河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等2校2023届高三下学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份河北省秦皇岛市青龙满族自治县实验中学等2校2023届高三下学期开学考试数学试题（解析版），共18页。
 2023届高三开年摸底联考数学试题1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合B，根据集合交集定义求解即可．【详解】因为，所以故选：D.2. 若，则复数z的虚部是（    ）A. 2i B. i C. 2 D. 1【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算化简z，从而求得z的虚部【详解】由题，，故虚部为1.故选：D3. 已知等差数列的前项和为是关于的方程的两根，则（    ）A. 22 B. 24 C. 26 D. 28【答案】A【解析】【分析】根据题意得，又即可求解.【详解】因为是关于的方程的两根，所以，故选：A.4. 已知，若，则（    ）A.  B.  C.  D. .【答案】C【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式将等式因式分解可得，结合同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】由题意知，，因为，所以.得，所以.故选：C.5. 若，则（    ）A. 257 B. 129 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】令得，令得，相减即得结论．【详解】令，则，令，则，所以．故选：B．6. 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户､存入规定数额资金､用于教育目的的专项储签，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄，储蓄存款享受免征利息税的政策，若你的父母在你12岁生日当天向你的银行教育储蓄账户存入2000元，并且每年在你生日当天存入2000元，连续存6年，在你十八岁生日当天一次性取出，则一次性取出的金额总数为（    ）（假设教育储蓄存款的年利率为5%，取）A. 14400元 B. 15400元 C. 16200元 D. 18500元【答案】A【解析】【分析】根据题意结合等比数列前项和公式即可得解.【详解】金额总数为元.结合各选项中的数据可知A最符合，故选：A.7. 在棱长为2的正方体中，E为CD1上的动点，则AE与平面所成角的正切值不可能为（    ）  A. 1 B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】在正方体中找出线面角，求出线面角正切值的范围即可得解.【详解】如图，  在上取点，使得，连接，由，可知四边形为平行四边形，则，因为平面，，所以平面，所以与平面所成角为，，而．所以．显然，故D不可能．故选：D8. 若，，，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】构造函数应用导数讨论函数的单调性，结合指数函数和对数函数单调性比较大小即可.
 【详解】因为，所以，令，，令，则，令，解得．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在R上单调递增，，即，所以，综上：.故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下图反映2017年到2022年6月我国国有企业营业总收入及增速统计情况：2017年到2022年6月国有企业营业总收入及增速统计图  根据图中的信息，下列说法错误的是（    ）A. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年增加B. 2017-2022年我国国有企业营业总收入逐年下降C. 2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年D. 2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数大于630000亿元【答案】ABD【解析】【分析】由统计图提供的数据进行判断．【详解】由图知.2022年下半年我国国有企业营业总收入及增速未知，故A、B错误；2017-2021年中，我国国有企业营业总收入增速最快的是2021年，为，C正确；2017-2021年我国国有企业营业总收入的平均数小于630000亿元．D错误．故选：ABD．10. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）A. 的图象关于点对称B. 在区间上单调递减C. 将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到的函数为偶函数D. 【答案】BCD【解析】【分析】借助于辅助角公式将化简，然后利用三角函数的对称性，单调性以及三角函数的平移逐一判断选项，可得结果.【详解】， 令，则，当时，，此时，故的图象关于点对称，A错误；当时，，而函数在上单调递减，B正确；将的图象先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到为偶函数，C正确；，，所以．故选:BCD．11. 如图是唐代纹八棱金杯，其主体纹饰为八位手执乐器的乐工，分布于八个棱面，乐工手执竖箜篌､曲项琵琶､排箫等，金杯无论造型还是装饰风格都有着浓郁的域外特征，是唐代中外文化交流的见证､该杯的主体部分可近似看作是双曲线与直线围成的曲边四边形绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为，下底外直径为，双曲线与轴交于两点，则（    ）A. 的方程为B. 的离心率C. 的焦点到渐近线的距离为D. 若为上任意一点，则的最大值为【答案】AC【解析】【分析】根据题意可得，将坐标代入双曲线方程即可解出方程，A、B选项即可判断；根据点到直线的距离公式即可判断出选项C；利用基本不等式即可求出选项D.【详解】解：由题意知，代入的方程解得，所以的方程为，A正确；因为，所以离心率，B错误；的焦点为，渐近线为，所以焦点到渐近线的距离为，C正确；，当且仅当，即时取等号，但将代入方程后，无解，D错误.故选：AC.12. 已知定义域为的函数在上单调递增，，且图像关于对称，则（    ）A.  B. 周期C. 在单调递减 D. 满足【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件由对称抽和对称中心得出周期为4判断A,B选项，周期再结合已知单调性判断C选项,应用周期性和单调性求函数值的大小判断D.【详解】由知的对称轴为，所以故A正确; 由知：，又图像关于对称，即，故，所以，即，所以的周期为4，故B错误;因为在上单调递增，且，所以在上单调递增，又图像关于对称，所以在上单调递增，因为关于对称，所以在上单调递减，故C正确；根据周期性，，因为关于对称，所以，因为周期，所以；结合在上单调递减，且上单调递增，故，即，故D正确.故选:ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知向量，，若．则______．【答案】【解析】【分析】先根据向量垂直求参，再根据坐标求模即可.【详解】由得，即，解得，所以，．故答案为：．14. 有甲、乙两个加工厂加工同一型号零件，甲厂加工的次品率为，乙厂加工的次品率为，已知甲乙两个加工厂加工的零件数分别占当地市场总数的45%，55%，现从当地市场上任意买一件这种型号的零件、则买到的零件是次品，且是甲厂加工的概率为______．【答案】【解析】【分析】根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可.
 【详解】记为事件“零件为甲厂加工”，为事件“零件为乙厂加工”，为事件“买一个零件为次品”，则，．所以．所以．故答案为:．15. 写出与圆和抛物线都相切的一条直线的方程______．【答案】或（填一个即可）【解析】【分析】设公切线与抛物线切于点，由导数的几何意义求得切线方程，再由切线与圆也相切求得从而得公切线方程．【详解】设公切线与抛物线切于点，而，所以处的公切线方程为，即．结合公切线与圆相切得，解得，所以公切线的方程为或．故答案为：或（填一个即可）．16. 已知是函数的唯一极小值，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】分情况讨论函数的单调性，结合唯一极值点列式求解即可.
 【详解】，当时，，在上单调递增，无极值点；当时，令知．易知函数和在必有一交点，在交点左侧，有，，单调递减，在交点右侧，，，单调递增，因为的极小值唯一，所以在上恒成立，设和恰好切于点，则有，解得，此时a取到最小值，所以．故答案为:．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知等比数列的前项和为．公比，若，．（1）求的通项公式；（2）证明：．【答案】（1）    （2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，解得即可；（2）首先求出，再利用作差法证明即可.【小问1详解】由．得，解得或（舍去），所以．【小问2详解】因为，且，所以，所以．18. 在中，点为线段的四等分点且靠近点与互补.（1）求的值；（2）若，求的长.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理列出关于的方程，进而求得的值；（2）分别在和中，利用余弦定理求得和的表达式，列出关于的长的方程，解之即可求得的长.【小问1详解】因为与互补，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，因为点为线段的四等分点且靠近点，所以.【小问2详解】因为，所以，设，由（1）知，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，即，所以，解得.所以长为.19. 如图，在四棱锥中．平面平面，∥，，，，点E，F分别为AS，CD的中点．  （1）证明：∥平面；（2）若，，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，从而得，即证得线面平行；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求二面角．小问1详解】如图，取的中点，连接，．因为分别为的中点．所以，．因为，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面．所以平面．【小问2详解】如图，取的中点，连接，．因为为等腰三角形，所以．因为平面平面，平面平面．所以平面．又，平面，则，，易证．可建立如图所示的空间直角坐标系．因为，．所以，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则有即取得设平面AFS的一个法向量为，则，即，取，得，所以，设二面角的大小为，则．20. 2022年卡塔尔世界杯足球赛于11月21日至12月18日在卡塔尔境内举办，这是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，备受瞩目，一时间掀起了国内外的足球热潮.某机构为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各120名观众进行调查，统计数据如下： 喜爱足球运动不喜爱足球运动男性8040女性6060 （1）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？（2）现从参与调查且喜爱足球运动的观众中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人进行有奖竞答.①求男、女性观众各选取多少人？②若从这7人中随机抽取4人进行本届世界杯赛事集锦分享，求抽到男生人数的分布列和数学期望.附：，.0.100.050.0250.01000050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828 【答案】（1）能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关    （2）①男、女性观众各选取，人.②答案见解析【解析】【分析】（1）根据表中数据计算的观测值，利用独立性检验的思想即可求解；（2）①根据已知条件及分层抽样的定义即可求解；②根据①的结论及已知条件，求出随机变量的取值，利用古典概型的概率公式求出随机变量对应取值的概率，写出随机变量的分布列，再利用随机变量的期望公式即可求解.【小问1详解】由题意可知，，所以能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为喜爱足球运动与性别有关.【小问2详解】①根据分层抽样的原理，可知男生观众选取人，女生观众选取人，所以男、女性观众各选取，人.②随机变量的可能取值为，则,,,,所以的分布列如下表所以.21. 已知椭圆的焦距为2，且经过点.（1）求的方程；（2）若直线与交于两点，的中点为，当时，求的值.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）利用椭圆方程的关系求解即可；（2）由可得，设，，将直线方程和椭圆方程联立，利用求解即可；【小问1详解】因为椭圆的焦距为2，所以，解得，又因为点在椭圆上，所以，解得，所以，所以椭圆的方程为.【小问2详解】因为在中，，且，所以，此时，所以， 设，，联立得，令解得，所以，①所以，将①代入上式得化简整理得，解得.22. 已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）在恒成立，求的取值范围.【答案】（1）    （2）.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出在处的切线方程；（2）二次求导后，对a分类讨论，分别研究单调性，求最值进行验证.【小问1详解】当时，，所以.故在处的切线方程为.【小问2详解】由题意知，令，当时，对任意，则，所以在单调递减，所以，满足题意；当时，在上恒成立，所以在单调递减，则，①当，即时，，所以在单调递减，所以，满足题意；②且时，即时，由零点存在性定理知，，使得.当时，，所以在单调递增，所以，不满足题意；③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意.综上，的取值范围为.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． （3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）利用导数解决恒（能）成立问题．