北京市汇文中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份北京市汇文中学2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了 集合，，则．， 集合，，若，则的值为．， 设，或，则是成立的， 定义新运算 等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市汇文中学高二（下）期末数学试卷一､选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1. 集合，，则（    ）．A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】先求出集合，再求交集运算.【详解】,故选：C2. 集合，，若，则的值为．A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【详解】因为，所以，选D.3. 设，或，则是成立的（    ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知判断，，的推出关系即可判断充分及必要性.【详解】因为，或，即成立时，一定成立，但成立时，不一定成立，故是成立的充分不必要条件.故选：B.4. 下列函数中，定义域是且为增函数的是A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：对于，为减函数，故A错误；对于B定义域为且为增函数，故B正确；对于的定义域为，故C错误；对于先减后增，故D错误；故选项为B.考点：函数的单调性. 5. 下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性即可判断.【详解】对A，在单调递减，在单调递增，所以函数在取得最小值，故A正确；对BCD，，，在单调递增，且在不能取到，所以不存在最小值，故BCD错误.故选：A.6. 下列函数中，满足“任意，，且，都有”的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由已知条件、单调函数的定义可得函数在区间上为减函数，然后我们对答案中的四个函数逐一进行分析，即可得到答案.【详解】若对任意，，都有，则在区间上为减函数，选项A中，在区间上为减函数，满足条件；选项B中，在区间上为增函数，不满足条件；选项C中，在区间上为增函数，不满足条件；选项D中，在区间上为增函数，不满足条件.故选：A.7. 函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】先研究函数在区间上的单调性，再根据单调性求最值即可.【详解】解：，解得，再根据二次函数性质得在上，在上，所以函数在单调递增，在单调递减，所以，，，所以.所以函数在闭区间上的最大值、最小值分别是.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，是基础题.8. 定义新运算 ：当时， ；当时， ，则函数的最大值等于（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】当和时，分别求出函数的表达式，然后利用函数单调性或导数求出函数的最大值.【详解】解：由题意知当-2≤x≤1时，f（x）=x-2，当1＜x≤2时，f（x）=-2，又∵f（x）=x-2，f（x）=x3-2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=-2=6．故选C．【点睛】该题考查的是有关新定义运算以及函数最值的求解问题，在解题的过程中，需要对题中所给的条件正确转化，再者就是对函数最值的求解方法要灵活掌握.9. 函数定义域为，则实数的取值范围为（    ）A. 或 B. 或C.  D. 【答案】C【解析】【分析】的定义域要使给出的分式函数定义域为实数集，是指对任意实数分式的分母恒不等于0，对分母的二次三项式进行分类讨论，分，和讨论，当时，需要二次三项式对应的二次方程的判别式小于0.【详解】函数的定义域为，对恒不为零，当时，成立；当时，需△，解得.综上，使函数的定义域为的实数的取值范围为.故选：C10. 已知集合，集合，（    ）.A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合，化简集合，再根据交集运算可得答案.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，故.故选:B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.11. 已知且，，当时均有，则实数的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】由题意只需对一切恒成立，作出与的图象，数形结合即可求解．【详解】只需对一切恒成立，作出与的图象如下：由图象可得：当时，，解得.当时，，解得故选：C12. 关于函数，其中，，给出下列四个结论：甲：6是该函数的零点；乙：4是该函数的零点；丙：该函数的零点之积为0；丁：方程有两个根.若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（    ）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B【解析】【分析】由已知函数的单调性判断甲､乙中有一个错误，由其中一个正确，结合丙正确求得与的值，得到函数解析式，再判断丁是否正确，则答案可求.【详解】当，时，为增函数，当，时，为减函数，故6和4只有一个是函数的零点，即甲乙中有一个结论错误，一个结论正确，而丙､丁均正确.由两零点之积为0，则必有一个零点为0，则，得，若甲正确，则，即，，可得，由，可得或，解得或，方程有两个根，故丁正确.故甲正确，乙错误.若乙正确，甲错误，则，则，，可得，由，可得或，解得或（舍去），方程只有一个根，则丁错误，不合题意．.故选：B.二､填空题（共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知对不同的值，函数的图象恒过定点，则点的坐标是___________.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，我们易得指数函数的图象恒过点，再根据函数图象的平移变换法则，求出平移量，进而可以得到函数图象平移后恒过的点的坐标【详解】由指数函数的图象恒过点而要得到函数的图象，可将指数函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位.则点平移后得到点.则点的坐标是故答案为：14. 函数在上的单调递增区间是___________.【答案】【解析】【分析】求的导数，由，即可求得答案.【详解】，令得：，.，函数的单调递增区间为.故答案为：15. “”是“”的___________条件.【答案】充分不必要【解析】【分析】分析命题“”，“”的充分性和必要性，综合可得答案.【详解】当“”时，“”，“”成立，故“”是“”的充分条件；当“”时，“”，“”不一定成立，故“”是“”的不必要条件；故“”是“”的充分不必要条件；故答案为：充分不必要.16. 已知函数若，则实数＝      .【答案】2【解析】【详解】试题分析：由，则，所以，解得.考点：分段函数的解析式及应用. 17. 设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【答案】    ①. -1;    ②. .【解析】【分析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用导函数的解析式可得a的取值范围.【详解】若函数为奇函数,则，对任意的恒成立.若函数是上的增函数,则恒成立,.即实数的取值范围是【点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中,需利用转化与化归思想,转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.18. 下列关于函数的判断正确的是___________（填写所有正确的序号）.①的解集是；②是极小值，是极大值；③没有最小值，有最大值.【答案】①②③【解析】【分析】转化为解不等式可判断①；利用导数判断出函数的单调性可判断②；根据、的变化趋势可判断③.【详解】对于①：，，即，即，解得，其解集为，故①正确；对于②：，由得，即函数在上单调递增；由得或，即函数在和，上单调递减，当时，取得极小值；当时，取得极大值，故②正确；对于③：由②得当时，；当时，，没有最小值，但是有最大值，故③正确，综上所述，①②③正确.故答案为：①②③.  【点睛】关键点点睛：利用导数判断出函数单调性是解题的关键点，本题考查利用导数研究函数的单调性､极值与最值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力.三､解答题（共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）19. 已知集合，且满足，，求实数，的值.【答案】，.【解析】【分析】先求出集合，然后结合集合的交集，并集运算及方程的根与系数关系可求.【详解】因为，，又，，故，即，是方程的根，所以，，故，.20. 已知，设命题：函数为减函数．命题：当时，函数恒成立．如果“或”为真命题，“且”为假命题，求的取值范围．【答案】．【解析】【分析】根据指数函数图象和性质，可求出命题真是的范围，根据对勾函数的图象和性质，可求出命题真是的范围，再由，一真一假，可得的取值范围.【详解】由命题知：，由命题知：，要使此式恒成立，则，即，又由或为真，且为假知，必有一真一假，当为真，为假时，的取值范围为，当为假，为真时，．综上，的取值范围为．21. 设（1）求函数的单调递增、递减区间；（2）当时，恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为和，递减区间；（2）.【解析】【分析】（1）求导，分别由和求解.（2）根据时，恒成立，则由求解即可.【详解】（1），令，解得或，当或时，，为增函数，当时， ，为减函数综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.（2）当时，恒成立，只需使上最大值小于m即可由（1）知最大值为、端点值中的较大者.∴在上最大值为,∴，所以实数m的取值范围是【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若在区间D上有最值，则；；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.22. 设函数,已知和为的极值点.(Ⅰ)求和的值;(Ⅱ)讨论函数的单调性;(Ⅲ)设,比较与的大小.【答案】(Ⅰ),.(Ⅱ)在和上是单调递增,在和上是单调递减.(Ⅲ) 【解析】【分析】(Ⅰ)根据已知和为的极值点，易得，，从而解出，的值； (Ⅱ)利用导数求解函数单调的方法步骤，进行求解即可；(Ⅲ)比较大小，做差，构造新函数，在定义域内，求解与的关系，即可求解.【详解】(Ⅰ)因为,又和为的极值点,所以,因此，解得,.经检验，,，合题意所以,. （Ⅱ）因为,,所以,令,解得,,．因为当时，；当时,．所以在和上是单调递增；在和上是单调递减.（Ⅲ）由（Ⅰ）可知,所以，令，则.令,得,因为当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递减.所以当时，取得极小值，即为最小值.;所以对任意,恒有,又，因此,故对任意，恒有.