2022-2023学年内蒙古兴安盟乌兰浩特十三中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年内蒙古兴安盟乌兰浩特十三中九年级第一学期开学数学试卷

一、选择题（36分）

1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣2

2．下列运算正确的是（　　）

A．﹣＝ B．＝2 

C．﹣＝ D．＝2﹣

3．在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）

A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种

6．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（　　）

A．平均数是4.4 B．中位数是4.5 

C．众数是4 D．方差是9.2

7．一位经销商计划进一批“运动鞋”，他到一所学校对初二的100名男生的鞋号进行了调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

8．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B． 

C． D．

9．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（　　）

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3

10．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　）

A．3 B．5 C．2 D．

11．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

12．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

二、填空题（18分）

13．我市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是 　        　．

14．已知直线y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是 　        　．

15．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4…的等边三角形（如图所示）．根据图形推断每个等边三角形卡片总数S与边长n的关系式 　            　．

16．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是　     　．

17．如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C'的位置时，BC'与AD交于E，若AB＝6cm，BC＝8cm，则重叠部分△BED的面积为 　                  　．（答案用假分数表示）

18．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　     　．

三、简答题

19．计算题

（1）（﹣1）2﹣（﹣2）；

（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．

20．在平面直角坐标系中

（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）

（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；

（3）求△ABC的面积．

21．如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．

（1）直接写出点M的坐标为 　         　；

（2）求直线MN的函数解析式；

（3）若点A的横坐标为﹣1，将直线MN平移过点C，求平移后的直线解析式．

22．已知：如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．

求证：GF＝GC．

23．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图一：

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：

图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）补全图一和图二；

（2）请计算每名候选人的得票数；

（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？

24．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

25．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．

（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点A，求点A坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

26．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动．

（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．

（2）若BD＝10cm，AC＝16cm，当运动时间t为多少时，四边形DEBF为矩形．

参考答案

一、选择题（36分）

1．在函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥﹣2且x≠0 B．x≤2且x≠0 C．x≠0 D．x≤﹣2

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

解：根据题意得：x+2≥0且3x≠0，

解得：x≥﹣2且x≠0．

故选：A．

【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

2．下列运算正确的是（　　）

A．﹣＝ B．＝2 

C．﹣＝ D．＝2﹣

【分析】根据合并同类二次根式的法则、二次根式的性质把各个选项进行计算，判断即可．

解：﹣＝2﹣＝，A正确；

＝＝，B错误；

﹣不能合并，C错误；

＝﹣2，D错误，

故选：A．

【点评】本题考查的是二次根式的加减法以及二次根式的化简，掌握二次根式的加减运算法则、灵活运用二次根式的性质：＝|a|是解题的关键．

3．在一次函数y＝﹣5ax+b（a≠0）中，y的值随x值的增大而增大，且ab＞0，则点A（a，b）在（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

【分析】根据一次函数的增减性，确定自变量x的系数﹣5a的符号，再根据ab＞0，确定b的符号，从而确定点A（a，b）所在的象限．

解：∵在一次函数y＝﹣5ax+b中，y随x的增大而增大，

∴﹣5a＞0，

∴a＜0．

∵ab＞0，

∴a，b同号，

∴b＜0．

∴点A（a，b）在第三象限．

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

4．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解：A、72+242＝252，152+202≠242，故A不正确；

B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；

C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；

D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．

故选：C．

【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

5．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）

A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种

【分析】根据平行四边形的中心对称性，可知这样的折纸方法有无数种．

解：因为平行四边形是中心对称图形，任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分四边形的面积，则这样的折纸方法共有无数种．

故选：D．

【点评】此题主要考查平行四边形是中心对称图形的性质．平行四边形的两条对角线交于一点，这个点是平行四边形的中心，也是两条对角线的中点，经过中心的任意一条直线可将平行四边形分成完全重合的两个图形．

6．一组数据2，4，5，6，5．对该组数据描述正确的是（　　）

A．平均数是4.4 B．中位数是4.5 

C．众数是4 D．方差是9.2

【分析】将数据按照从小到大重新排列，再根据众数、中位数、算术平均数的定义计算，最后利用方差的概念计算可得．

解：将这组数据重新排列为2，4，5，5，6，

所以这组数据的众数为5，故选项C不合题意；

中位数为5，故选项B不合题意；

平均数为＝4.4，故选项A符合题意；

方差为×[（2﹣4.4）2+（4﹣4.4）2+2×（5﹣4.4）2+（6﹣4.4）2]＝1.84，故选项D不合题意；

故选：A．

【点评】本题主要考查方差，众数，中位数，算术平均数，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．

7．一位经销商计划进一批“运动鞋”，他到一所学校对初二的100名男生的鞋号进行了调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（　　）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小．

解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数．

故选：C．

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．

8．已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x的取值范围，然后选择即可．

解：由题意得，2x+y＝10，

所以，y＝﹣2x+10，

由三角形的三边关系得，，

解不等式①得，x＞2.5，

解不等式②得，x＜5，

所以，不等式组的解集是2.5＜x＜5，

正确反映y与x之间函数关系的图象是D选项图象．

故选：D．

【点评】本题考查了一次函数图象，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，难点在于利用三角形的三边关系求自变量的取值范围．

9．如图，函数y＝2x和y＝ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＞ax+4的解集为（　　）

A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3

【分析】首先把（m，3）代入y＝2x求得m的值，然后根据函数的图象即可写出不等式的解集．

解：把A（m，3）代入y＝2x，得：2m＝3，解得：m＝；

根据图象可得：不等式2x＞ax+4的解集是：x＞．

故选：C．

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键．

10．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　）

A．3 B．5 C．2 D．

【分析】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．

解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），

∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴DE'＝OC＝3，

即PD+PE的最小值是3，

故选：A．

【点评】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．

11．甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表．如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的同学参赛．

解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．

故选：B．

【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

12．已知xy＞0，化简二次根式x的正确结果为（　　）

A． B． C．﹣ D．﹣

【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式．

解：∵xy＞0，

∴x和y同号，

∵x的中，≥0，

∴y＜0，

∴x＜0，y＜0，

∴x＝﹣＝﹣，

故选：D．

【点评】此题主要考查了二次根式的化简，关键是掌握二次根式的被开方数为非负数．

二、填空题（18分）

13．我市测得一周PM2.5的日均值（单位：微克/立方米）如下：50，40，75，50，37，50，40，这组数据的中位数和众数分别是 　50、50　．

【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．

解：从小到大排列此数据为：37、40、40、50、50、50、75，

数据50出现了三次最多，所以众数为50；

50处在第4位是中位数．

故答案为：50、50．

【点评】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

14．已知直线y＝（k﹣2）x+k不经过第三象限，则k的取值范围是 　0≤k≤2　．

【分析】根据一次函数y＝（k﹣2）x+k图象在坐标平面内的位置关系先确定k的取值范围，从而求解．

解：由一次函数y＝（k﹣2）x+k的图象不经过第三象限，

则经过第二、四象限或第一、二、四象限，

只经过第二、四象限，则k＝0．

又由k＜0时，直线必经过第二、四象限，故知k﹣2＜0，即k＜2．

再由图象过第一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以k＞0．

当k﹣2＝0，即k＝2时，y＝2，这时是平行于x轴的一条直线，

故k的取值范围是0≤k≤2．

故答案为：0≤k≤2．

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx+b（k≠0），当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方．

15．有边长为1的等边三角形卡片若干张，使用这些三角形卡片拼出边长分别是2，3，4…的等边三角形（如图所示）．根据图形推断每个等边三角形卡片总数S与边长n的关系式 　s＝n2（n≥1）　．

【分析】此类题结合图形，首先至少计算三个具体值，从中发现规律．

解：图1中，当n＝2时，S＝4．图2中，当n＝3时，S＝9．…．依此类推，总数S与边长n的关系式S＝n2（n≥1）．

【点评】此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和归纳能力．

16．如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是　24　．

【分析】先根据E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点得出AH＝DH＝BF＝CF，AE＝BE＝DG＝CG，故可得出△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，根据S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△AEH即可得出结论．

解：∵E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，

∴AH＝DH＝BF＝CF＝8，AE＝BE＝DG＝CG＝3．

在△AEH与△DGH中，

∵，

∴△AEH≌△DGH（SAS）．

同理可得△AEH≌△DGH≌△CGF≌△BEF，

∴S四边形EFGH＝S矩形ABCD﹣4S△AEH＝6×8﹣4××3×4＝48﹣24＝24．

故答案为：24．

【点评】本题考查的是中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键．

17．如图，把长方形ABCD沿BD对折，使C点落在C'的位置时，BC'与AD交于E，若AB＝6cm，BC＝8cm，则重叠部分△BED的面积为 　cm2　．（答案用假分数表示）

【分析】由折叠可知∠CBD＝∠C′BD，∠C＝∠C′＝90°，CD＝C′D＝6cm，BC＝BC′＝8cm，利用平行线的性质可得∠CBD＝∠EDB，进而可得∠EDB＝∠EBD，则BE＝DE，设BE＝DE＝x cm，则C′E＝（8﹣x）cm，在Rt△C′DE中，利用勾股定理建立方程，解得DE＝cm，再利用三角形面积公式计算即可．

解：∵四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，BC＝8cm，

∴AB＝CD＝6cm，AD∥BC，∠C＝90°，

由折叠可知，∠CBD＝∠C′BD，∠C＝∠C′＝90°，CD＝C′D＝6cm，BC＝BC′＝8cm，

∵AD∥BC，

∴∠CBD＝∠EDB，

∴∠EDB＝∠C′BD，即∠EDB＝∠EBD，

∴BE＝DE，

设BE＝DE＝x cm，则C′E＝BC′﹣BE＝（8﹣x）cm，

在Rt△C′DE中，C′E2+C′D2＝DE2，

∴（8﹣x）2+62＝x2，

解得：x＝，

∴DE＝cm，

∴＝＝＝（cm2）．

故答案为：cm2．

【点评】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟知勾股定理之图形折叠模型是解题关键．

18．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，BE＝，则AB的长是 　12　．

【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定理可求AB的长．

解：如图，延长BE交AD于点F，

∵点E是DC的中点，

∴DE＝CE，

∵AB⊥BC，AB⊥AD，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠BCE，

∵∠FED＝∠BEC，

∴△BCE≌△FDE（ASA），

∴DF＝BC＝5，BE＝EF，

∴BF＝2BE＝13，

在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．

故答案为：12．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

三、简答题

19．计算题

（1）（﹣1）2﹣（﹣2）；

（2）（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．

【分析】（1）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；

（2）先根据二次根式的乘法法则和负整数指数幂的意义运算，然后化简后合并即可．

解：（1）原式＝2﹣2+1﹣+

＝2﹣2+1﹣2+

＝1﹣；

（2）原式＝﹣+2﹣﹣2

＝﹣2+2﹣﹣2

＝﹣3．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．

20．在平面直角坐标系中

（1）在图中描出A（﹣2，﹣2），B（﹣8，6），C（2，1）

（2）连接AB、BC、AC，试判断△ABC的形状；

（3）求△ABC的面积．

【分析】（1）根据题目中给出的点的坐标描出点；

（2）连接AB、BC、AC，利用勾股定理结合网格算出AB、BC、AC的长，根据数据可得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形；

（3）根据三角形面积公式计算即可．

解：（1）如图所示：

（2）AB＝＝10，

AC＝＝5，

CB＝＝5，

∵52+102＝（5）2，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴∠A＝90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）△ABC的面积＝AB•AC＝10×5＝25．

【点评】此题主要考查了描点，勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是正确画出图形，算出AB、BC、AC的长．

21．如图，点N（0，6），点M在x轴负半轴上，ON＝3OM，A为线段MN上一点，AB⊥x轴，垂足为点B，AC⊥y轴，垂足为点C．

（1）直接写出点M的坐标为 　（﹣2，0）　；

（2）求直线MN的函数解析式；

（3）若点A的横坐标为﹣1，将直线MN平移过点C，求平移后的直线解析式．

【分析】（1）由点N（0，6），得出ON＝6，再由ON＝3OM，求得OM＝2，从而得出点M的坐标；

（2）设出直线MN的解析式为：y＝kx+b，代入M、N两点求得答案即可；

（3）根据题意求得A的纵坐标，代入（2）求得的解析式建立方程，求得答案即可．

解：（1）∵N（0，6），ON＝3OM，

∴OM＝2，

∴M（﹣2，0）；

故答案为（﹣2，0）；

（2）设直线MN的函数解析式为y＝kx+b，把点（﹣2，0）和（0，6）分别代入上式解得   k＝3   b＝6

∴直线MN的函数解析式为：y＝3x+6

（3）把x＝﹣1代入y＝3x+6，得y＝3×（﹣1）+6＝3

即点A（﹣1，3），所以点C（0，3）

∴由平移后两直线的k相同可得，平移后的直线为y＝3x+3

【点评】此题考查待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是本题的关键．

22．已知：如图，在▱ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．

求证：GF＝GC．

【分析】取BE的中点H，连接FH、CH，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFHC为平行四边形即可．

【解答】证明：如图，取BE的中点H，连接FH、CH．

∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，

∴FH∥AB且FH＝AB，

又∵点E是DC的中点，

∴EC＝DC，

∵AB＝DC

∴FH＝EC

又∵AB∥DC，

∴FH∥EC．

∴四边形EFHC是平行四边形，

∴GF＝GC．

【点评】本题综合运用了三角形的中位线的判定和性质，平行四边形的判定和性质使问题得到解决，而其中通过作BE的中点H构造平行四边形EFHC是使问题获得证明的关键．

23．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人（不设弃权票），选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图一：

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：

图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．

请你根据以上信息解答下列问题：

（1）补全图一和图二；

（2）请计算每名候选人的得票数；

（3）若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？

【分析】（1）由图1可看出，乙的得票所占的百分比为1减去“丙+甲+其他”的百分比；

（2）由题意可分别求得三人的得票数，甲的得票数＝200×34%，乙的得票数＝200×30%，丙的得票数＝200×28%；

（3）由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论．

解：（1）

（2）甲的票数是：200×34%＝68（票），

乙的票数是：200×30%＝60（票），

丙的票数是：200×28%＝56（票）；

（3）甲的平均成绩：，

乙的平均成绩：，

丙的平均成绩：，

∵乙的平均成绩最高，

∴应该录取乙．

【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及加权平均数的求法．重点考查了理解统计图的能力和平均数的计算能力．

24．如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若CF＝2，∠FAC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．

【分析】（1）由题意可得△AFD≌△CED（AAS），则AF＝EC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形AECF是平行四边形；又EF垂直平分AC，根据垂直平分线的性质可得AF＝CF，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可得结论；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，根据题意可得∠AEG＝60°，AE＝2，则BG＝AG＝，AB＝BG＝．

解：（1）证明：如图，

在△ABC中，点D是AC的中点，

∴AD＝DC，

∵AF∥BC，

∴∠FAD＝∠ECD，∠AFD＝∠CED，

∴△AFD≌△CED（AAS），

∴AF＝EC，

∴四边形AECF是平行四边形，

又EF⊥AC，点D是AC的中点，即EF垂直平分AC，

∴平行四边形AECF是菱形．

（2）如图，过点A作AG⊥BC于点G，

由（1）知四边形AECF是菱形，又CF＝2，∠FAC＝30°，

∴AF∥EC，AE＝CF＝2，∠FAE＝2∠FAC＝60°，

∴∠AEB＝∠FAE＝60°，

∵AG⊥BC，

∴∠AGB＝∠AGE＝90°，

∴∠GAE＝30°，

∴GE＝AE＝1，AG＝GE＝，

∵∠B＝45°，

∴∠GAB＝∠B＝45°，

∴BG＝AG＝，

∴AB＝BG＝．

【点评】本题主要考查菱形的性质与判定，含30°角的直角三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质与判定等内容，根据45°，30°等特殊角作出正确的垂线是解题关键．

25．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价8.5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折．

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象如图所示．

（1）分别求y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）两图象交于点A，求点A坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别写出y甲，y乙关于x的函数关系式；

（2）根据（1）中的结果和题意，令0.85x＝0.7x+90，求出x的值，再求出相应的y的值，即可得到点A的坐标．

（3）根据函数图象和（2）中点A的坐标，可以写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

解：（1）由题意可得，

y甲＝0.85x，

当0≤x≤300时，y乙＝x，

当x＞300时，y乙＝300+（x﹣300）×0.7＝0.7x+90，

则y乙＝；

（2）令0.85x＝0.7x+90，

解得x＝600，

将x＝600代入0.85x得，0.85×600＝510，

即点A的坐标为（600，510）；

（3）由图象可得，

当x＜600时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；当x＝600时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；当x＞600时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算．

【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

26．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动．

（1）四边形DEBF是平行四边形吗？说明你的理由．

（2）若BD＝10cm，AC＝16cm，当运动时间t为多少时，四边形DEBF为矩形．

【分析】（1）由平行四边形ABCD中，可得OA＝OC，OB＝OD，又由若E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动，易得AE＝CF，即可得OE＝OF，则可判定四边形DEBF是平行四边形；

（2）由四边形DEBF是平行四边形，可得当EF＝BD时，四边形DEBF为矩形，即可得方程：16﹣t﹣t＝10或16﹣t+16﹣t﹣16＝10，

，继而求得答案．

解：（1）四边形DEBF是平行四边形．

理由：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，OB＝OD，

∵E、F是AC上两动点，E、F分别从A、C两点同时以1cm/s的相同的速度向C、A运动，

∴AE＝CF，

∴OE＝OF，

∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）根据题意得：AE＝CF＝tcm或16﹣tcm，

∵四边形DEBF是平行四边形，

∴当EF＝BD时，四边形DEBF为矩形．

即AC﹣AE﹣CF＝BD或AE+CF﹣AC＝BD，

∴16﹣t﹣t＝10或16﹣t+16﹣t﹣16＝10，

解得：t＝3和13

∴当运动时间t为3s或13s时，四边形DEBF为矩形．

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．