数学1.1 空间向量及其运算教课免费ppt课件

这是一份数学1.1 空间向量及其运算教课免费ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了激趣诱思，知识点拨，长度或模，平行或重合，提示适用，答案B，答案A，互相平行或重合，同一个平面，aλb等内容，欢迎下载使用。

1.1.1　空间向量及其线性运算
一天，梭子鱼、虾和天鹅发现路上有一辆车装满了好吃的东西，于是就想把车子从路上拖下来，三个家伙一齐铆足了劲，使出了平生的力气一起拖车，可是，无论它们怎样用力，小车还是在老地方一步也不动。原来，天鹅使劲往天上提，虾一步步向后倒拖，梭子鱼又朝着池塘拉去。同学们，你知道为什么车会一动不动吗?
3.空间向量的相关概念
名师点析1.空间向量只有大小和方向，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量，即向量可以在空间中平移。2.我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。
微思考涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论是否仍然适用?
微练习（多选题）下列命题正确的是（　　）A.若向量a与b的方向相反，则称向量a与b为相反向量B.零向量没有方向C.若a是单位向量，则|a|=1D.若向量m，n，p满足m=n，n=p，则一定有m=p
答案：CD　解析：单位向量是指模等于1的向量，所以若a是单位向量，则必有|a|=1，即选项C正确；由向量相等的定义，知m与p方向相同，模相等，故一定有m=p，选项D正确。
二、空间向量的线性运算
微练习1已知空间四边形ABCD中，
A.a+b-c　　　　B.c-a-bC.c+a-b D.c+a+b
三、共线向量与共面向量1.
2.如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得 =λa。我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的　　　　　。这样，直线l上任意一点都可以由直线l上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定。
名师点析共线向量的特点及三点共线的充要条件（1）共线向量不具有传递性因为零向量0=0·a，所以零向量和空间任一向量a是共线（平行）向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c，则a∥c不一定成立.因为当b=0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线.（2）空间三点共线的充要条件
微练习1满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是（　　）
微练习2对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是（　　）A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线也不共面的向量
解析：因为2a-b=2·a+（-1）·b。
微判断判断下列命题是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。（　　）（2）若向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面。（　　）（3）若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a=λb。（　　）
答案： （1）×　（2）×　（3）×
空间向量及相关概念的理解
解析：①错误，在同一条直线上的单位向量，方向可能相同，也可能相反，故它们不一定相等；②正确，零向量的模等于0，模等于0的向量只有零向量；
反思感悟空间向量概念的辨析（1）向量的两个要素是大小与方向，两者缺一不可；（2）单位向量的方向虽然不一定相同，但长度一定为1；（3）两个向量的模相等，即它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量（非零向量）的模相等是两个向量相等的必要不充分条件；（4）由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的，但向量的模是可以比较大小的.
变式训练1下列说法正确的是（　　）A.若|a|=|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B.若向量a是向量b的相反向量，则|a|=|b|C.两个向量相等，若它们的起点相同，则其终点不一定相同D.若|a|>|b|，|b|>|c|，则a>c
答案：B　解析：两个向量是相反向量时，它们的模必相等，故选项B正确.
思路分析根据数乘向量及三角形法则，平行四边形法则求解。
反思感悟空间向量线性运算的技巧和思路（1）空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接，从而便于运算。②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果。
（2）化简空间向量的常用思路①分组：合理分组，以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则进行化简.②多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则，若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.③走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路（即沿几何体的边选择途径）.
空间共线向量定理及其应用
反思感悟利用空间向量共线定理可解决的主要问题1.判断两向量是否共线：判断两向量a，b（b≠0）是否共线，即判断是否存在实数λ，使a=λb 。 2.求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用“若a∥b，则a=λb（λ∈R）”。3.判断或证明空间中的三点（如P，A，B）是否共线：
解：∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，
空间共面向量定理及其应用
（2）判断点M是否在平面ABC内.
反思感悟证明共面问题的基本方法（1）证明两个空间向量共面时，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用共面向量的定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明.（2）证明空间四点P，M，A，B共面时，可以通过以下几种条件进行证明.
变式训练4已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：
试判断点P是否与点A，B，C共面.
一题多变——空间向量的加法、减法运算
解：（1）根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，
方法总结在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求。
1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的（　　）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.在平行六面体ABCD-A’B’C’D’中，与向量 相等的向量共有（　　）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同，因此“两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件.
4.下列条件使点M与点A，B，C一定共面的是（　　）
解析：根据共面向量定理知A，B，C均错，只有D能使其一定共面.
解：如图，在PD上取一点F，使PF∶FD=2∶1，连接MF，
1.1.2　空间向量的数量积运算
物理中，我们学习了力做功的计算方法.如图所示，一辆小车在力F的作用下向前移动了s个单位长度，力与小车前进方向的夹角为θ，那么力作的功W=|F|·|s|cs θ，这是一个具体的数，可以为正，为负，也可以为零。
名师点析1.由定义知，只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a，b有：①=；②<-a，b>==π-；③<-a，-b>=.
微练习在正四面体ABCD中， 的夹角等于（　　）　　　　　　　　　A.30°B.60°C.150°D.120°
二、空间向量的数量积1.定义：已知两个非零向量a，b，则　　 　　　　叫做a，b的数量积，记作　　　　. 即a·b=|a||b|cs.特别地，零向量与任意向量的数量积为　　　　. 2.数量积的运算性质a·e=|a|cs（e为单位向量）若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b=0若a与b同向，则a·b=|a||b|；若a与b反向，则a·b=-|a||b|.
|a·b|≤|a||b|（当且仅当a，b共线时等号成立）
|a||b|cs
3.向量a在向量b上的投影向量在空间，向量a向向量b投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cs 称为向量a在向量b上的投影向量.
5.数量积的运算律：（λa）·b=　　　　；a·b=　　　　（交换律）； a·（b+c）=　　　　　　（分配律）.
名师点析1.对空间向量数量积的理解（1）两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；（2）空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律，即a·b=a·c⇒b=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不成立.
微判断对不为0的三个实数a，b，c，有（ab）c=a（bc）成立，所以对三个非零向量a，b，c，也有（a·b）c=a（b·c）成立.（　　）微练习2已知空间向量a，b的夹角为120°，且|a|=1，|b|=2，则a·（2a-3b）=　　　　　. 
求空间向量的数量积例1已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形，且边长为2，点M，N，P分别为AB，BC，CA的中点.试求：
思路分析求出每个向量的模及它们的夹角，然后按照数量积的定义求解，必要时，对向量进行分解.
反思感悟空间向量运算的方法与步骤方法：（1）利用定义，直接利用a·b=|a||b|cs并结合运算律进行计算.（2）利用图形，计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算.（3）利用向量分解，在几何体中进行向量的数量积运算时，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤：（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式；（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；（3）代入a·b=|a||b|cs求解.
解析：如图，连接AG并延长，与BC交于点D，∵点G是底面△ABC的重心，
思路分析求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cs，求出cs= 的值，然后确定的大小.
反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径（1）转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解；
变式训练2（1）若非零空间向量a，b满足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，则a与b的夹角为（　　）A.30° B.60° C.120°D.150°
解析：设a与b的夹角为θ，则由（2a+b）·b=0，得2|a||b|cs θ+|b|2=0.
（2）已知空间四面体OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则向量 所成角的余弦值为　　　　　. 
利用数量积证明垂直问题例3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心.求证：OB1⊥平面PAC.
反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直，然后把直线转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的线性运算以及数量积运算，证明直线所在向量的数量积等于零，即可证明线线垂直.
变式训练3已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN.
利用数量积求距离或长度例4如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离.
反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法（1）将此线段用向量表示；（2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（　　）
利用向量的数量积求两异面直线所成角典例如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA1= ，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.
【答题模板】 第1步：确定两两垂直的向量，把待求直线看作向量，用相关向量表示.⇓第2步：计算直线BA1与AC对应向量的数量积.⇓第3步：利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.⇓第4步：将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　）
解析：四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是（　　）A.重合B.平行C.垂直D.无法确定
4.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E，F，G分别是DC，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（　　）
5.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°，求证：CC1⊥BD.