面积为（定值），故D正确．

故答案为：ABD.

【分析】对于A：根据题意结合图象分析判断；对于B：根据题意结合倍角公式以及垂直关系分析运算；对于C：根据题意结合斜率公式运算求解；对于D：根据导数的几何意义求切线方程，进而可求结果.

13．【答案】0.9

【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差

【解析】【解答】由离散型分布列的性质，可得，解得，

则．

故答案为：0.9.

【分析】根据分布列的性质，求得，结合期望的计算公式，即可求解.

14．【答案】2

【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【解答】设交点坐标为，过的直线为，

与抛物线联立可得，，故．

则，

故当时，动直线有且仅有一条，即，故．

故答案为：2.

【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.

15．【答案】；1685

【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式

【解析】【解答】由，得，两式相减得，
因为，所以，

则数列的周期为6，则数列的周期也为6，

由题意得，

则，

所以.

故答案为：，1685.

【分析】由，得到，两式相减得到，进而得到数列的周期为6，数列的周期也为6求解.

16．【答案】

【知识点】导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用

【解析】【解答】由已知不等式，可化为，

两边同时除以x得．

令，则，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增，

所以当时，函数取最小值，最小值为e，

当时，，当时，，

所以的范围是，即．

所以不等式可化为，其中，

所以在上恒成立，

构造函数，

则，令，可得，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

所以时，取最大值，最大值为，

所以，即a的取值范围为.

故答案为：.

【分析】不等式可化为，令，可得恒成立，其中，构造函数，利用导数求其最大值可得a的取值范围.

17．【答案】（1）解：若选条件①：

由向量，

可得，

所以函数的最小正周期为.

若选条件②：

由向量，

可得，，

所以，所以函数的最小正周期为.

（2）解：选条件①：

由（1）得，则，

因为，所以，所以，即，

在中，由余弦定理，

整理得，解得或，

当时，，

当时，，

所以的面积为或．

若选条件②：

由（1）得，则，

因为，所以，所以，即，

在中，由余弦定理，

整理得，解得或，

当时，，

当时，，

所以的面积为或．

【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积坐标表示的应用；简单的三角恒等变换；余弦定理；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【分析】 (1) 若选条件①：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，进而可求周期；若选条件②：根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得，进而可求周期；
(2) 对于条件①②：由可得，利用余弦定理可得或，进而可求面积.

18．【答案】（1）解：解法一：∵，

两式相减可得，，可得，

又∵，

∴也符合．

∴，

∴，

故；

解法二：，

时，，

两式相减得，

∴，

又∵，

∴，

∴为常数列，，∴

（2）证明：．

前项和，

∵，∴，

∴，∴.

【知识点】数列的概念及简单表示法；数列的求和；数列的递推公式

【解析】【分析】 (1) 解法一：根据与之间的关系可得，利用累积法运算求解；解法二：根据与之间的关系可得，结合常数列运算求解；
(2) 整理可得，利用裂项相消法分析证明.

19．【答案】（1）证明：因为三棱锥为正三棱锥，为的中点，

所以，

又因为平面，

所以平面；

（2）解：如图1，在平面展开图中过作直线的垂线，垂足为，垂线交于点，

所以，

因为分别为的中点，所以，

所以，得，

在正三角形中，因为，所以，所以，

在中，．

解法一：如图2，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则．

设为平面的一个法向量，

因为，

所以，即，令，可得．

设为平面的一个法向量，

因为，

所以，即，令，可得．

设平面与平面夹角为，

，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

解法二：如图3，设平面与平面的交线为，

因为∥，所以∥平面，所以∥∥．

在等腰三角形中，，

在等腰三角形中，，所以，

则为平面与平面的夹角（或其补角）．

，则在等腰三角形中，，

在三角形中，，

由余弦定理得，

所以平面与平面夹角的余弦值为．

【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，结合线面垂直的判定定理分析证明；
(2) 解法一：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；解法二：根据题意分析可知为平面与平面的夹角（或其补角），结合余弦定理运算求解.

20．【答案】（1）解：零假设：数学成绩与物理成绩无关联，

补充列联表为

．

根据小概率值的独立性检验，有充分证据证明推断不成立，

故能认为数学成绩与物理成绩有关联，这个推断犯错误的概率不大于0.001；

（2）解：由频率估计概率可得，任取一个学生数学成绩优秀的概率为，

设12个学生中数学成绩优秀的人数为，随机变量，

人数最有可能是多少即求二项分布下概率最大时随机变量取值．

设，

解法一：，（且）

当时，，当时，，

故时，取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．

解法二：，即

解得，

因，则，故时，

取得最大值，故数学成绩优秀的最有可能是5个人．

【知识点】独立性检验的应用；二项分布

【解析】【分析】 (1) 根据题意完善列联表，求 ，并与临界值对比分析；
(2)根据题意分析可得，解法一：利用作商法比较大小，进而可得结果；解法二：直接列不等式，进而可得结果.

21．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，

因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，

所以，，又，

解得，，，

故椭圆的标准方程为；

（2）解：由（1）可得，

假设存在点，使得，

设，则，

设横坐标为，

则，

所以，

整理得，①

设点坐标为，直线斜率为，斜率为，

故，设直线的斜率为，

故直线方程为，直线方程为，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将横坐标代入①式可得，，

整理得，

化简得，解得，即，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

故点坐标为或．

【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】 (1) 根据题意列式求解，进而可得结果；
(2) 设横坐标为，根据面积关系分析可得，再证明，设直线的斜率为，联立方程求，代入运算求解即可.

22．【答案】（1）解：当时，，则切线斜率，切点为，

所以切线方程为，即.

（2）解：函数的定义域为R，求导得，

①当时，在R上单调递增，而，

因此函数有一个零点；

②当时，令，得，当时，；

当时，，则在上单调递减，在上单调递增，

，令（表示中最小值）

当时，，函数在上单调递减，函数值集合为，

因此函数在上的取值集合为，

令，求导得，令，

则，即函数在上单调递增，，

函数在上单调递增，，即有，

当时，，

函数在上单调递增，函数值集合为，而，

因此函数在上的取值集合为，

设，

则，当时，在单调递增，

当时，在单调递减，，

即当时，，则有两个零点；

当时，，则有一个零点；

当时，，则没有零点．

所以当时，零点个数为0；当时，零点个数为1；当时，零点个数为2.

【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断