辽宁省大连市第八中学2020-2021学年高二下学期4月月考数学试题（解析版）

2020-2021下学期4月份阶段测试高二年级数学试卷

第I卷（选择题）

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值.

【详解】设三位同学分别为，他们的学号分别为，

用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号.

三人可能拿到的卡片结果为：，共6种，

其中满足题意的结果有，共3种，

结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.

故选：C.

【点睛】方法点睛：

有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．

(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏．

(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.

2. 已知随机变量，有下列四个命题：

甲：  乙：

丙：  丁：

如果只有一个假命题，则该命题为（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

【答案】D

【解析】

【分析】先判断乙、丙的真假性，然后判断甲、丁的真假性，由此确定正确选项.

【详解】由于乙、丙真假性相同，所以乙、丙都是真命题，故，

根据正态分布的对称性可知：甲：为真命题，所以丁为假命题.

并且，.

所以假命题的是丁.

故选：D

3. 某家庭连续五年收入与支出如下表：

画散点图知：与线性相关，且求得的回归方程是，其中，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为万元.

A. 11.4 B. 11.8 C. 12.0 D. 12.2

【答案】B

【解析】

【分析】回归方程一定经过样本中心点，求出样本中心点，代入方程可以求出，然后令，可以解出答案．

【详解】

得

,令x=15得y=11.8.

故选:B

【点睛】本题主要考查了线性回归方程的样本中心点，属于基础题．

4. 下图展现给我们的是唐代著名诗人杜牧写的《清明》，这首诗不仅意境极好，而且还准确地描述出了清明时节的天气状况，那就是“雨纷纷”，即天气多阴雨．某地区气象监测资料表明，清明节当天下雨的概率是0.9，连续两天下雨的概率是0.63，若该地某年清明节当天下雨，则随后一天也下雨的概率是（    ）

A. 0.63 B. 0.7 C. 0.9 D. 0.567

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用条件概率公式计算得到答案.

【详解】记事件A表示“清明节当天下雨”，B表示“第二天下雨”，

由题意可知，，所以．

故选：B.

【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力

5. 某种芯片的良品率服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过，不予奖励；若芯片的良品率超过但不超过，每张芯片奖励元；若芯片的良品率超过，每张芯片奖励元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（    ）元附：随机变量服从正态分布，则，，.

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据，得出，，计算对应的概率值，再求每张芯片获得奖励的数学期望.

【详解】因为，得出，，

所以，

；

，

所以（元）

故选：B

6. 现有4个人通过掷一枚质地均匀的骰子去参加篮球和乒乓球的体育活动，掷出点数为1或2的人去打篮球，掷出点数大于2的人去打乒乓球.用，分别表示这4个人中去打篮球和乒乓球的人数，记，求随机变量的数学期望为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】分别求出每个人去打篮球、打乒乓球的概率，的所有可能取值为0，2，4，利用二项分布的概率公式求出的分布列即可求得的期望值.

【详解】依题意，这4个人中，每个人去打篮球的概率为，去打乒乓球的概率为，

设“这4个人中恰有人去打篮球”为事件，

则﹐的所有可能取值为0，2，4.

由于与互斥﹐与互斥，故﹐

，

所以的分布列为

随机变量ξ的数学期望.

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与期望、二项分布的概率求解，属于较难题.

7. 在体育选修课排球模块基本功发球测试中，计分规则如下满分为10分：①每人可发球7次，每成功一次记1分；②若连续两次发球成功加分，连续三次发球成功加1分，连续四次发球成功加分，以此类推，，连续七次发球成功加3分假设某同学每次发球成功的概率为，且各次发球之间相互独立，则该同学在测试中恰好得5分的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】明确恰好得5分的所有情况：发球四次得分，有两个连续得分和发球四次得分，有三个连续得分，分别求解可得.

【详解】该同学在测试中恰好得5分有两种情况：四次发球成功，有两个连续得分，此时概率；四次发球成功，有三个连续得分，分为连续得分在首尾和不在首尾两类，此时概率，所求概率；故选B.

【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，题目稍有难度，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.

8. 设，随机变量的分布

则当在内增大时，（    ）

A. 增大，增大 B. 增大，减小

C. 减小，增大 D. 减小，减小

【答案】D

【解析】

【分析】求得之间的关系，再求出讨论其单调性即可判断.

【详解】因为分布列中概率之和为1，可得，

∴，∴当增大时，减小，

又由，

可知当在内增大时，减小.

故选：D.

二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，且，则

B. 设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均减少5个单位

C. 线性相关系数r越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】由的方差公式可判断A； x增加1个单位时计算y值与原y值比较可判断B；由线性相关系数|r|的性质可判断C；根据正态曲线关于x=1对称即可判断D.

【详解】对于选项A，由，，则，所以，故正确；

对于选项B，若有一个回归方程，变量x增加1个单位时，，故y平均减少5个单位，正确；

对于选项C，线性相关系数|r|越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；

对于选项D，在某项测量中，测量结果服从正态分布，由于正态曲线关于对称，则，正确.

故选：ABD.

【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题.

10. 某机构要调查某小区居民生活垃圾的投放情况(该小区居民的生活垃圾以厨余垃圾､可回收物､其他垃圾为主)，随机抽取了该小区“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱､“其他垃圾”箱这三类垃圾箱，总计1000千克的生活垃圾，数据(单位：千克)统计如下：

根据样本数据估计该小区居民生活垃圾的投放情况，下列结论正确的是（    ）

A. 厨余垃圾投放正确的概率为.

B. 居民生活垃圾投放错误的概率为.

C. 该小区这三类垃圾中，其他垃圾投放正确的概率最低.

D. 厨余垃圾在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量的方差是20000.

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据数据，结合古典概型公式和方差公式依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，由题可知厨余垃圾总投放质量为600千克，其中投放到“厨余垃圾”箱的有400千克，故厨余垃圾投放正确的概率为，故A选项正确；

对于B选项，由表中数据可知，居民垃圾投放错误的有千克，故居民生活垃圾投放错误的概率为，故B选项错误；

对于C选项，由表中数据可知，可回收物的总投放质量为300千克，其中正确投放的有240千克，故可回收物投放正确的概率为，其他垃圾的总投放质量为100千克，其中正确投放的有60千克，故其他垃圾投放正确的概率为，再结合A选项厨余垃圾投放正确的概率为，故，即其他垃圾投放正确的概率最低，故C选项正确；

对于D选项，由题知厨余垃圾在“厨余垃圾”箱､“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的平均投放量为200千克，根据方差的计算公式得，故D选项正确.

故选：ACD

【点睛】本题考查古典概型计算概率，方差的计算，解题的关键是读懂表中的数据，根据题意依次计算分析，要耐心，且认真的挖掘数据，分析处理数据，考查数据处理能力，是中档题.

11. 下列说法中，错误的命题是（    ）

A. 已知随机变量服从正态分布，，则.

B. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3.

C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则.

D. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为16.

【答案】AD

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性可判断A，根据线性回归方程与非线性之间的转化关系可判断C，根据样本中心可判断C，根据方差的性质可判断D.

【详解】对于A，由正态分布的对称性可得，故A错误，

对于B，由可得，所以则，的值分别是和0.3，故B正确，

对于C，由于，所以，故C正确，

对于D, 数据，，…，的方差为，故D错误，

故选：AD

12. 有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6% ，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）

A. 任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0. 06

B. 任取一个零件是次品的概率为0. 0525

C. 如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为

D. 如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为

【答案】BC

【解析】

【分析】运用条件概率公式对每个选项逐一分析即可.

【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”

则，，

对于A，即，A错误.

对于B，

，B正确.

对于C，，C正确.

对于D，，D错误.

故选：BC

II卷（非选择题）

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知随机变量，则__________（用数字作答）.

【答案】

【解析】

【分析】随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率计算公式即可求解.

【详解】由随机变量，

则.

故答案为：

14. 若数列{an}为单调递增数列，且，则a3的取值范围为__________.

【答案】(-∞，6)

【解析】

【分析】

先利用数列的单调性得到λ＜8，再求a3的取值范围.

【详解】当n≥2时，，

因为数列{an}为单调递增数列，所以对n≥2(n∈N)恒成立，

即λ＜2n+1对n≥2(n∈N)恒成立，

所以λ＜8，

所以，

故a3的取值范围为(-∞，6).

故答案为：(-∞，6).

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性的定义即.转化出了数列的单调性，后面就容易解答.

15. 一个不透明的箱中原来装有形状、大小相同的1个绿球和3个红球.甲、乙两人从箱中轮流摸球，每次摸取一个球，规则如下：若摸到绿球，则将此球放回箱中可继续再摸；若摸到红球，则将此球放回箱中改由对方摸球，甲先摸球，则在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的概率是________.

【答案】

【解析】

【分析】

先定义事件，，，，从而得到事件“甲恰好摸到两次绿球的情况为事件，利用事件的独立性进行概率计算，即可得到答案。

【详解】设“甲摸到绿球”的事件为，则，

“甲摸到红球”的事件为，则，

设“乙摸到绿球”的事件为，则，

“乙摸到红球”的事件为，则，

在前四次摸球中，甲恰好摸到两次绿球的情况是，

所以.

故答案为：

【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是准确定义相关事件。

16. 在一次以“二项分布的性质”为主题的数学探究活动中，立德中学高三某小组的学生表现优异，发现的正确结论得到老师和同学的一致好评.设随机变量，记，.在研究的最大值时，小组同学发现：若为正整数，则时，，此时这两项概率均为最大值；若为非整数，当取的整数部分，则是唯一的最大值.以此为理论基础，有同学重复投掷一枚质地均匀的骰子并实时记录点数1出现的次数.当投掷到第20次时，记录到此时点数1出现5次，若继续再进行80次投掷试验，则当投掷到第100次时，点数1总共出现的次数为____________的概率最大.

【答案】18

【解析】

【分析】直接根据服从二项分布，结合取整数部分可得后面80次出现点数1的次数为13概率最大，从而得解.

【详解】继续再进行80次投掷试验，出现点数为1次数服从二项分布，

由，结合题中结论可知，时概率最大，即后面80次中出现13次点数1的概率最大，

加上前面20次中的5次，所以出现18次的概率最大.

故答案为：18.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 2020年是脱贫攻坚收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具.质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A”､“B”､“C”三个等级，A､B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如下表所示：

（表一）

（表二）

请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表（表二），并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？

附：，其中.

【答案】列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关

【解析】

【分析】根据数据计算，然后判断即可.

【详解】解：2×2列联表如下

，

没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.

18. 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：

设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志.

（1）在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；

（2）在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，求此次品出自三家工厂生产的概率分别是多少？

【答案】（1）0.0125；（2）答案见解析.

【解析】

【分析】根据全概率公式和贝叶斯公式计算可得结果.

【详解】设表示“取到的是一只次品”，表示“所取到的产品是由第家工厂提供的”．

则，，是样本空间的一个划分，且，，，

，，.

（1）由全概率公式得.

（2）由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂1的概率为：

由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂2的概率为：

由贝叶斯公式可知该元件来自制造厂3的概率为：

【点睛】关键点睛：熟练掌握条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式是解决此题的关键.

19. 在一次抽样调查中测得个样本点，得到下表及散点图.

（1）根据散点图判断与哪一个适宜作为关于的回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果试建立与的回归方程；（计算结果保留整数）

参考公式：

【答案】（1）   

（2）

【解析】

分析】（1）根据散点图即可求解，

（2）将非线性转化为线性，即可利用最小二乘法求解.

【小问1详解】

由题中散点图可以判断，适宜作为关于的回归方程；

【小问2详解】

令，则，原数据变为

由表可知与近似具有线性相关关系，计算得，

，

，

所以，，则.

所以关于的回归方程是.

20. 袋中装有若干个质地均匀、大小一致的红球和白球，每次从袋中摸出一个球，若累计三次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直至第5次摸球后结束.

（1）若袋中共8个球，其中红球3个，白球5个，采用不放回摸球方式，记摸球结束后摸到红球的次数为，求随机变量的分布列；

（2）若袋中共有10个小球，且红球个数与白球个数之比为，采取有放回的摸球方式，若第四次摸球后停止摸球的概率大于第三次摸球后停止摸球的概率，求所有可能取值.

【答案】（1）分布列见解析；（2）

【解析】

【分析】（1）由题意可知，只有3个红球，则的可能值为，利用排列组合的应用，即可求出相应的概率，即可写出分别列；

（2）根据题意，每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，利用独立重复事件求出第四次摸球后停止和第三次摸球后停止的概率，结合题中条件，即可求出的所以可能值.

【详解】解：（1）由题意知，随机变量的可能取值为

的分布列

（2）由题意知：

每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为，每次摸球相互独立，

第四次摸球后停止的概率为，

第三次摸球后停止的概率为 ，

所以解得 ，又且

由题意得的所有可能取值为.

【点睛】本题考查排列组合的实际应用，古典概型求概率，以及离散型随机变量的分布列，考查计算能力.

21. 在某次月考中，学号为的四位同学的考试成绩，且满足.

（1）求四位同学的考试成绩互不相同的概率；

（2）同学中恰有位同学的考试成绩为106分，求随机变量的分布列及期望.

【答案】（1）   

（2）分布列答案见解析，数学期望：

【解析】

【分析】（1）将满足条件的情况一一分类讨论即可求解全部基本事件的总数，即可求解，

（2）分别求解概率即可得分布列.

【小问1详解】

满足的所有情况有

①若，此时有种，

②若，此时有1种，

③若，此时有种，

④若，此时有1种，

⑤若，此时有种，

⑥若，此时有1种情况，

故满足的所有情况共有种，

记=”四位同学的考生成绩互不相同”，则；

【小问2详解】

可取0，1，2，则

当时，此时四个同学的成绩可能为，或者或者，或者，所以，

若,则四个同学的成绩可能为：，或者，或者或者，或者，所以
进而

的分布列为

故.

22. 学生考试中答对但得不了满分的原因多为答题不规范，具体表现为：解题结果正确，无明显推理错误，但语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等，记此类解答为“类解答”.为评估此类解答导致的失分情况，某市教研室做了一项试验：从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“类解答”的题目，扫描后由近百名数学老师集体评阅，统计发现，满分12分的题，阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表：

某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式，规则如下：两名老师独立评分.称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取种裁分数和前两评中较高的分数的平均分为该题得分.

（假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“类解答”所评分数及比例均如上表所示，比例视为概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响）

（1）本次数学考试中甲同学某题（满分12分）的解答属于“类解答”，求甲同学此题得分的分布列及数学期望

（2）本次数学考试有6个解答题，每题满分均为12分，同学乙6个题的解答均为“类解答”，记该同学6个题中得分为的题目个数为，，，计算事件“”的概率.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）随机变量的可能取值为9、9.5、10、10.5、11，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量分布列和数学期望．

（2）由第一问可知，，，，，依次为9，9.5，10，10.5，11，事件“”的概率等于事件“”的概率，即得分为9.5，10共两道的概率，由此能求出结果．

【小问1详解】

随机变量的可能取值为9、9.5、10、10.5、11，

设一评、二评、仲裁所打分数分别为，，，

，，，，，，

，

，

，

，，，，，，，

，

，，，，，

，

所以随机变量分布列如下：

所以数学期望

【小问2详解】

由第一问可知，，，，，依次为9，9.5，10，10.5，11，

计算事件“”的概率等于计算事件“”的概率，即得分为9.5，10共两道的概率，

， “” “ “

“，” “， “ “， “

．