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    湖南省邵阳市洞口县第二中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题(Word版附解析)

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    这是一份湖南省邵阳市洞口县第二中学2023-2024学年高二数学上学期第一次月考试题(Word版附解析),共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上, 已知,则的最小值为等内容,欢迎下载使用。
    洞口二中高二月考数学试卷考试范围:必修一,二,选择性必修一至直线方程;考试时间:100分钟;注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上I卷(选择题)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求)1. 已知集合,则    A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先化简集合,然后根据交集的定义计算.【详解】由题意,根据交集的运算可知,.故选:A 2. ,则    A. -1 B. 0          · C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出.【详解】因为所以,解得:故选:C.3. 已知向量满足,则向量在向量上的投影向量为(    A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质,结合投影向量的定义进行求解即可.【详解】所以向量在向量上的投影向量为故选:B4. 二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为(    A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出在区间上单调递增的等价条件为,通过充分不必要条件的定义,即可判断【详解】因为二次函数在区间上单调递增,所以解得.因为只有C是其真子集,故选:C5. 沙漏是我国古代的一种计时工具,是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的(如图).在一个圆锥中装满沙子,放在上方,沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中,假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时.当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时,所需时间为(    A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时【答案】B【解析】【分析】根据题意,问题转化为求,根据圆锥体积公式计算即可.【详解】如图, 依题意可知,所以1小时小时.故选:B6. 已知,则的最小值为(    A.  B. 0 C. 1 D. 【答案】A【解析】【分析】根据1技巧,利用均值不等式求解.【详解】当且仅当,即时等号成立,故选:A7. 如图,在正四棱锥中,,点的中点,.若,则实数为(    A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】C【解析】【分析】由题知均为等边三角形且边长均相等,进而利用为基底表示,再根据求解即可.【详解】解:因为四棱锥是正四棱锥, 所以,四边形为正方形,因为所以均为等边三角形且边长均相等,所以,因为点的中点,所以因为所以, ,解得.故选:C8. 已知,若方程有四个不同的实数根,则的最小值是(    A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B【解析】【分析】结合图像可知,由此可推得,再利用二次函数的单调性即可得到的范围.【详解】不妨设因为方程的根的个数即为的交点个数由图象可得:若方程有四个不同的实数根,则又因为,且,可得又因为,即可得所以当时,取到最小值.故选:B.  【点睛】方法点睛:应用函数思想确定方程解的个数的两种方法1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解;2)分离参数、转化为求函数值域问题求解.二、多选题(本大题共4个小题,每小题5分,共20.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9. 《国家学生体质健康标准》是国家学校教育工作的基础性指导文件和教育质量基本标准,它适用于全日制普通小学、初中、普通高中、中等职业学校、普通高等学校的学生.某高校组织名大一新生进行体质健康测试,现抽查200名大一新生的体测成绩,得到如图所示的频率分布直方图,其中分组区间为.则下列说法正确的是(    A. 估计该样本的众数是 B. 估计该样本的均值是C. 估计该样本的中位数是D. 若测试成绩达到分方可参加评奖,则有资格参加评奖的大一新生约为【答案】ACD【解析】【分析】根据频率分布直方图,可判断A项;根据频率分布直方图,估计出平均数,可判断B项;根据频率分布直方图,估计出中位数,可判断C项;根据频率分布直方图,测试成绩达到分的频率为,即可估算有资格参加评奖的人数.【详解】对于A项,由频率分布直方图可得,最高小矩形为,所以可估计该样本的众数是,故A项正确;对于B项,由频率分布直方图,可估计该样本的均值是,故B项错误;对于C项,由频率分布直方图可得,成绩在之间的频率为之间的频率为所以可估计该样本的中位数在.设中位数为,则由可得,,故C项正确;对于D项,由频率分布直方图可得,测试成绩达到分的频率为,所以可估计有资格参加评奖的大一新生约为人,故D项正确.故选:ACD.10. 是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列为假命题的是(    A. ,则 B. ,则C. ,则 D. ,则【答案】BCD【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案.【详解】,则内的所有直线垂直,,则内存在直线平行,可得,则,故A正确;,则的关系不确定,故B错误;,则,故C错误;,则相交,相交也不一定垂直,故D错误.故选:BCD11. 下列各式中,值为的有(    A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析【分析】对于A,由诱导公式及正弦和公式化简求值;对于B,由二倍角公式、诱导公式化简求值;对于C,由辅助角公式化简求值;对于D,先去括号,由两角和的正切公式化简即可判断.详解】对于A,故A对;对于B,故B对;对于C,故C错;对于D,故D对.故选:ABD12. 如图,正方体的棱长为2,若点在线段上运动,则下列结论正确的是(      A. 直线可能与平面相交B. 三棱锥与三棱锥的体积之和为C. 的周长的最小值为D. 当点的中点时,与平面所成角最大【答案】BD【解析】【分析】对于A,根据线面平行和面面平行推出平面,故A错误;对于B,根据等体积法求出两个三棱锥的体积之和可得B正确;对于C,将平面与平面展成同一平面,根据点共线时,最小,计算可得C错误;对于D,当点的中点时,可证平面,从而可得D正确;【详解】对于A,连因为平面平面所以平面,同理得平面平面所以平面平面,因平面所以平面,故A错误;  对于B,过点,垂足为,作,垂足为易得,因为平面,所以平面,因为平面,所以平面因为,所以所以.B正确;  对于C的周长为,则最小时,的周长最小,将平面与平面展成同一平面,如图:当点共线时,最小,,交的延长线于,则所以,即的周长的最小值为,故C错误;  对于D,当点的中点时,因为平面平面,所以因为平面,所以平面所以与平面所成角为,为最大角,故D正确.故选:BD【点睛】关键点点睛:C选项中将平面与平面展成同一平面,根据点共线求的最小值是解题关键.II卷(非选择题)三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)13. 直线关于直线的对称直线方程为__________【答案】【解析】【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上;在直线上取一点,求得其关于直线对称的点的坐标,该点也在对称直线上;由直线两点式可整理得到结果.【详解】设直线关于直线对称的直线为得:,则点在直线上;在直线上取一点,设其关于直线对称的点为,解得:,即直线的方程为:,即.故答案为:.14. 已知函数是偶函数,则______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为,故因为为偶函数,故,整理得到故答案为:115. 已知直线,若,则的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.【详解】因为所以当,即时,,显然不满足题意;,即时,解得时,,舍去;时,,满足题意;综上:.故答案为:.16. 已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱长均为2BAD=60°.以为球心,为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________【答案】.【解析】【分析】根据已知条件易得侧面,可得侧面与球面的交线上的点的距离为,可得侧面与球面的交线是扇形的弧,再根据弧长公式可求得结果.【详解】如图:的中点为的中点为的中点为因为60°,直四棱柱的棱长均为2,所以为等边三角形,所以又四棱柱为直四棱柱,所以平面,所以因为,所以侧面为侧面与球面的交线上的点,则因为球的半径为,所以所以侧面与球面的交线上的点到的距离为因为,所以侧面与球面的交线是扇形的弧因为,所以所以根据弧长公式可得.故答案为:.【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征,考查了直线与平面垂直的判定,考查了立体几何中的轨迹问题,考查了扇形中的弧长公式,属于中档题.四、解答题(本大题共6个小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知三个顶点坐标分别为1试判断的形状;2中的角B的角平分线所在直线的一般方程.【答案】1是以为直角的等腰直角三角形    2【解析】【分析】1)根据斜率公式与两点间的距离公式求出,即可判断;2)由(1)可得角的角平分线即为边上的中线,求出的中点的坐标,再根据斜率公式求出,最后由点斜式求出直线方程,再化为一般式即可.【小问1详解】解:因为所以的斜率的斜率所以,所以是以为直角的等腰直角三角形;【小问2详解】解:由(1)知是以为直角的等腰直角三角形,所以角的角平分线即为边上的中线,易求中点坐标,所以直线的斜率故角的角平分线为,化为一般式为18. 已知.1的最小正周期及单调递减区间;2将函数的图象向左平移个单位,再将纵坐标伸长为原来的2倍,得到的图象,求在区间的值域.【答案】1;单调递减区间为    2【解析】【分析】1)利用三角函数恒等变换化简函数解析式可得,利用余弦函数的周期公式可求的最小正周期,利用余弦函数的单调性可求其单调递减区间;2)由已知利用三角函数的图象变换可求,由题意利用正弦函数的性质即可求解的值域.【小问1详解】因为,所以的最小正周期为,解得所以的单调递减区间为.【小问2详解】由(1)可得将函数的图象向左平移个单位,再将纵坐标伸长为原来的2倍,得到图像,所以时,,故所以函数的值域为.19. 如图,平面中点.  1求证:平面2求点到平面的距离.【答案】1证明见解析    2【解析】【分析】1)取的中点,连接,即可得到四边形为平行四边形,从而得到,即可得证;2)利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】的中点,连接,因为中点,所以,又所以所以四边形为平行四边形,所以平面平面,所以平面.  【小问2详解】因为,所以所以平面,所以因为,所以平面平面,所以所以所以设点到平面的距离为,则解得.20. ,的角平分线,.1,,的面积;2,求边的取值范围.【答案】1    2【解析】【分析】1)根据得到的长,再利用三角形的面积公式求解即可;2)设,,根据得到,,利用余弦定理得到,由两者相等结合的取值范围即可求出结果.【小问1详解】因为,所以,:,解得,所以.【小问2详解】,,,,所以,又在,所以,,因为,,所以,即边取值范围为.21. 如图,在三棱柱中,侧面为菱形,.  1证明:平面平面2求平面与平面夹角的余弦值.【答案】1证明见解析;    2.【解析】【分析】1)利用面面垂直的判定定理进行证明;2)利用垂直关系建立空间直角坐标系,用向量法进行求解.【小问1详解】如图,连接,交,连接. 因为侧面为菱形,所以,且的中点.,故.,且,所以,所以.,所以,所以.因为平面,所以平面.平面,所以平面平面.  【小问2详解】由(1)知,两两互相垂直,因此以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则..为平面的一个法向量,则有,即,令,则.为平面的一个法向量,则有,即,令,则.因为平面平面,所以也是平面的一个法向量.所以.所以平面与平面夹角的余弦值.  22. 某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,轮结果也互不影响.1求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;2若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.【答案】1    2【解析】【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1,即四轮罚球结束时比分可能为2:12:23:2.【小问1详解】设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,,故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.【小问2详解】因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1,即四轮罚球结束时比分可能为2:12:23:2.比分为2:1的概率为.比分为2:2的概率为.比分为3:2的概率为.

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