北京市2019年中考数学真题试题（含解析）

2019年北京市中考数学试卷

一.选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（）

 A.0.439×106   B.4.39×106 C.4.39×105 D.139×103

【解析】本题考察科学记数法较大数，中要求，此题中，故选C

2．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）

1.           B.            C.          D.

【解析】本题考察轴对称图形的概念，故选C

3．正十边形的外角和为（）

 A.180° B.360° C.720° D.1440°

【解析】多边形的外角和是一个定值360°，故选B

4．在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C．若CO=BO，则a的值为（）

 A.-3 B.-2 C.-1 D.1

【解析】本题考察数轴上的点的平移及绝对值的几何意义.点A表示数为a，点B表示数为2，点C表示数为a+1，由题意可知，a＜0，∵CO=BO，∴，解得（舍）或，故选A

5．已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；

（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交于点M，N；

（3）连接OM，MN．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

 A.∠COM=∠COD B.若OM=MN，则∠AOB=20°

 C.MN∥CD  D.MN=3CD

【解析】连接ON，由作图可知△COM≌△DON.

1. 由△COM≌△DON.，可得∠COM=∠COD，故A正确.
2. 若OM=MN，则△OMN为等边三角形，由全等可知∠COM=∠COD=∠DON=20°，故B正确

C.由题意，OC=OD，∴∠OCD=.设OC与OD与MN分别交于R，S，易证△MOR≌△NOS，则OR=OS，∴∠ORS=，∴∠OCD=∠ORS.∴MN∥CD，故C正确.

D.由题意，易证MC=CD=DN，∴MC+CD+DN=3CD.∵两点之间线段最短.∴MN＜MC+CD+DN=3CD，故选D

6．如果，那么代数式的值为（） A.-3 B.-1 C.1 D.3

【解析】：

∴原式=3，故选D

7．用三个不等式，，中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（）

 A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】本题共有3种命题：

命题①，如果，那么.

∵，∴，∵，∴，整理得，∴该命题是真命题.

命题②，如果那么.

∵∴∵，∴，∴.

∴该命题为真命题.

命题③，如果，那么.

∵∴∵，∴，∴

∴该命题为真命题.

故，选D

8．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．

下面有四个推断：

①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间

②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间

③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间

④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间

所有合理推断的序号是（）

 A.①③  B.②④ C.①②③  D.①②③④

【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h，女生为25.5h，则平均数一定在24.5~25.5之间，故①正确

②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15,60,51,62,12，则中位数在20~30之间，故②正确.

③由统计表计算可得，初中学段栏0≤t＜10的人数在0~15之间，当人数为0时，中位数在20~30之间；当人数为15时，中位数在20~30之间，故③正确.

④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为0~15，35,15，18,1.当

0≤t＜10时间段人数为0时，中位数在10~20之间；当0≤t＜10时间段人数为15时，中位数在10~20之间，故④错误

故，选C

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9．若分式的值为0，则的值为.

【解析】本题考查分式值为0，则分子，且分母，故答案为1

10．如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2.（结果保留一位小数）

【解析】本题考查三角形面积，直接动手操作测量即可，故答案为“测量可知”

11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是.（写出所有正确答案的序号）

【解析】本题考查对三视图的认识.①长方体的主视图，俯视图，左视图均为矩形；②圆柱的主视图，左视图均为矩形，俯视图为圆；③圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为圆.故答案为①②

12．如图所示的网格是正方形网格，则＝°（点A，B，P是网格线交点）.

【解析】本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算，∴，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∵∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45

13．在平面直角坐标系中，点在双曲线上．点关于轴的对称点在双曲线上，则的值为.

【解析】本题考查反比例函数的性质，A（a，b）在反比例上，则，A关于轴的对称点B的坐标为，又因为B在上，则，∴

故答案为0

14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为．

【解析】设图1中小直角三角形的两直角边分别为a，b（b＞a），则由图2，图3可列方程组解得，所以菱形的面积故答案为12.

15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，4，9，5．记这组新数据的方差为，则. (填“”，“”或“”)

【解析】本题考查方差的性质。两组数据的平均值分别为91和1，

=

∴，故答案为=

16．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合）．

对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，

①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；

②存在无数个四边形MNPQ是矩形；

③存在无数个四边形MNPQ是菱形；

④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．

所有正确结论的序号是．

【解析】根据平行四边形的判定，矩形的判定，以及正方形的判定可知，存在无数个平行四边形，无数个矩形，无数个正方形，故答案为①②③

三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．计算：.

【解析】原式=

18．解不等式组：

【解析】解不等式①得：

，∴

解不等式②得：，∴

∴不等式组的解集为

19．关于x的方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．

【解析】∵有实数根，∴△≥0，即，∴

∵m为正整数，∴，故此时二次方程为即

∴

∴，此时方程的根为

20．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．

（1）求证：AC⊥EF；

（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．

【解析】证明：∵四边形ABCD为菱形∴AB=AD，AC平分∠BAD

 ∵BE=DF，∴，∴AE=AF

 ∴△AEF是等腰三角形，∵AC平分∠BAD，∴AC⊥EF

（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD

∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=

∴tan∠ABD=，∴AO=1

21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：

a．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：

30≤x＜40，40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

b．国家创新指数得分在60≤x＜70这一组的是：

61.7   62.4   63.6   65.9   66.4   68.5   69.1   69.3   69.5

c．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：

d．中国的国家创新指数得分为69.5.

（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》）

根据以上信息，回答下列问题：

（1）中国的国家创新指数得分排名世界第；

（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；

（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为万美元；（结果保留一位小数）

（4）下列推断合理的是．

①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；

②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．

【解析】

（1）17

（2）

（3）2.7（4）①②

22．在平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．

（1）求证：AD=CD；

（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD=CM，求直线DE与图形G的公共点个数．

【解析】如图所示，依题意画出图形G为⊙O，如图所示

（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，

∴，∴AD=CD

（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°

在Rt△CDF和Rt△CMF中

，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC为弦DM的垂直平分线

∴BC为⊙O的直径，连接OD

∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.

又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线.

∴直线DE与图形G的公共点个数为1个.

23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：

①将诗词分成4组，第i组有首，i =1，2，3，4；

②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第（）天背诵第二遍，第（）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，1，2，3，4；

③每天最多背诵14首，最少背诵4首．

解答下列问题：

（1）填入补全上表；

（2）若，，，则的所有可能取值为；

（3）7天后，小云背诵的诗词最多为首．

【解析】（1）如下图

（2）根据上表可列不等式组：

，可得

（3）确定第4天，，由第2天，第3天，第5天可得

，∴，∴，

可取最大整数值为9，∴

24．如图，P是与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是上一动点，连接PC交弦AB于点D．

小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：

在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；

（2）在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；

（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD时，AD的长度约为cm．

【解析】

（1）AD， PC，PD；

（2）

（3）2.29或者3.98

25. 在平面直角坐标系中，直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点．

（1）求直线与轴的交点坐标；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段围成的区域（不含边界）为．

①当时，结合函数图象，求区域内的整点个数；

②若区域内没有整点，直接写出的取值范围．

【解析】（1）令，则，∴直线与轴交点坐标为（0,1）

（2）①当时，直线，把代入直线，则，∴A（2,5）

把代入直线得：，∴

∴，整点有（0，-1），（0,0），（1，-1），（1,0），（1,1），（1,2）共6个点.

②-1≤k＜0或k=-2

26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

（1）求点B的坐标（用含的式子表示）；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）已知点，．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．

【解析】（1）∵抛物线与轴交于点A，∴令，得，

∴点A的坐标为，∵点A向右平移两个单位长度，得到点B，

∴点B的坐标为；

（2）∵抛物线过点和点，由对称性可得，抛物线对称轴为

直线，故对称轴为直线

（3）①当时，则，分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；也不可能同时经过点B和点Q，所以，此时线段PQ与抛物线没有交点.

②当时，则.

分析图象可得：根据抛物线的对称性，抛物线不可能同时经过点A和点P；但当点Q在点B上方或与点B重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，此时即

综上所述，当时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点.

27．已知，H为射线OA上一定点，，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转，得到线段PN，连接ON．

（1）依题意补全图1；

（2）求证：；

（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．

【解析】

（1）如图所示

（2）在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM

∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM

∴∠OMP=∠OPN

（3）过点P作PK⊥OA，过点N作NF⊥OB.

∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF

在△NPF和△PMK中

，∴△NPF≌△PMK（AAS）

∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK.

又∵ON=PQ，在Rt△NOF和Rt△PKQ中

，∴Rt△NOF≌Rt△PKQ（HL），∴KQ=OF.

设MK=y，PK=x

∵∠POA=30°，PK⊥OQ

∴OP=2x，∴OK=，

∴，

∵M与Q关于H对称，∴MH=HQ

∴KQ=KH+HQ=

∵KQ=OF，∴，整理得

所以，即PK=1

∵∠POA=30°，∴OP=2

28．在△ABC中，，分别是两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，下图中是△ABC的一条中内弧．

（1）如图，在Rt△ABC中，分别是的中点．画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点，在△ABC中，分别是的中点．

①若，求△ABC的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围；

②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

【解析】

（1）

（2）

①当时，C（2,0），D（0,1），E（1,1）

（i）当P为DE的中点时，是中内弧，∴

（ii）当⊙P与AC相切时，，当时，，∴

综上，P的纵坐标或

②（i）当PE⊥AC时，△EFC∽△PFE，得∴∴

∴

（ii）△PFC∽△ABC，得

DP=PF=r，，∴，∴

综上：