初中数学华师大版八年级上册2 两数和（差）的平方学案及答案

2.两数和（差）的平方

学习目标：

1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.

2.灵活运用完全平方公式进行计算.

自主学习

一、知识链接

1.计算：(1)22＝___________；(2)（-3）2＝___________．

2.多项式乘以多项式的法则：                                                        .

二、新知预习

试一试   根据多项式乘以多项式的法则及乘方的定义填空：

（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)=___________；（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)=___________；

（3） （p-1)2=(     )(     )=___________；（4） （m-2)2=(     )(      )=___________．2

合作探究

一、探究过程 

探究点1：两数和（差）的平方公式（也称完全平方公式）

问题1  观察下面两个图形，你能用不同的方式表示图1的面积及图2中Ⅲ的面积吗？ 

用两种方法求图1的面积：S＝(_________)2，S＝(_________)2＋_________＋(_________)2.

用两种方法求图2中Ⅲ的面积：

SⅢ＝(_________)2，SⅢ＝(_________)2－_________＋(_________)2.

问题2  根据上面的规律，你能直接写出下列式子的答案吗？

（a+b)2= ___________ ；      （a-b)2=___________.

【要点归纳】完全平方公式：(a＋b)2＝(    )2＋_____＋(_____)2，(a－b)2＝(_____)2－_____＋(_____)2.即两数和（或差）的平方，等于这两数的_______，加上（或减去）它们的积的________.

例1计算：

(1)(2a＋b)2；    (2)(－a－b)2；    (3)(5＋3p)2；     (4)(2x－7y)2．

【方法总结】直接运用完全平方公式进行计算，关键是掌握完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．

【针对训练】利用完全平方公式计算：

(1)(5－a)2；               (2)(－3m－4n)2；            (3)(－3a＋b)2；    

（4）（a+2b﹣1）2.（提示：把其中两项看成一个整体）

探究点2：两数和（差）的平方公式的应用

例2利用乘法公式计算：

(1)2012；                  (2)982－101×99.

【针对训练】利用乘法公式计算：20222－2022×4042＋20212.

【方法总结】运用乘法公式进行简便运算，要熟记乘法公式（平方差公式和完全平方公式）的特征，将原式转化为能利用乘法公式运算的形式后，再进行计算．

例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:

 (1) x2＋y2的值；  (2)(x+y)2的值.

【方法总结】运用完全平方公式的变形：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy，(x－y)2＝(x+y)2－4xy快速解题.

二、课堂小结

当堂检测

1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）

A．a2-4a+4         B．a2-2a+4        C．a2-4            D．a2-4a-4

2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是(         )

  A．(a－b)2          B．(－a－b)2          C．－(a＋b)2       D．－(a－b)2

3.运用完全平方公式计算:

(1)(x＋6)2=_______________；(2) (6a+5b)2=_______________；

(3) (4x-3y)2=_______________；(4)(-2m-1)2 =_______________.

4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.321 2＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

5.计算：

（1）（﹣m﹣4n）2；           （2）（x﹣2y+1）2．

6.已知a+b＝5，ab＝﹣6，求下列各式的值．

（1）a2+b2；           （2）（a﹣b）2．

7.已知x+y＝12，x﹣y＝4，不解出x，y的值，求x y的值．

参考答案

自主学习

一、知识链接

1.（1）4    （2）9      

2.多项式与多项式相乘，将一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加

二、新知预习

试一试  （1）p2＋2p+11    （2）m2＋4m+4    

（3）p-1  p-1  p2－2p+11    （4）m-2  m-2   m2－4m+4

合作探究

一、探究过程 

探究点1：             

问题1   a+b   a   2ab   b    a-b    a   2ab   b  

问题2   a2+2ab+b2     a2－2ab+b2

【要点归纳】

a   2ab  b   a   2ab   b   平方和    2倍

例1   解：（1）原式=4a2+4ab＋b2．   （2）原式=a2+2ab＋b2．  

（3）原式=25+30p＋9p2．    （4）原式=4x2－28xy＋49y2．

【针对训练】解：（1）原式=25-10a+a2．  （2）原式=9m2+24mn+16n2．
（3）原式=9a2-6ab+b2．  （4）原式=（a+2b）2-2（a+2b）+1=a2+4ab+4b2-2a-4b+1．

探究点2：  

例2   解：（1）2012=（200+1）2=2002+2×200×1+12=40401.

（2）原式=（100-2）2－（100+1）（100-1）=100²-400+4-100²+1=-395.

【针对训练】解：原式=（2022-2021）²=1.

例3   解：（1）∵x-y=6，xy=-8，∴x2+y2=（x-y）2+2xy=36-16=20.
（2）（x+y）2=x2+y2+2xy=20+2×（-8）=4．

二、课堂小结

a2+2ab+b2    a2-2ab+b2   

当堂检测    

1.A    2.D  

3.（1）x2+12x＋36  （2）36a2+60ab＋25b2

 （3）16x2-24xy＋9y2  （4）4m2+4m＋1    

4.25

5.解：（1）原式＝m2+8mn+16n2．（2）原式＝（x﹣2y）2+2（x﹣2y）+1＝x2﹣4xy+4y2+2x﹣4y+1．

6.解：（1）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×（﹣6）＝37.

（2）∵a+b＝5，ab＝﹣6，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×（﹣6）＝49．

7.解：把已知两式平方，得（x+y）2＝x2+y2+2xy＝144①，（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝16②，

①﹣②，得4xy＝128，即xy＝32．