初中数学1 两数和乘以这两数的差教学设计及反思

12.3 乘法公式

1. 两数和乘以这两数的差

教学目标

1．掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．

2．掌握平方差公式的应用．

教学重难点

重点：掌握平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的理解．

难点：掌握平方差公式的应用．

教学过程

一、情境导入

根据多项式乘多项式，完成下列计算：

(x-1)(x+1)=       ；   (3a+1)(3a-1)=       ；    (x-y)(x+y)=       ．

根据以上计算，你能得出什么结论？

二、合作探究

探究点：平方差公式

【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算

下列运算中，可用平方差公式计算的是(　　)

A．(x＋y)(x＋y)   B．(－x＋y)(x－y)   C．(－x－y)(y－x)   D．(x＋y)(－x－y)

解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符号相同，含y的项符号相反，能用平方差公式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.

方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

【类型二】 直接应用平方差公式进行计算

利用平方差公式计算：

(1)(3x－5)(3x＋5)；                     (2)(－2a－b)(b－2a)；

(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；              (4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)．

解析：直接利用平方差公式进行计算即可．

解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)2－52＝9x2－25.

(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)2－b2＝4a2－b2.

(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.

(4)(x－2)(x＋2)(x2＋4)＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

【类型三】 利用平方差公式进行简便运算

利用平方差公式计算：

(1)20×19；             (2)13.2×12.8.

解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．

解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝202－()2＝400－＝399.

(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22＝169－0.04＝168.96.

方法总结：熟记平方差公式的结构是解题的关键．

【类型四】 运用平方差公式进行化简求值

 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．

解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15.

方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．

【类型五】 平方差公式的几何背景

 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是______________．

解析：∵图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

方法总结：通过几何图形面积之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．

【类型六】 平方差公式的实际应用

王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．

解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．

方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．

三、板书设计

1．平方差公式：

两数和与这两数差的积等于它们的平方差．即(a＋b)(a－b)＝a2－b2.

2．平方差公式的应用.

教学反思

    学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成.