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2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）第三次联考数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县九年级（上）第三次联考数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县九年级第一学期第三次联考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．ax2﹣4x＝0
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4
3．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
4．若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
6．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA、OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
7．一组数：3，5，x，2，3的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）数学试卷第4页（共4页）
9．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为 ．
10．若＝＝≠0，则＝ ．
11．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 ．
12．二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，当x取互为相反数的任意两个数时，则对应的函数值y总相等，则a的值为 ．
13．二次函数y＝x2+4的顶点坐标是 ．
14．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝ °．
15．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是 （只填序号）．
16．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3cm，DC＝5cm，△ABC的周长22cm，那么AB的长为 cm．
17．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为 ．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3（x+1）2＝12．
20．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
22．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为 ．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
25．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）降价后，每件盈利 元，每天可销售 件；（用含x的代数式填空）
（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．
（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．
27．问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
28．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．ax2﹣4x＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．当a＝0时，方程ax2﹣4x＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4
【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
解：扇形的弧长＝＝2π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键．
3．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；
B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；
D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
解：抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
y＝x2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y＝（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA、OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB＝∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．一组数：3，5，x，2，3的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，据此先求得x的值；再将数据按从小到大排列，即可得到中位数．
解：∵数据3，5，x，2，3的平均数是4，
∴（3+5+x+2+3）÷5＝4，
解得x＝7，
∴数据按从小到大顺序排列为2，3，3，5，7，所以中位数是3．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接DO，OF，然后SSS，可以判定△DAO≌△DFO，从而可以得到∠DFO的度数，再根据折叠的性质可知∠DFE＝90°，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，本题得以解决．
解：连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中，
，
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝2+x，BE＝4﹣x，OB＝2，
∵∠OBE＝90°，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）数学试卷第4页（共4页）
9．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为 20 ．
【分析】设矩形的长和宽分别为x1、x2，矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系得到x1•x2＝20，然后利用矩形的性质易求得到它的面积．
解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，
根据题意得x1•x2＝20，
所以矩形的面积＝x1•x2＝20．
故答案为20．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝；也考查了矩形的性质．
10．若＝＝≠0，则＝ ．
【分析】设，则x＝2a，y＝3a，z＝4a，再代入即可解答．
解：设，
则x＝2a，y＝3a，z＝4a，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是设，求出x＝2a，y＝3a，z＝4a．
11．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 60π ．
【分析】利用圆锥的底面半径为6，母线长为10，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．
故答案为：60π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
12．二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，当x取互为相反数的任意两个数时，则对应的函数值y总相等，则a的值为 ﹣3 ．
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值．
解：∵二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则﹣＝0，
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
13．二次函数y＝x2+4的顶点坐标是 （0，4） ．
【分析】直接利用抛物线顶点式的特殊形式可知顶点坐标是．
解：∵y＝x2+4
∴根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）知道顶点坐标是（0，4）
故填空答案：（0，4）．
【点评】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．
14．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝ 132 °．
【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解决问题．
解：如图：
由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，
故答案为：132．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是 ①，②，③ （只填序号）．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．
故相似的条件是①，②，③．
【点评】考查对相似三角形的判定方法的掌握情况．
16．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3cm，DC＝5cm，△ABC的周长22cm，那么AB的长为 6 cm．
【分析】根据切线长定理得出BD＝BE＝3cm，CD＝CF＝5cm，AE＝AF，求出AE的长，则可得出答案．
解：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝CD+BD＝8cm，
∴BD＝BE＝3cm，CD＝CF＝5cm，AE＝AF，
∵△ABC的周长22cm，
∴AB+AC＝22﹣8＝14（cm），
∴EA+BE+CF+AF＝14cm，
∴AE+AF＝6cm，
∴AE＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝3+3＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出AD＝AF、BD＝BE、CF＝CE，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为 5≤y≤8 ．
【分析】先将解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质求出其最大高度，再分别求出x＝1、x＝6时y的值，从而得出高度y的取值范围．
解：∵y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣3）2+8，
∴当x＝3时，y取得最大值，最高度为8米，
当x＝1时，y＝；当x＝6时，y＝5；
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5≤y≤8；
故答案为：5≤y≤8．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将抛物线的一般式转化为顶点式，从而求出其最大高度及二次函数的性质．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 3﹣3 ．
【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的 ，依据△ACQ中，AQ＝3，即可解决问题．
解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．
∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC＝45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB＝6，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝3，
∴△ACQ中，AQ＝3，
∴BQ＝＝3，
∵BD≥BQ﹣DQ，
∴BD的最小值为3﹣3．
故答案为3﹣3．
【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3（x+1）2＝12．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3（x+1）2＝12，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝﹣3代入原方程可求出m的值，再利用两根之和等于﹣，即可求出方程的另一根．
解：（1）∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣2）＞0，
∴m＜3，
∴实数m的取值范围为m＜3．
（2）将x＝﹣3代入原方程，得：（﹣3）2+2×（﹣3）+m﹣2＝0，
∴m＝﹣1．
方程的另一根为﹣2﹣（﹣3）＝1，
∴m的值为﹣1，方程的另一根为1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
【分析】（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数；
（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200即可．
解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：＝＝3.3次，
则这组样本数据的平均数是3.3次．
∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次，
∴这组数据的中位数是3次；
（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次，
∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次，
3.3×1200＝3960．
∴该校学生共参加活动约为3960次．
【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念可知是不可能事件；
（2）求概率要画出树状图分析后得出．
解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为 （7，0） ．
【分析】①线段AB，BC的垂直平分线的交点O为△ABC的外接圆的圆心；
②利用圆周角定理作出点D，可得结论．
解：①如图，⊙O即为所求；
②如图，点D即为所求，D（7，0）．
故答案为：（7，0）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，圆周角定理，三角形的外心等知识，解题的关键是掌握三角形的外心的定义，属于中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
【分析】（1）（2）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
（2）∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
25．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）降价后，每件盈利 （40﹣x） 元，每天可销售 （20+2x） 件；（用含x的代数式填空）
（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．
【分析】（1）利用每件盈利＝销售价格﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量＝20+2×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格．
解：（1）若每件童装降价x元，则每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件，
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）；
（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵为了增加利润，减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．
（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，即可证明结论；
（2）用m表示出B、D两点的坐标，求出点C的坐标，用m表示出BC2，BD2，CD2，根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，得出∠BCD＝90°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，
∴方程﹣x2+2mx+1＝0有两个不同的实数解，
即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1，
∴对称轴的直线为，顶点D点的坐标为（m，m2+1），点C（0，1），
∵对称轴的直线x＝m与x轴相交于点B，
∴B（m，0），
∴BC2＝m2+12＝m2+1，BD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，CD2＝m2+（m2+1﹣1）2＝m4+m2，
∵BC2+CD2＝m2+1+m4+m2＝m4+2m2+1，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴BC⊥AD．
【点评】本题主要考查了根的判别式，勾股定理及逆定理的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理，准确进行计算．
27．问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA ＝ PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
【分析】（1）画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，可求PA＝PB；
（2）由题意可得点O在以MN为直径的圆上，由（1）可知点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，由三角形的面积公式和勾股定理可求解；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，由垂径定理和矩形的性质可证四边形HEFG是矩形，可得S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，则当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，由直角三角形的性质和勾股定理可求EF2＝（2﹣）R2，即可求解．
解：（1）如图，画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，
∵点P是优弧AB的中点，
∴＝，
∴AP＝BP，
故答案为：＝；
（2）∵∠AOB＝90°，
∴点O在以MN为直径的圆上，
如图所示，
由（1）可知：点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，此时OM＝ON，
∵MN＝6，
∴OM2+ON2＝MN2，
∴OM2＝18，
∴△MON的面积的最大值＝×OM×ON＝9；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，
∴DH＝HE，OC＝OF，
∵四边形CDEF是矩形，
∴DE∥CF，∠DEF＝∠EFC＝90°，
∴∠OGF＝∠OHE＝90°，
∴四边形HEFG是矩形，
∴S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∵S△EFO＝×EF×HE，
∴S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∴当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，
由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，
∵CO＝OF，∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
又∵∠OGF＝90°，
∴∠GOF＝30°，
∴GF＝OF，GO＝GF＝OF，
∵OH2+HE2＝OE2，
∴（OF+EF）2+（OF）2＝R2，
∴EF2＝（2﹣）R2，
∴S矩形CDEF＝4S△OEF＝4××HE×EF＝4×××EF×EF＝（2﹣）R2．
∴矩形草坪的面积的最大值为（2﹣）R2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关 性质，矩形的判定和性质，等边三角形判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
28．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，
∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，
设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，
∵OE＝3，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，
∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），
∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x+4）＝x2+x；
（2）∵CP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
∵BD＝，DE＝＝，
∴BD＝DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP＝EQ，
∴5﹣2t＝t，
∴t＝；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为＝﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴＝﹣1，解得m＝2，
又M点在抛物线上，
∴y＝×22+×2＝16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为＝﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴＝﹣3，解得m＝﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
2022-2023学年江苏省宿迁市沭阳县九年级第一学期第三次联考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．ax2﹣4x＝0
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4
3．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
4．若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
6．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA、OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
7．一组数：3，5，x，2，3的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）数学试卷第4页（共4页）
9．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为 ．
10．若＝＝≠0，则＝ ．
11．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 ．
12．二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，当x取互为相反数的任意两个数时，则对应的函数值y总相等，则a的值为 ．
13．二次函数y＝x2+4的顶点坐标是 ．
14．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝ °．
15．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是 （只填序号）．
16．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3cm，DC＝5cm，△ABC的周长22cm，那么AB的长为 cm．
17．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为 ．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3（x+1）2＝12．
20．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
22．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为 ．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
25．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）降价后，每件盈利 元，每天可销售 件；（用含x的代数式填空）
（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．
（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．
27．问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
28．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分．每个小题只有一个选项是正确的，请把正
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．2x2﹣x＝1 C．3x3＝1 D．ax2﹣4x＝0
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．当a＝0时，方程ax2﹣4x＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一元未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．已知圆的半径为3，扇形的圆心角为120°，则扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4
【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
解：扇形的弧长＝＝2π，
故选：B．
【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l＝是解题的关键．
3．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）
A．图象的开口向下
B．图象的顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）
【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．
解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；
B、顶点坐标是（1，2），正确；
C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；
D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
4．若抛物线y＝（x+4）2﹣1平移得到y＝x2，则必须（ ）
A．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位
B．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位
C．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位
D．先向右平移1个单位，再向上平移4个单位
【分析】确定出两抛物线的顶点坐标，再根据顶点的变化确定平移方法．
解：抛物线y＝（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），
y＝x2的顶点坐标为（0，0），
抛物线y＝（x+4）2﹣1先向右平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝x2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
5．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．18° B．36° C．54° D．72°
【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，
∴∠BAC＝∠BOC＝36°．
故选：B．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA、OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．75°
【分析】由“AC与⊙O相切于点A“得出AC⊥OA，根据等边对等角得出∠OAB＝∠OBA．求出∠OAC及∠OAB即可解决问题．
解：∵AC与⊙O相切于点A，
∴AC⊥OA，
∴∠OAC＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA．
∵∠O＝130°，
∴∠OAB＝（180°﹣130°）＝25°，
∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝90°﹣25°＝65°．
故选：C．
【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．一组数：3，5，x，2，3的平均数是4，则这组数据的中位数是（ ）
A．2 B．3 C．3.5 D．4
【分析】平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数，据此先求得x的值；再将数据按从小到大排列，即可得到中位数．
解：∵数据3，5，x，2，3的平均数是4，
∴（3+5+x+2+3）÷5＝4，
解得x＝7，
∴数据按从小到大顺序排列为2，3，3，5，7，所以中位数是3．
故选：B．
【点评】本题考查了中位数、平均数，将数据从小到大依次排列是解题的关键．
8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O上的点F处，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】连接DO，OF，然后SSS，可以判定△DAO≌△DFO，从而可以得到∠DFO的度数，再根据折叠的性质可知∠DFE＝90°，从而可以得到点O、F、E三点共线，然后根据勾股定理，即可求得CE的长，本题得以解决．
解：连接DO，OF，
∵四边形ABCD是正方形，将△DCE沿DE翻折得到△DFE，
∴DC＝DA，DC＝DF，
∴DA＝DF，
在△DAO和△DFO中，
，
∴△DAO≌△DFO（SSS），
∴∠A＝∠DFO，
∵∠A＝90°，
∴∠DFO＝90°，
又∵∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFO＝∠DFE，
∴点O、F、E三点共线，
设CE＝x，则OE＝OF+EF＝2+x，BE＝4﹣x，OB＝2，
∵∠OBE＝90°，
∴22+（4﹣x）2＝（2+x）2，
解得，x＝，
即CE的长为，
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分．请把正确答案填在答题纸相应的横线上）数学试卷第4页（共4页）
9．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为 20 ．
【分析】设矩形的长和宽分别为x1、x2，矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系得到x1•x2＝20，然后利用矩形的性质易求得到它的面积．
解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，
根据题意得x1•x2＝20，
所以矩形的面积＝x1•x2＝20．
故答案为20．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝；也考查了矩形的性质．
10．若＝＝≠0，则＝ ．
【分析】设，则x＝2a，y＝3a，z＝4a，再代入即可解答．
解：设，
则x＝2a，y＝3a，z＝4a，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，解决本题的关键是设，求出x＝2a，y＝3a，z＝4a．
11．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为 60π ．
【分析】利用圆锥的底面半径为6，母线长为10，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
解：依题意知母线长＝10，底面半径r＝6，
则由圆锥的侧面积公式得S＝πrl＝π×10×6＝60π．
故答案为：60π．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
12．二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，当x取互为相反数的任意两个数时，则对应的函数值y总相等，则a的值为 ﹣3 ．
【分析】根据题意可得二次函数图象的对称轴为y轴，从而求出a值．
解：∵二次函数y＝ax2+（a+3）x+1，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，
则﹣＝0，
解得：a＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是得出二次函数图象的对称轴为y轴．
13．二次函数y＝x2+4的顶点坐标是 （0，4） ．
【分析】直接利用抛物线顶点式的特殊形式可知顶点坐标是．
解：∵y＝x2+4
∴根据y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）知道顶点坐标是（0，4）
故填空答案：（0，4）．
【点评】主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．
14．一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠1+∠2＝ 132 °．
【分析】利用正多边形的性质求出∠AOE、∠BOF、∠2，即可解决问题．
解：如图：
由题意：∠AOE＝108°，∠BOF＝120°，∠OEF＝72°，∠OFE＝60°，
∴∠2＝180°﹣72°﹣60°＝48°，
∴∠1＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°，
∴∠1+∠2＝84°+48°＝132°，
故答案为：132．
【点评】本题考查正多边形与圆，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15．如图，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC与△ACB相似的条件是 ①，②，③ （只填序号）．
【分析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，做题即可．
解：前三项正确，因为他们分别符合有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似．
故相似的条件是①，②，③．
【点评】考查对相似三角形的判定方法的掌握情况．
16．如图，△ABC的边与⊙O分别相切于点D，E，F，且BD＝3cm，DC＝5cm，△ABC的周长22cm，那么AB的长为 6 cm．
【分析】根据切线长定理得出BD＝BE＝3cm，CD＝CF＝5cm，AE＝AF，求出AE的长，则可得出答案．
解：∵⊙O与△ABC的三边AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，BC＝CD+BD＝8cm，
∴BD＝BE＝3cm，CD＝CF＝5cm，AE＝AF，
∵△ABC的周长22cm，
∴AB+AC＝22﹣8＝14（cm），
∴EA+BE+CF+AF＝14cm，
∴AE+AF＝6cm，
∴AE＝3cm，
∴AB＝AE+BE＝3+3＝6cm，
故答案为：6．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出AD＝AF、BD＝BE、CF＝CE，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17．已知烟花弹爆炸后某个残片的空中飞行轨迹可以看成为二次函数y＝﹣x2+2x+5图象的一部分，其中x为爆炸后经过的时间（秒），y为残片离地面的高度（米），请问在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为 5≤y≤8 ．
【分析】先将解析式配方成顶点式，利用二次函数的性质求出其最大高度，再分别求出x＝1、x＝6时y的值，从而得出高度y的取值范围．
解：∵y＝﹣x2+2x+5＝﹣（x﹣3）2+8，
∴当x＝3时，y取得最大值，最高度为8米，
当x＝1时，y＝；当x＝6时，y＝5；
∴在爆炸后1秒到6秒之间，残片距离地面的高度范围为5≤y≤8；
故答案为：5≤y≤8．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将抛物线的一般式转化为顶点式，从而求出其最大高度及二次函数的性质．
18．已知以AB为直径的圆O，C为AB弧的中点，P为BC弧上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为 3﹣3 ．
【分析】以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，依据∠ADC＝135°，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的 ，依据△ACQ中，AQ＝3，即可解决问题．
解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC＝90°，连接AC，BC，BQ．
∵⊙O的直径为AB，C为的中点，
∴∠APC＝45°，
又∵CD⊥CP，
∴∠DCP＝90°，
∴∠PDC＝45°，∠ADC＝135°，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的，
又∵AB＝6，C为的中点，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴AC＝3，
∴△ACQ中，AQ＝3，
∴BQ＝＝3，
∵BD≥BQ﹣DQ，
∴BD的最小值为3﹣3．
故答案为3﹣3．
【点评】本题考查了轨迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理以及弧长的计算，正确寻找点D的运动轨迹是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共10题，满分96分，请在答题纸的指定区域内作答，解答时应写出必要文字说明、证明或演算步骤）
19．解方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）3（x+1）2＝12．
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用直接开平方法解方程即可．
解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
x2﹣2x+1＝3，
（x﹣1）2＝3，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）3（x+1）2＝12，
（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．已知关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；
（2）当该方程的一个根为﹣3时，求m的值及方程的另一根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝﹣3代入原方程可求出m的值，再利用两根之和等于﹣，即可求出方程的另一根．
解：（1）∵关于x的方程x2+2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（m﹣2）＞0，
∴m＜3，
∴实数m的取值范围为m＜3．
（2）将x＝﹣3代入原方程，得：（﹣3）2+2×（﹣3）+m﹣2＝0，
∴m＝﹣1．
方程的另一根为﹣2﹣（﹣3）＝1，
∴m的值为﹣1，方程的另一根为1．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记“两根之和等于﹣，两根之积等于”是解题的关键．
21．在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如图．
（Ⅰ）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅱ）根据样本数据，估算该校1200名学生共参加了多少次活动？
【分析】（Ⅰ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数；
（Ⅱ）利用样本估计总体的方法，用样本中的平均数×1200即可．
解：（Ⅰ）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数是：＝＝3.3次，
则这组样本数据的平均数是3.3次．
∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是4次．
∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，＝3次，
∴这组数据的中位数是3次；
（Ⅱ）∵这组样本数据的平均数是3.3次，
∴估计全校1200人参加活动次数的总体平均数是3.3次，
3.3×1200＝3960．
∴该校学生共参加活动约为3960次．
【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
22．某小学学生较多，为了便于学生尽快就餐，师生约定：早餐一人一份，一份两样，一样一个，食堂师傅在窗口随机发放（发放的食品价格一样），食堂在某天早餐提供了猪肉包、面包、鸡蛋、油饼四样食品．
（1）按约定，“小李同学在该天早餐得到两个油饼”是 不可能 事件；（可能，必然，不可能）
（2）请用列表或树状图的方法，求出小张同学该天早餐刚好得到猪肉包和油饼的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念可知是不可能事件；
（2）求概率要画出树状图分析后得出．
解：（1）小李同学在该天早餐得到两个油饼”是不可能事件；
（2）树状图法
即小张同学得到猪肉包和油饼的概率为＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，7），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（3，0）．
①在图中作出△ABC的外接圆（保留必要的作图痕迹，不写作法）；
②若在x轴的正半轴上有一点D，且∠ACB＝∠ADB，则点D的坐标为 （7，0） ．
【分析】①线段AB，BC的垂直平分线的交点O为△ABC的外接圆的圆心；
②利用圆周角定理作出点D，可得结论．
解：①如图，⊙O即为所求；
②如图，点D即为所求，D（7，0）．
故答案为：（7，0）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，坐标与图形性质，圆周角定理，三角形的外心等知识，解题的关键是掌握三角形的外心的定义，属于中考常考题型．
24．如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC．
（1）如果AD＝7，DB＝3，EC＝2，那么AE的长是多少？
（2）如果AB＝10，AD＝6，EC＝3，那么AE的长是多少？
【分析】（1）（2）利用平行线分线段成比例定理求解即可．
解：（1）∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
（2）∵AB＝10，AD＝6，
∴BD＝10﹣6＝4，
∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
25．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了增加利润，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么可多售出2件，设每件童装降价x元．
（1）降价后，每件盈利 （40﹣x） 元，每天可销售 （20+2x） 件；（用含x的代数式填空）
（2）每件童装降价多少元时，每天盈利1200元．
【分析】（1）利用每件盈利＝销售价格﹣进价，即可用含x的代数式表示出每件盈利，利用每天的销售量＝20+2×降低的价格，即可用含x的代数式表示出每天的销售量；
（2）利用每天销售这种童装的利润＝每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“为了增加利润，减少库存”，即可得出每件童装降低的价格．
解：（1）若每件童装降价x元，则每件盈利（120﹣x﹣80）＝（40﹣x）元，每天可销售（20+2x）件，
故答案为：（40﹣x）；（20+2x）；
（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵为了增加利润，减少库存，
∴x＝20．
答：每件童装降价20元时，每天盈利1200元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出各数量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
26．已知二次函数y＝﹣x2+2mx+1．
（1）求证：无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点；
（2）若此函数图象的顶点为D点，与y轴的交点于点C，直线CD与x轴相交于点A，抛物线的对称轴与x轴相交于点B，求证：BC⊥AD．
【分析】（1）根据根的判别式得出Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，即可证明结论；
（2）用m表示出B、D两点的坐标，求出点C的坐标，用m表示出BC2，BD2，CD2，根据勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形，得出∠BCD＝90°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（2m）2﹣4×（﹣1）×1＝4m2+4＞0，
∴方程﹣x2+2mx+1＝0有两个不同的实数解，
即无论m取任何值，二次函数的图象与x轴总有两个不同的交点．
（2）证明：∵二次函数y＝﹣x2+2mx+1，
∴对称轴的直线为，顶点D点的坐标为（m，m2+1），点C（0，1），
∵对称轴的直线x＝m与x轴相交于点B，
∴B（m，0），
∴BC2＝m2+12＝m2+1，BD2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，CD2＝m2+（m2+1﹣1）2＝m4+m2，
∵BC2+CD2＝m2+1+m4+m2＝m4+2m2+1，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°，
∴BC⊥AD．
【点评】本题主要考查了根的判别式，勾股定理及逆定理的应用，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理及逆定理，准确进行计算．
27．问题情境：
（1）如图（1），A，B是⊙O上的两点，且AB为定值，请在⊙O上画出一点P，使△PAB面积最大，此时PA ＝ PB（填“＞”或“＜”或“＝”）；
（2）如图（2），∠AOB＝90°，M，N两点分别在OA，OB上运动，且MN＝6，试求△MON的面积的最大值；
问题解决：
（3）如图（3），一所中学的操场上有一块扇形空地AOB，其圆心角为60°，半径为R，学校的园艺师要在这块空地上修建一个矩形草坪CDEF，使其两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点分别在线段OA，OB上，试求矩形草坪的面积的最大值．
【分析】（1）画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，可求PA＝PB；
（2）由题意可得点O在以MN为直径的圆上，由（1）可知点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，由三角形的面积公式和勾股定理可求解；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，由垂径定理和矩形的性质可证四边形HEFG是矩形，可得S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，则当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，由直角三角形的性质和勾股定理可求EF2＝（2﹣）R2，即可求解．
解：（1）如图，画出点P是优弧AB的中点，此时点P到AB的距离最大，即△PAB面积最大，
∵点P是优弧AB的中点，
∴＝，
∴AP＝BP，
故答案为：＝；
（2）∵∠AOB＝90°，
∴点O在以MN为直径的圆上，
如图所示，
由（1）可知：点O是半圆的中点时，△MON的面积最大，此时OM＝ON，
∵MN＝6，
∴OM2+ON2＝MN2，
∴OM2＝18，
∴△MON的面积的最大值＝×OM×ON＝9；
（3）如图（3），过点O作OH⊥DE于H，交CF于点G，连接EO，
∴DH＝HE，OC＝OF，
∵四边形CDEF是矩形，
∴DE∥CF，∠DEF＝∠EFC＝90°，
∴∠OGF＝∠OHE＝90°，
∴四边形HEFG是矩形，
∴S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∵S△EFO＝×EF×HE，
∴S△EFO＝S矩形HEFG＝S矩形CDEF，
∴当△EFO的面积有最大值时，矩形CDEF的面积有最大值，
由（1）可知：当EF＝OF时，△EFO的面积有最大值，
∵CO＝OF，∠COF＝60°，
∴△COF是等边三角形，
又∵∠OGF＝90°，
∴∠GOF＝30°，
∴GF＝OF，GO＝GF＝OF，
∵OH2+HE2＝OE2，
∴（OF+EF）2+（OF）2＝R2，
∴EF2＝（2﹣）R2，
∴S矩形CDEF＝4S△OEF＝4××HE×EF＝4×××EF×EF＝（2﹣）R2．
∴矩形草坪的面积的最大值为（2﹣）R2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的有关 性质，矩形的判定和性质，等边三角形判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
28．如图，在矩形OABC中，OA＝5，AB＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在边OA上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求OE的长及经过O，D，C三点抛物线的解析式；
（2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，DP＝DQ；
（3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值；
（3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标．
解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，
∴在Rt△COE中，OE＝＝＝3，
设AD＝m，则DE＝BD＝4﹣m，
∵OE＝3，
∴AE＝5﹣3＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4﹣m）2，解得m＝，
∴D（﹣，﹣5），
∵C（﹣4，0），O（0，0），
∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4），
∴﹣5＝﹣a（﹣+4），解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x（x+4）＝x2+x；
（2）∵CP＝2t，
∴BP＝5﹣2t，
∵BD＝，DE＝＝，
∴BD＝DE，
在Rt△DBP和Rt△DEQ中，
，
∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL），
∴BP＝EQ，
∴5﹣2t＝t，
∴t＝；
（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
∴设N（﹣2，n），
又由题意可知C（﹣4，0），E（0，﹣3），
设M（m，y），
①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时，
则线段EN的中点横坐标为＝﹣1，线段CM中点横坐标为，
∵EN，CM互相平分，
∴＝﹣1，解得m＝2，
又M点在抛物线上，
∴y＝×22+×2＝16，
∴M（2，16）；
②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时，
则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为＝﹣3，
∵EM，CN互相平分，
∴＝﹣3，解得m＝﹣6，
又∵M点在抛物线上，
∴y＝×（﹣6）2+×（﹣6）＝16，
∴M（﹣6，16）；
③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时，
则M为抛物线的顶点，即M（﹣2，﹣）．
综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（﹣6，16）或（﹣2，﹣）．
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
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