福建省龙岩市新罗区龙岩市第四中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省龙岩市上杭四中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  一元二次方程可化成一般形式为(    )

A.  B.
C.  D.

2.  抛物线的顶点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根

4.  把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

5.  若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点 (    )

A.  B.  C.  D.

6.  用配方法解方程，下列配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了个人，下列所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  若，是方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  等腰三角形一边长为，它的另外两条边的长度是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D.

10.  对于一元二次方程，下列说法：
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
存在实数、，使得；
其中正确的(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  如果抛物线的开口方向向下，那么的取值范围是      ．

12.  一元二次方程的解是______．

13.  若，是一元二次方程的两个根，则______ ．

14.  如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为______

15.  已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______ ．

16.  已知关于的方程的解是，，则关于的方程的解是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程：
；
．

18.  本小题分
若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值．
；
．

19.  本小题分
已知二次函数．
在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；
根据图象，直接写出当时的取值范围．

20.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．
求的取值范围；
当时，求另一个根的值．

21.  本小题分
已知：抛物线的顶点坐标为，且经过点．
求此二次函数的表达式；
求此抛物线与轴的交点坐标．

22.  本小题分
为满足师生阅读需求，某校图书馆的藏书量不断增加，年年底的藏书量为万册，年年底的藏书量为万册．
求该校这两年藏书的年均增长率；
假设年该校藏书的年均增长率与前两年相同，请你预测到年年底该校的藏书量是多少？

23.  本小题分
如图，在中，，，，点从点开始沿射线向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，运动的时间为，当点运动到点时，两点停止运动．
当点在线段上运动时，、两点之间的距离______用含的代数式表示
在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得的面积是面积的若存在，求的值；若不存在，说明理由．

24.  本小题分
某商品交易会上，一商人将每件进价为元的纪念品，按每件元出售，每天可售出件他想采用提高售价的办法来增加利润，减少库存，经试验，发现这种纪念品每件提价元，每天的销售量会减少件．
设销售单价提高元为正整数，写出每天销售量个与元之间的函数关系式；
当售价定为多少元时，每天的利润为元？
假设这种商品每天的销售利润为元，商人为了获得最大利润，应将该商品每件售价定为多少元？最大利润是多少元．

25.  本小题分
如图，已知抛物线图象经过点，且对称轴为直线．
求抛物线的解析式；
若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点不与、重合，过点分别作交于，交于．
求点坐标；
求证：四边形是矩形；
连接，线段的长是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：方程整理得：．
故选：．
方程整理为一般形式即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为为常数且．

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标为；
故选：．
直接利用顶点式的特点可知顶点坐标．
本题考查了二次函数的性质，由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．

3.【答案】 

【解析】解：，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题．
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

4.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为轴是解题的关键．
先确定出二次函数图象的对称轴为轴，再根据二次函数的对称性解答．
【解答】
解：二次函数的对称轴为轴，
若图象经过点，
则该图象必经过点．
故选：．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．把方程两边都加上，方程左边可写成完全平方式．
【解答】
解：，
．
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：每轮传染中平均一个人传染了个人，
第一轮传染中有个人被传染，第二轮传染中有个人被传染，
又有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感，
可列出方程，
整理得：．
故选：．
由每轮传染中平均一个人传染了个人，可得出第一轮传染中有个人被传染，第二轮传染中有个人被传染，结合“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有个人患了流感”，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，
，
故选：．
由，是方程的两个实数根，得，，将所求式子变形后整体代入即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的概念和程根与系数的关系．

9.【答案】 

【解析】解：当等腰三角形的底边为时，
此时关于的一元二次方程有两个相等实数根，
，
，
此时两腰长为，
，
满足题意，
当等腰三角形的腰长为时，
此时是方程的其中一根，
，
，
此时方程另外一根为：，
，
不能组成三角形，不合题意，
综上所述，，
故选：．
根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质，本题属于中等题型．

10.【答案】 

【解析】解：若，则方程必有一个根为，
，正确；
若方程有两个不相等的实根，则，可知，
方程必有两个不相等的实根，正确；
若是方程的一个根，则，
若时，不成立，错误；
．
．
．
当时，．
存在实数、，使得正确．
故选：．
说明原方程有根是，即可判断；
判断方程的根的情况，根据根的判别式的值的符号即可判断；
是方程的一个根，则，整理后即可判断；
根据得到当时，于是得到结论．
本题考查一元二次方程根的判别式与方程系数的关系，同时考查了学生的综合应用能力及推理能力．

11.【答案】 

【解析】解：抛物线的开口方向向下，
，
故答案为：．
由抛物线的开口方向与的关系求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握抛物线开口方向与的符号的关系．

12.【答案】， 

【解析】解：或，
所以，．
故答案为：，．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．

13.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两个根，
，
故答案为：．
根据根与系数的关系可得出．
本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：设道路的宽为，
根据题意得，
整理得，
解得，不符合题意，舍去，
道路的宽为，
故答案为：．
设道路的宽为，根据题意，草坪的面积等于长为、宽为的矩形的面积，于是列方程得，解方程求出符合题意的值即得到问题的答案．
此题重点考查一元二次方程的解法、列一元二次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示草坪的面积是解题的关键．

15.【答案】且 

【解析】解：方程是一元二次方程，
，则，
该方程有实数根，
，
解得，
综上：的取值范围是且．
故答案为：且．
根据一元二次方程的定义可得，结合根的判别式即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根据判别式，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．

16.【答案】， 

【解析】解：关于的方程的解是，，
关于的方程的解满足或，
解得，．
故答案为：，．
把关于的方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．整体的思想的应用是解决问题的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，
，；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】根据配方法解方程即可求解；
先移项，再因式分解法解方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

18.【答案】解：，是一元二次方程的两个根，
，，

；

． 

【解析】根据根与系数的关系可得，，再进一步求解即可．
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

19.【答案】解：列表：

描点、连线如图；

由图象可知：当时的取值范围是． 

【解析】利用列表，描点，连线作出图形即可；
写出函数图象在轴下方的部分的的取值范围即可．
本题考查了二次函数图象，注意：二次函数的解析式的三种形式：
一般式：、、为常数；
顶点式：；
交点式与轴：

20.【答案】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
的取值范围为；
关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
，
又，
，
． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
利用两根之和等于，即可得出，代入，即可求出．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；牢记“两根之和等于，两根之积等于”

21.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
设二次函数表达式为，
图象经过，
，
．
则该二次函数表达式为：；
由得到：，
故此抛物线与轴的交点坐标为，． 

【解析】本题考查了抛物线与轴的交点，待定系数法求二次函数的表达式，在利用待定系数法求二次函数表达式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出表达式．
设顶点式，然后把代入求出即可得到二次函数的表达式；
将中的函数表达式转化为交点式，可以直接得到答案．

22.【答案】解：设该校这两年藏书的年平均增长率为．
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：这两年藏书的年平均增长率为；
万册．
答：预测到年年底该校的藏书量是万册． 

【解析】设该校这两年藏书的年平均增长率为，利用该校图书馆年底的藏书量该校图书馆年底的藏书量这两年藏书的年平均增长率，列出一元二次方程，解之取其正值即可；
利用该校图书馆年底的藏书量该校图书馆年底的藏书量藏书的年平均增长率，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

23.【答案】解：
的面积为，
当时，，，
，
，
即，
，
该一元二次方程无实数根，
该范围下不存在；
当时，，，
，
，
即，
解得或舍去，
综上所述，存在，当时，的面积是面积的． 

【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
依据，，即可得到：当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
分两种情况：当时，当时，分别依据的面积是面积的，列方程求解即可．
【解答】
解：中，，，，
中，，
又点从点开始沿射线向点以的速度移动，
，
当点在线段上运动时，、两点之间的距离；
故答案为：；

见答案

24.【答案】解：设售价单价提高元，则；
由题可知售价为元，即，
解得，，
故售价为：或，需要减少库存，并且每提高元，销售量会减少件，
故售价定为元，
当售价定为元时，每天的利润为元；
，当时，最大值为，
故售价为，
当售价为元时，利润最大为． 

【解析】设售价单价提高元时，利用每天的销售量会减少件即可列出函数关系式；
售价为元，每天的利润为元，根据题意列方程即可得到结论；
根据题中等量关系为：利润售价进价售出件数，根据等量关系列出函数关系式，将函数关系式配方，根据配方后的方程式即可求出的最大值．
本题考查的是二次函数的应用，熟知利润售价进价售出件数是解答此题的关键．

25.【答案】解：抛物线图象经过点，且对称轴为直线，
，
解得，
；
抛物线的解析式为；
解：把代入得：
，
解得或，
是位于第一象限内的点，
；
证明：在中，令，得，
解得或，
、，
又，
 ；  ；  ；
；
为直角三角形，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形；
解：线段的长存在最小值，理由如下：
连接，过点作，垂足为，如图：

四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
，
的最小值等于，
的最小值是． 

【解析】根据抛物线图象经过点，且对称轴为直线，用待定系数法可得抛物线的解析式为；
把代入得：，或，而是位于第一象限内的点，故C；
求出、， ；  ；  ；可得，，又，，从而四边形是矩形；
连接，过点作，垂足为，由四边形是矩形，知，故当时，的值最小，又，可得的最小值是．
本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，矩形的判定，最短路径等知识，解题的关键是掌握勾股定理逆定理，证明．