2021年江苏省南京市中考数学试题及答案

江苏省南京市2021中考数学试卷

注意事项

1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 计算结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ）

A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2

4. 北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ）

A. 10：00 B. 12：00 C. 15：00 D. 18：00

5. 一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ）

A. 16的4次方根是2 B. 32的5次方根是

C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

6. 如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ）

A.  B.
 C.
 D.
 

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）

7. ________；________．

8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

9. 计算的结果是________．

10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．

11. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．

12. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．

13. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．

14. 如图，是五边形的外接圆的切线，则______．

15. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．

16. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解不等式，并数轴上表示解集．

18. 解方程．

19. 计算．

20. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．

（1）求证；

（2）若，求长．

21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：

（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为，你对它与中位数的差异有什么看法？

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？

22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出球都是红球的概率．

（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．

23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）

24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；

（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．

25. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

26. 已知二次函数的图像经过两点．

（1）求b的值．

（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．

（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．

27. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．

②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

江苏省南京市2021中考数学试卷

注意事项

1.本试卷共6页，全卷满分120分，考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡上，首在本试卷上无效．

2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．

3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用像皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效

4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1. 截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】先确定原数的整数位数，再将原数的整数位数减去1得到10的指数，最后按照科学记数法的书写规则确定即可．

【详解】解：800000000=；

故选：A．

【点睛】本题考查了科学记数法，解决本题的关键是牢记科学记数法的表示方法，本题是基础题，考查了学生对书本概念的理解与掌握．

2. 计算的结果是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可．

【详解】解：原式=；

故选：B．

【点睛】本题考查了幂的乘方和同底数幂的运算法则，其中涉及到了负整数指数幂等知识，解决本题的关键是牢记相应法则，并能够按照正确的运算顺序进行计算即可，本题较为基础，考查了学生的基本功．

3. 下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ）

A. 1，1，1 B. 1，1，8 C. 1，2，2 D. 2，2，2

【答案】D

【解析】

【分析】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成．

【详解】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；

B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误；

C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误；

D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确；

故选：D．

【点睛】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可．

4. 北京与莫斯科时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（    ）

A. 10：00 B. 12：00 C. 15：00 D. 18：00

【答案】C

【解析】

【分析】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解．

【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，

所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意；

B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意；

C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意；

D. 当北京时间是18：00时，不合题意．

故选：C

【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据北京时间推断出莫斯科时间是解题关键．

5. 一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ）

A. 16的4次方根是2 B. 32的5次方根是

C. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D. 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案．

【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意；

B.，，32的5次方根是2，故不符合题意；

C.设

则

且

当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意；

D.由的判断可得：错误，故不符合题意．

故选．

【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．

6. 如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（    ）

A.  B.
 C.
 D.
 

【答案】D

【解析】

【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项

【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，

故选D

【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）

7. ________；________．

【答案】    ①. 2    ②. -2

【解析】

【分析】根据相反数的意义和绝对值的意义即可得解．

【详解】解：2；

-2．

故答案为2，-2．

【点睛】本题考查了相反数和绝对值．掌握相反数的意义和绝对值的意义是解题的关键．

8. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

【答案】x≥0

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件得到5x≥0，解不等式即可求解．

【详解】解：由题意得5x≥0，

解得x≥0．

故答案为：x≥0

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”是解题关键．

9. 计算的结果是________．

【答案】

【解析】

【分析】分别化简和，再利用法则计算即可．

【详解】解：原式=；

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等．

10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______．

【答案】2

【解析】

【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可．

【详解】解：由根与系数的关系可得：，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴;

故答案为：2．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为．

11. 如图，在平面直角坐标系中，的边的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是_______．

【答案】6

【解析】

【分析】根据中点的性质，先求出点A的横坐标，再根据A、D求出B点横坐标．

【详解】设点A的横坐标为a，点B的横坐标是b；

点的横坐标是0，C的横坐标是1 ，C，D是的中点

得

得

点B的横坐标是6．

故答案为6．

【点睛】本题考查了中点的性质，平面直角坐标系，三角形中线的性质，正确的使用中点坐标公式并正确的计算是解题的关键．

12. 如图，是的弦，C是的中点，交于点D．若，则的半径为________．

【答案】5

【解析】

【分析】连接OA，由垂径定理得AD=4cm，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可

【详解】解：连接OA，

∵C是的中点，

∴

∴

设的半径为R，

∵

∴

在中，，即，

解得，

即的半径为5cm

故答案为：5

【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出OC是AB的垂直平分线是解答此题的关键．

13. 如图，正比例函数与函数的图像交于A，B两点，轴，轴，则________．

【答案】12

【解析】

【分析】先设出A点坐标，再依次表示出B、C两点坐标，求出线段BC和AC的表达式，最后利用三角形面积公式即可求解．

【详解】解：设A（t，）,

∵正比例函数与函数的图像交于A，B两点，

∴B（-t，-）,

∵轴，轴，

∴C（t，-）,

∴；

故答案为：12．

【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的图像与性质、用平面直角坐标系内点的坐标表示线段长、三角形面积公式等内容，解决本题的关键是抓住反比例函数和正比例函数都是中心对称图形，它们关于原点对称，能正确表示平面内的点的坐标，能通过坐标计算出线段长等．

14. 如图，是五边形的外接圆的切线，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由切线性质可知切线垂直于半径，所以要求的5个角的和等于5个直角减去五边形的内角和的一半．

【详解】如图：过圆心连接五边形的各顶点，

则

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆的切线的性质，多边形的内角和公式（n为多边形的边数）,由半径相等可得“等边对等角”，正确的理解题意作出图形是解题的关键．

15. 如图，在四边形中，．设，则______（用含的代数式表示）．

【答案】

【解析】

【分析】由等腰的性质可得：∠ADB=，∠BDC=，两角相加即可得到结论．

【详解】解：在△ABD中，AB=BD

∴∠A=∠ADB=

在△BCD中，BC=BD

∴∠C=∠BDC=

∵

∴

=

=

=

=

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，分别求出∠ADB=，∠BDC=是解答本题的关键．

16. 如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E，若，则的长为________．

【答案】

【解析】

【分析】过点C作CM//交于点M，证明求得，根据AAS证明可求出CM=1，再由CM//证明△，由相似三角形的性质查得结论．

【详解】解：过点C作CM//交于点M，

∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形

∴，，

∴，

∴

∴

∵

∴

∴

∴∠

∵

∴

∵

∴∠

∵，

∴

∴∠

∴∠

在和中，

∴

∴

∵

∴△

∴

∴

∴

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键．

三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 解不等式，并在数轴上表示解集．

【答案】，数轴上表示解集见解析

【解析】

【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．

详解】

去括号：

移项：

合并同类项：

化系数为1：

解集表示在数轴上：

【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，数轴上表示不等式的解集的方法，一元一次不等式的解法和一元一次方程的解法相似，注意最后一步化系数为1的时候，不等号是否要改变方向；正确的计算和在数轴上表示出解集是解题关键．

18. 解方程．

【答案】

【解析】

【分析】先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．

【详解】解：，

，

，

，

检验：将代入中得，，

∴是该分式方程的解．

【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．

19. 计算．

【答案】

【解析】

【分析】先对括号里的分式进行通分，将通分后的分式进行合并，将合并后的结果与最后一项分式相除，将除法运算转化为乘法运算，最后约分化简后即可得到计算结果．

【详解】解：原式=

=

=

=

=．

【点睛】本题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是找到最简公分母，能正确进行分式之间的通分，同时应牢记相应计算法则，并能灵活运用等．

20. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．

（1）求证；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；

（2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．

【详解】解：（1）∵，

又∵，

∴；

（2）∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴的长为．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．

21. 某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：

（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为，你对它与中位数的差异有什么看法？

（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费，若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？

【答案】（1）6.6t；差异看法见解析；（2）（其中a为标准用水量，单位：t）

【解析】

【分析】（1）从中位数和平均数的定义和计算公式的角度分析它们的特点即可找出它们差异的原因；

（2）从表中找到第75和第76户家庭的用水量，即可得到应制定的用水量标准数据．

【详解】解：（1）由表格数据可知，位于最中间的两个数分别是6.4和6.8，

∴中位数为：（ t），

而这组数据的平均数为9.2t，

它们之间差异较大，主要是因为它们各自的特点决定的，主要原因如下：

①因为平均数与每一个数据都有关,其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动；主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数，当出现偏大数时，平均数将会被抬高，当出现偏小数时，平均数会降低。

②中位数将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数，它的求出不需或只需简单的计算，它不受极端值的影响；

这100个数据中，最大的数据是28，最小的是1.3，因此平均数受到极端值的影响，造成与中位数差异较大;

（2）因为第75户用数量为11t，第76户用数量为13t，因此标准应定为（其中 a为标准用水量，单位：t）．

【点睛】本题考查了学生对中位数和平均数的概念的理解以及如何利用数据作出决断等，解决本题的关键是能读懂题意，正确利用表格中的数据特点进行分析，本题较基础，答案较开放，因此考查了学生的语言组织与应用的能力．

22. 不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．

（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机换出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是________．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】（1）根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有等可能的结果数与两次摸出的球都是红球的结果数，再利用概率公式即可求得答案；

（2）方法同（1），注意第一次摸到白球要放回，其余颜色球不放回．

【详解】解：（1）画树状图得，

∴共有9种等可能的结果数，两次摸出的球都是红球的结果数为4次，

∴两次摸出的球都是红球的概率为：；

（2）画树状图得，

∴共有7种等可能的结果数，两次摸出的球都是白球的结果数为1次，

∴两次摸出的球都是白球的概率为：；

故答案为：

【点睛】此题考查了画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得，，，，，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：．）

【答案】52m

【解析】

【分析】作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．先证明四边形CEBF是正方形，设CE=BE=xm，

根据三角函数表示出DE，根据列方程求出CE=BE=48m，进而求出CF=BF=48m，解直角三角形ACD求出AC，得到AF，根据勾股定理即可求出AB，问题得解．

【详解】解：如图，作BE⊥CD于E，作BF⊥CA交CA延长线于F．

∵∠FCD=90°，

∴四边形CEBF是矩形，

∵BE⊥CD，，

∴∠BCE=∠CBE=45°，

∴CE=BE，

∴矩形CEBF是正方形．

设CE=BE=xm，

在Rt△BDE中，

m，

∵，

∴，

解得x=48，

∴CE=BE=48m，

∵四边形CEBF是正方形，

∴CF=BF=48m，

∵在Rt△ACD中，m，

∴AF=CF-AC=20m，

∴在Rt△ABF中，m，

∴A，B两点之间的距离是52m．

【点睛】本题考查了解直角三角形应用，理解题意，添加辅助线构造正方形和直角三角形是解题关键．

24. 甲、乙两人沿同一直道从A地去B地，甲比乙早出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离（单位：m）与时间x（单位：）之间的函数关系如图所示．

（1）在图中画出乙离A地的距离（单位：m）与时间x之间的函数图；

（2）若甲比乙晚到达B地，求甲整个行程所用的时间．

【答案】（1）图像见解析；（2）12

【解析】

【分析】（1）根据甲乙的速度关系和甲比乙提前一分钟出发即可确定乙的函数图像；

（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，利用甲乙的路程相同建立方程，解方程即可．

【详解】解：（1）作图如图所示：

；

（2）设甲整个行程所用的时间为x，甲的速度为v，

∴，

解得：，

∴甲整个行程所用的时间为12．

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，要求学生能根据问题情境绘制出函数图像，能建立相等关系，列出方程等．

25. 如图，已知P是外一点．用两种不同的方法过点P作的一条切线．要求：

（1）用直尺和圆规作图；

（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【答案】答案见解析．

【解析】

【分析】方法一：作出OP的垂直平分线，交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．

方法二：作出以OP为底边的等腰三角形BPO，再作出∠OBP的角平分线交OP于点A，再以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．

【详解】解：

作法：连结PO，分别以P、O为圆心，大于PO的长度为半径画弧，交于两点，连结两点交PO于点A；以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．

作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．

【点睛】本题考查了作图——复杂作图，涉及垂直平分线的作法，角平分线的作法，等腰三角形的作法，圆的作法等知识点．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合基本几何图形的性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

26. 已知二次函数的图像经过两点．

（1）求b的值．

（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．

（3）设是该函数的图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．

【答案】（1）；（2）1；（3）或．

【解析】

【分析】（1）将点代入求解即可得；

（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得；

（3）分和两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得．

【详解】解：（1）将点代入得：，

两式相减得：，

解得；

（2）由题意得：，

由（1）得：，

则此函数的顶点的纵坐标为，

将点代入得：，

解得，

则，

下面证明对于任意的两个正数，都有，

，

（当且仅当时，等号成立），

当时，，

则（当且仅当，即时，等号成立），

即，

故当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；

（3）由得：，

则二次函数解析式为，

由题意，分以下两种情况：

①如图，当时，则当时，；当时，，

即，

解得；

②如图，当时，

当时，，

当时，，

解得，

综上，的取值范围为或．

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．

27. 在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？

（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．

①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．

②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

【答案】（1）作图如图所示；（2）①h +l；②见解析．

【解析】

【分析】（1）根据两点之间线段最短，即可得到最短路径；连接OA，AC，可以利用弧长与母线长求出∠AOC，进而证明出△OAC是等边三角形，利用三角函数即可求解；

（2）①由于圆锥底面圆周上的任意一点到圆锥顶点的距离都等于母线长，因此只要蚂蚁从点A爬到圆锥底面圆周上的路径最短即可，因此顺着圆柱侧面的高爬行，所以得出最短路径长即为圆柱的高h加上圆锥的母线长l；

②如图，根据已知条件，设出线段GC的长后，即可用它分别表示出OE、BE、GE、AF，进一步可以表示出BG、GA，根据B、G、A三点共线，在Rt△ABH中利用勾股定理建立方程即可求出GC的长，最后依次代入前面线段表达式中即可求出最短路径长．

【详解】解：（1）如图所示，线段AB即为蚂蚁从点A爬行到点B最短路径；

设∠AOC=n°，

∵圆锥的母线长为， 的长为，

∴，

∴；

连接OA、CA，

∵，

∴是等边三角形，

∵B为母线的中点，

∴，

∴．

（2）① 蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径为：先沿着过A点且垂直于地面的直线爬到圆柱的上底面圆周上，再沿圆锥母线爬到顶点O上，因此，最短路径长为h+l

② 蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图如下图所示，线段AB即为其最短路径（G点为蚂蚁在圆柱上底面圆周上经过的点，图中两个C点为图形展开前图中的C点）；

求最短路径的长的思路如下：如图，连接OG，并过G点作GF⊥AD，垂足为F，由题可知，，GF=h， OB=b，

由的长为a，得展开后的线段AD=a，设线段GC的长为x，则的弧长也为x，由母线长为l，可求出∠COG，

作BE⊥OG，垂足为E，

因为OB=b，可由三角函数求出OE和BE，从而得到GE，利用勾股定理表示出BG，

接着由FD=CG=x，得到AF=a-x，利用勾股定理可以求出AG，

将AF+BE即得到AH，将EG+GF即得到HB，

因为两点之间线段最短，∴A、G、B三点共线，

利用勾股定理可以得到：,进而得到关于x的方程，即可解出x，

将x的值回代到BG和AG中，求出它们的和即可得到最短路径的长．

【点睛】本题考查的是曲面上的最短路径问题，涉及到圆锥和圆柱以及它们的组合体上的最短路径问题，解题过程涉及到“两点之间、线段最短”以及勾股定理和三角函数等知识，本题为开放性试题，答案形式不唯一，对学生的空间想象能力以及图形的感知力要求较高，蕴含了数形结合等思想方法．