2023-2024学年山东省青岛大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省青岛大学附中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山东省青岛大学附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  下列四个图形中，不是中心对称图形的是(    )A.  B.
C.  D. 2.  据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客亿人次，比前一年同期增长，将亿这个数据用科学记数法可以表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 4.  不等式组的解集是，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，点的对应点的坐标是(    )
A.  B.  C.  D. 6.  如图，，分别是的角平分线和中线，于，交于，连接，若，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 7.  将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角板的最大边的长为(    )A.  B.  C.  D. 8.  如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点不与点，重合，于点，于点，若，，则的最小值为(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）9.  计算： ______ ；
分解因式： ______ ．10.  为响应“绿色奥运”的号召，九年级班全体师生义务植树棵，原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的倍，结果提前分钟完成任务，则的值为______ ．11.  如图所示，若，则 ______ ．
 12.  一次函数和的图象如图所示，其交点为，则不等式的解集是______．
 13.  如图，在四边形中，为对角线的中点，连接、、，若，则的度数为______ ．
 14.  对于正数，规定，例如，则的结果是          ．15.  【问题提出】
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？
【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，会有多少种不同的选择方法？
如图，当，时，显然有种不同的选择方法；
如图，当，时，有，；，；，这种不同的选择方法；
如图，当，时，有______种不同的选择方法；

由上可知：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法．
探究二：
如果从，，，个连续的自然数中选择个，个个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法；
从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法；

从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法；

由上可知：如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法．
【问题解决】
如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有______种不同的选择方法．
【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上，他共有______种不同的选择．
星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看我和我的祖国，售票员李阿姨为他们提供了第七排号到号的电影票让他们选择，如果他们想拿三张连号票，则一共有______种不同的选择方法．
【拓展延伸】
如图，将一个的图案放置在的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有______种不同的放置方法．

 三、解答题（本大题共9小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
尺规作图：
已知线段，，求作菱形，使菱形边长等于，对角线．
结论：
17.  本小题分
计算：
化简：；
解不等式组：．18.  本小题分
近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入单位：千元如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入千元中位数千元众数千元方差千元“美团” ______ “滴滴” ______ ______ 完成表格填空；
若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．19.  本小题分
小明同学三次到某超市购买、两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：类别
次数购买商品数量件购买商品数量件消费金额元第一次第二次第三次解答下列问题：
第______次购买有折扣；
求、两种商品的原价；
若购买、两种商品折扣数相同，求折扣数；
小明同学再次购买、两种商品共件，在中折扣数的前提下，消费金额不超过元，求至少购买商品多少件．20.  本小题分
“节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行某自行车车行经营的型自行车去年销售总额为元，今年该自行车每辆售价比去年降低元若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加请解答以下问题：
型自行车今年每辆售价为多少？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型进货数量不超过型车数量的倍型车和型车每辆的进价分别为元和元，型车每辆的售价为元，该自行车行应如何组织进货才能使这批自行车获利最多？获利最多是多少？21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交点为．
请直接写出、的值； ______ ， ______ ．
若线段上的动点，过作轴交于点．
设点的横坐标为，线段的长为，则与的函数关系式为______ ；
若为等腰三角形，请求出点的坐标．
平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
22.  本小题分
如图，平行四边形的对角线、交于点，为中点，过点作交的延长线于，连接与．
求证：≌；
当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？请说明理由．
23.  本小题分
甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息后再沿原路下山，他们离山脚的距离随时间变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：
甲同学上山过程中与的函数解析式为______ ；点的坐标为______ ．
若甲同学下山时在点处与乙同学相遇，此时点与山顶的距离为．
求甲同学下山过程中与的函数解析式；
相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．
24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形的顶点，分别在轴与轴上，已知，点为轴上一点，其坐标为，点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，运动时间为秒．
当点经过点时，求直线的函数解析式；
求的面积关于的函数解析式；
点在运动过程中是否存在使为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A、、中的图形都能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
选项B中的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义绕一个点旋转能够与自身重合的图形判断即可．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．2.【答案】 【解析】解：亿，
故选：．
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法，熟练掌握其定义是解题的关键．3.【答案】 【解析】解：，选项错误；
，选项错误；


，选项错误；
，选项正确．
故选：．
利用整式的混合运算法则计算并判断．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．4.【答案】 【解析】解：不等式组的解集是，
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集是，
，
，
故选：．
根据解不等式，可得每个不等式的解集，再根据每个不等式的解集，可得不等式组的解集，根据不等式的解集，可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5.【答案】 【解析】解：如图，

则为所求，
点的对应点的坐标是，
故选：．
根据平移和旋转的性质，将向下平移个单位，再绕点按逆时针方向旋转，得到，即可得点的对应点的坐标．
本题考查了坐标与图形变换旋转、平移，解决本题的关键是掌握旋转的性质．6.【答案】 【解析】解：为的角平分线，，
是等腰三角形，
，
，
，，
为的中线，
是的中位线，
，
，
故选：．
首先证明是等腰三角形，则，，则是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解．
本题考查了等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理，正确证明是关键．7.【答案】 【解析】解：过点作，，
在直角三角形中，
，
，
又三角板是有角的三角板，
，
，
，
故选：．
过另一个顶点作垂线如图，可得直角三角形，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，可求出有角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
此题考查的知识点是含角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．8.【答案】 【解析】解：连接，作于点，
四边形是菱形，对角线、相交于点，
，，，
，
，
，
，
解得，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
连接，作于点，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9.【答案】   【解析】解：原式

；
原式
．
故答案为：；．
原式利用乘方的意义，负整数指数幂法则，以及二次根式乘法法则计算即可得到结果；
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10.【答案】 【解析】解：原计划每小时植树棵，实际工作效率提高为原计划的倍，故每小时植棵，由题意得：
，
故答案为：．
原计划每小时植树棵，实际工作效率提高为原计划的倍，故每小时植棵，原计划植棵树可用时小时，实际用了小时，根据关键语句“结果提前分钟完成任务”可得方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，表示出原计划植棵树所用时间与实际所用时间．11.【答案】 【解析】解：连接，如图：

六边形的内角和为，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据多边形内角和定理可得，从而可得答案．
本题考查多边形内角和，解题的关键是求出．12.【答案】 【解析】解：一次函数和的图象交点为，
当时，，即，
不等式的解集为．
故答案为．
由于不等式就是不等式，观察图象，直线落在直线上方的部分对应的的取值范围即为所求．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13.【答案】 【解析】解：，是的中点，
，，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：．
由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出．
本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质即可求解．14.【答案】 【解析】解：，，，，，
，，
，




．
故答案为：．
计算出，，，的值，总结出其规律，再求所求的式子的值即可．
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．15.【答案】探究一：；；
探究二：；；；；
问题解集：；
实际应用：；；
拓展延伸：． 【解析】【分析】
本题考查了规律型图形的变化类，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论是解决此类问题的关键．
探究一：观察规律可知，选择方法的数量比数的个数少，由此可得结果；
探究二：选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
以此类推，选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
选择个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少；
【问题解决】：将探究二结论中的换成即可；
【实际应用】将，，代入之前的结论即可；
将，，代入之前的结论即可；
【拓展延伸】图案向右移动，每次一格，可得横向的放置方法数，图案向下移动，每次一格，可得纵向的放置方法数，两者相乘即为总数．
【解答】
解：探究：当，时，由题干图可知有种不同的选择方法，
根据根据规律可知：
从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
探究：从个连续的自然数中选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
以此类推，选择个连续的自然数，选择方法的数量比数的个数少，
选择个连续自然数，选择方法的数量比数的个数少；
故从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；

从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；

由上可知：如果从，，，个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
【问题解决】
由规律可知：
从个连续的自然数中选择个连续的自然数，有种不同的选择方法；
【实际应用】
从连续天选择连续天，则，，总共有种选择；
号到号总共张电影票，选择连号，则，，总共有种不同的选择；
【拓展延伸】
图案向右移动，每次一格，可看作选，可得种放置方法，
图案向下移动，每次一格，可看作，选，可得种放置方法，
故总共种放置方法．16.【答案】解：如图，四边形即为所求． 【解析】作直线，在上截取线段；
作线段的垂直平分线，交线段于点；
以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，；
分别连接，，，；
则四边形就是所求作的菱形．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的作法、菱形的判定．17.【答案】解：原式
；
，
由可得，
，
由可得，
，
不等式组的解集为：． 【解析】先计算括号，再计算乘除即可；
分别求出两个不等式的解集，寻找公共部分即可．
本题考查分式的混合运算，解一元一次不等式组等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则，属于中考常考题型．18.【答案】解：；；；
选美团，因为平均数一样，中位数、众数美团大于滴滴，且美团方差小，更稳定． 【解析】解：美团平均月收入：；
滴滴中位数为；
方差：；
故答案为：；；；
见答案．
【分析】
利用平均数、中位数、众数及方差的定义分别计算后即可确定正确的答案；
根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式，难度不大．19.【答案】三．
设商品的原价为元件，商品的原价为元件，
根据题意得：，
解得：．
答：商品的原价为元件，商品的原价为元件．
设折扣数为，
根据题意得：，
解得：．
答：折扣数为．
设购买商品件，则购买商品件，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
的最小值为．
答：至少购买商品件． 【解析】解：观察表格数据，可知：第三次购买的、两种商品均比头两次多，总价反而少，
第三次购买有折扣．
故答案为：三．
见答案；
见答案；
见答案．
【分析】
由第三次购买的、两种商品均比头两次多，总价反而少，可得出第三次购物有折扣；
设商品的原价为元件，商品的原价为元件，根据总价单价数量结合前两次购物的数量及总价，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设折扣数为，根据总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
设购买商品件，则购买商品件，根据总价单价数量结合消费金额不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：观察三次购物的数量及总价，找出哪次购物有折扣；找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．20.【答案】解：设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意得，
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：型自行车今年每辆售价为元；
解：设购进型车辆，则购进型车共辆，
依题意，，
解得：，
根据题意，型车和型车每辆的进价分别为元和元，型自行车今年每辆售价为元；型车每辆的售价为元，
设利润为元，则，
即，
，
当时取得最大值，最大值为元，
购进型车辆，购进型车共辆，才能使这批自行车获利最多，获利最多元． 【解析】设型自行车今年每辆售价为元，则去年每辆售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解；
设购进型车辆，则购进型车共辆，求得，设利润为元，根据题意，列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．
本题考查了分式方程的意义，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意找到等量关系，列出方程与不等式是解题的关键．21.【答案】     【解析】解：把点的坐标代入中可得，
故答案为：，；
直线的解析式为，
轴，点的横坐标为，
，，
，
故答案为：，
在中，令得，
，
，，
，，
为线段上的动点，为等腰三角形，
，
解得：或此时不在线段上，舍去，
；
存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设，
又，，，
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
当，为对角线时，，的中点重合，
，
解得，
；
当，为对角线，则，的中点重合，
，
解得，
；
综上所述，的坐标为或或．
把点的坐标代入即可解答．
由，，可得；
求出，根据为线段上的动点，为等腰三角形，可得，即可求得；
设，分三种情况：当，为对角线，则，的中点重合，当，为对角线时，，的中点重合，当，为对角线，则，的中点重合，分别列出方程组，即可解得答案．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．22.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：当四边形是矩形时，四边形为菱形，理由如下：
由可知，≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 【解析】由证明≌即可；
先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．23.【答案】   【解析】解：设甲同学登山过程中，路程千米与时间时的函数解析式分别为，
由图象得，
，
解析式为；
当时，，
甲到达山顶时间是小时，而甲同学到达山顶休息小时后再沿原路下山，
，
故答案为：；；

当时，，
解得，
点，
设甲同学下山过程中与的函数解析式为，将和代入得：
则：，
解答，
答：甲同学下山过程中与的函数解析式为；

乙到山顶所用时间为：小时，
当时，，
当乙到山顶时，甲离乙的距离是：千米．
答：甲与乙的距离是千米．
由图可知，甲同学登山过程中路程与时间成正比例函数，设，用待定系数法可求解，当时，可得，即可得的坐标；
把代入中乙同学上山过程中与的函数解析式，求出点的横坐标，再利用待定系数法求解即可；
把代入中乙同学上山过程中与的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入的关系式求解即可．
本题考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是一道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．24.【答案】解：，，四边形为长方形，
．
设此时直线解析式为，
把，分别代入得，
，
解得，
此时直线的函数解析式为；

当点在线段上，时，，高为，，
当点在线段上，时，，高为，，
的面积关于的函数解析式为；

存在，理由为：
因为，所以满足条件的点上．
若为等腰三角形，分三种情况考虑，

当时，
在中，，
根据勾股定理得：，
，即；
当时，过点作于，

，
，
；
当时，过点作于，

在中，，
根据勾股定理得：，
，
，
综上，满足题意的坐标为或或 【解析】设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出解析式；
当在段时，三角形底与高为固定值，求出此时面积；当在段时，底边为固定值，表示出高，即可列出与的关系式；
存在，分别以，，为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出坐标即可．
此题属于一次函数综合题，考查了待定系数法确定一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．