广西玉林市博白第四高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年广西玉林市博白四中高二（上）期中数学试卷（文科）

一、单选题

1. 把1010(2)化为十进制数，则此数为（    ）

A. 8 B. 10 C. 16 D. 20

【答案】B

【解析】

【分析】将二进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘以对应的权重，累加后，即可得到答案．

【详解】将二进制数1010(2)化为十进制数为：

1010(2)

．

故选：．

2. 已知高一（1）班有48名学生，班主任将学生随机编号为01，02，……，48，用系统抽样方法，从中抽8人，若05号被抽到了，则下列编号的学生被抽到的是（　　）

A. 16 B. 22 C. 29 D. 33

【答案】C

【解析】

【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.

【详解】样本间隔为48÷18=6，则抽到的号码为5+6（k﹣1）=6k﹣1，

当k=2时，号码为11，

当k=3时，号码为17，

当k=4时，号码23，

当k=5时，号码为29，

故选C．

【点睛】本题主要考查系统抽样的定义和方法，属于简单题．

3. 下列命题中的真命题是（    ）

①“若，则、不全为零”的否命题；

②“若，则”的逆命题

③“”的一个充分不必要条件是“”．

④命题“在中，若，则”的逆否命题

A. ①②③④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④

【答案】B

【解析】

【分析】由四种命题及关系、充分必要条件的定义，可得结论．

【详解】解：对于①，“若，则x、y不全为零”的否命题为“若，则x，y全为零”，是真命题；

对于②，“若，则”的逆命题为“，则”，是假命题，

例如，而；

对于③，，而成立时不一定有，

“”的一个充分不必要条件是“”，是真命题；

对于④，由正弦定理和边角关系可得，在中，，

该命题为真命题，所以原命题的逆否命题为真命题．

故选：B．

4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州现四川省安岳县人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.已知一个5次多项式为，用秦九韶算法求这个多项式当 时的值为（    ）

A. 12 B. 13 C. 14 D. 15

【答案】C

【解析】

【分析】

由秦九韶算法可得，当 时，即可求得，，，的值，即可得答案.

【详解】多项式变形为，

，

，，

，

故选：C．

5. 某算法框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则整数的值为（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】根据程序框图，逐步只需，直到能输出为止，即可判断的值.

【详解】执行框图如下：

初始值，，此时，需要执行循环体，

计算，，需要继续执行循环体；

计算，，需要继续执行循环体；

计算，，需要继续执行循环体；

计算，，需要继续执行循环体；

计算，，需要继续执行循环体；

计算，，此时需要输出；

因此，

故选：A.

6. 已知命题：命题：R，，若命题，都是真命题，实数的取值范围是（    ）

A.  B.

C. 或 D.

【答案】C

【解析】

【分析】若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可．

【详解】∵命题P：为真命题，

∴，

又∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，

∴，

∵命题：R，，为真命题，

∴，

∴或，

∵命题p，q都是真命题，

∴或，

故选：C．

7. 用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，用列举法可写出所有基本事件，再利用古典概型可解．

【详解】根据题意，用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数有：102，120，210，201共四种情况，

其中三位数是偶数有：102，210，120，共3种情况，

故用0，1，2三个数字组成的没有重复数字的三位数中，其中三位数为偶数的概率是.

故选：D．

8. 3.12日为植树节，某单位组织10名职工分成两组开展义务植树活动，以下茎叶图记录了甲、乙两组五名职工的植树棵数．（参考公式：样本数据，，，的方差，其中为样本平均数），下列说法，正确的是（    ）

A. 甲组植树棵数的平均数不高于乙组植树棵数的平均数

B. 甲组植树棵数的众数是9

C. 乙组植树棵数的方差

D. 甲、乙两组中植树棵数的标准差

【答案】C

【解析】

【分析】利用茎叶图结合平均数、众数及方差公式求解即可求得结果.

【详解】甲组植树棵数的平均数高于乙组植树棵数的平均数，选项A错；

甲组植树棵数的众数是9和11，选项B错；

对于选项C，平均数为，方差为．选项C正确；

由茎叶图易知，甲组数据集中，乙组数据分散，

甲、乙两组中植树棵数的标准差，选项D错误．

故选：C．

9. 已知抛物线的焦点为F，且为抛物线上的点，则（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】将点的坐标代入抛物线方程，即可求出，再根据抛物线的定义可求得的值.

【详解】因为点在抛物线上，

所以，即抛物线的方程为，

其准线方程为：，

由抛物线的定义可知.

故选：B.

10. 如图所示，椭圆中心在原点，F是左焦点，直线与BF交于点D，且，则椭圆的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点，由两点间斜率公式求出直线的斜率与直线的斜率，由题意，直线的斜率与直线的斜率的积为，联立椭圆中，即可求出椭圆的离心率．

【详解】解：设左顶点，左焦点，上顶点，下顶点

则直线的斜率为，直线的斜率为，

因为，所以，

所以，即，

又，所以，

所以，解得，

因为，所以，

故选：B．

11. 双曲线：的右焦点为，过点且倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，直线的斜率为，进而作出图形，数形结合得，故，进而得.

【详解】因为过的直线的倾斜角为，

所以直线的斜率为，

因为直线与双曲线右支交于，两点，

如图所示：由图象知：，

所以，

又，所以，

故选：A．

12. 已知为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率为2，则两点连线斜率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．

【详解】由于直线AB的斜率为2，故设直线的方程为，

设，

故，整理得，

则，即，

故，

故．

利用中点坐标公式，，此时，

故．

故选：A．

二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，，，若，则点的轨迹方程为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据双曲线的定义，可判定点的轨迹为双曲线，按照双曲线的概念即可求出轨迹方程.

【详解】解：，所以点的轨迹是以两点为焦点，以8为实轴长的双曲线.即，，所以，，所以双曲线的方程为.

故答案为：.

【点睛】本题考查定义法求双曲线的标准方程，熟记定义是解题的关键，本题属于基础题.

14. “，”的否定为真命题，则实数a的最小值为______.

【答案】1

【解析】

【分析】由题意可得，恒成立，分离参数转化为二次函数的最值问题，由此可得出结论．

【详解】解：由题意知“，”为假命题，

即，恒成立，分离参数得，

令，，

∴当时取得最大值1，

∴的最小值为1，

故答案为：1．

15. 过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.

【答案】

【解析】

【分析】由双曲线方程求出右焦点为F(2，0)，然后把代入双曲线的渐近线方程中求出的值，可得A，B两点的纵坐标，从而可求出|AB|的值

【详解】双曲线右焦点为F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为，将x＝2代入，得y2＝12，，

故|AB|＝.

故答案为：

【点睛】此题考查双曲线的性质，属于基础题

16. 已知椭圆的右焦点为，左、右顶点为A、，，．则直线被椭圆截得的弦长为_____________．

【答案】．

【解析】

【分析】由题可得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值.

【详解】设椭圆的半焦距为，由，，

可得，，解得，，

则，

即有椭圆的方程为，

联立直线和椭圆，

可得，

设被椭圆截得的弦的端点的横坐标分别为，，

则，，

可得弦长为.

故答案为：.

三、解答题

17. 设p：实数x满足，其中，命题实数满足.

（1）若，且为真，求实数x的取值范围；

（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由题知，进而根据均为真命题求解即可；

（2）由题知，进而根据题意得是的真子集，再根据集合关系求解即可.

【详解】解：（1）当时，

因为为真，所以均为真命题，

所以

所以实数x取值范围

（2）因为，，所以

因为p是q的必要不充分条件，

所以是真子集，

如图，

所以，解得经检验成立

所以实数的取值范围为

18. 对某高校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据做出了频数与频率得统计表和频率分布直方图如下：

（1）求表中，的值，求学生参加社区服务次数的中位数；

（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，则至少一人参加社区服务次数在区间内的概率．

【答案】（1），，中位数为17；   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据频率分布表，频率的概念，中位数的概念，方程思想即可求解；

（2）根据古典概型的概率公式即可求解．

【小问1详解】

∵样本容量，∴，

∴，∴，

∴，

易知中位数落在第二组中，设中位数为t，

则，

解得，

∴，，中位数为17；

【小问2详解】

∵样本中有3人，有2人，

∴从这5人中任选2人共有个结果，

而至少一人参加社区服务次数在区间内包含个结果，

∴所求的概率为．

19. 某酱油厂对新品种酱油进行了定价，在各超市得到售价与销售量的数据如表：

（1）求售价与销售量的回归直线方程：

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/瓶，为使工厂获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为多少元？

相关公式：

（参考数据，）

【答案】（1）．   

（2）．

【解析】

【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法公式，以及线性回归方程的公式，即可求解；

（2）设工厂获得的利润为L元，先求出利润为L的表达式，再结合二次函数的性质，即可求解．

【小问1详解】

由表中数据可得，，

，

，，

则，

，

故回归直线方程为．

【小问2详解】

设工厂获得的利润为L元，

则，二次函数开口向下，对称轴为，

当时，L取得最大值，

所以为使工厂获得最大利润（利润＝销售收入－成本），该产品的单价应定为元．

20. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在第二象限，，求的面积．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据，求出，结合焦点坐标求出，从而可求，即可得出椭圆方程；

（2）直线方程与椭圆方程联立，可得的坐标，利用三角形的面积公式，可求△的面积．

【小问1详解】

解：依题意得，

又，

，，

，．

所求椭圆的方程为．

【小问2详解】

解：设点坐标为，

，

所在直线的方程为，即．

解方程组，并注意到，，可得

．

21. 已知关于的一元二次方程.

（1）若是从，，，，五个数中任取的一个数，是从，，，四个数中任取的一个数，求所给方程有实数根的概率；

（2）若是从区间内任取的一个数，是从区间内任取的一个数，求所给方程有实数根的概率.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）首先求出方程有实数根时、之间的关系，再用列举法列出所有基本事件，最后利用古典概型的概率公式计算可得；

（2）根据面积型几何概型概率公式计算可得；

【详解】解：设事件为“方程有实数根”，方程有实数根，则，得.

（1）由题意知，基本事件共个：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.括号中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值.

事件包含个基本事件：，，，，，，，，，，，，，，

.

（2）试验的全部结果所构成的区域为，

构成事件的区域为，

如下图所示：

则矩形的面积为，四边形的面积为，

.

22. 已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上.

（1）求双曲线的方程；

（2）若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的最小值.

【答案】（1）   

（2）-4

【解析】

【分析】（1）直接由离心率和点代入双曲线求得即可；

（2）先表示出，再通过点P横坐标的范围求出最小值.

【小问1详解】

依题又，

所以，，故双曲线的方程为.

【小问2详解】

由已知得，，设，

于是，，

因此，

由于，所以当时，取得最小值，为.