专题21.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）

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专题21.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）【人教版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc23839" 【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】  PAGEREF _Toc23839 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc27420" 【题型2 一元二次方程的解的估算】  PAGEREF _Toc27420 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc18504" 【题型3 配方法的应用】  PAGEREF _Toc18504 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc15756" 【题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况】  PAGEREF _Toc15756 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4314" 【题型5 根据一元二次方程根的情况求参数】  PAGEREF _Toc4314 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc12628" 【题型6 一元二次方程的一般解法】  PAGEREF _Toc12628 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc9639" 【题型7 换元法解一元二次方程】  PAGEREF _Toc9639 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc6295" 【题型8 根的判别式与根与系数关系的综合】  PAGEREF _Toc6295 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7294" 【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc7294 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc21845" 【题型10 一元二次方程的实际应用】  PAGEREF _Toc21845 \h 8【题型1 一元二次方程的相关概念辨析】【例1】（2023春·湖南益阳·九年级校考期中）若方程(k−1)xk+1−2x=5是关于x的一元二次方程，则k= ．【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）下列方程中属于一元二次方程的是（     ）A．2(x+1)2=x+1 B．1x2+1x=0 C．xy−x2=2 D．x2+3x=x2−2【变式1-2】（2023春·河南开封·九年级统考期中）把方程x2+2（x-1）=3x化成一般形式，其一次项系数为 【变式1-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门外国语学校校考期末）两个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，其中a，b，c是常数，且a+c=0，如果x=2是方程ax2+bx+c=0的一个根，那么下列各数中，一定是方程cx2+bx+a=0的根的是（    ）A．2 B．−2 C．±1 D．1【题型2 一元二次方程的解的估算】【例2】（2023春·福建漳州·九年级校考期中）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表：分析表格中的数据，估计方程(x＋8)2－826＝0的一个正数解x的大致范围为（ ）A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9【变式2-1】（2023春·山东青岛·九年级统考期中）根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x﹣15=0必有一个解x满足（  　   ）A．﹣1x2．(1)求m的取值范围；(2)若m取负整数，求x1−3x2的值；(3)若该方程的两个实数根的平方和为18，求m的值．【题型9 一元二次方程中的阅读理解类问题】【例9】（2023春·湖南永州·九年级统考期末）阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程时，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式；求解二元一次方程组时，把它转化为一元一次方程求解；类似的，解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组求解；解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程求解；解分式方程，把它转化为整式方程求解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验。各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知，把复杂转化为简单。运用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如，一元三次方程x3+2x2−3x=0，可以通过因式分解把它转化为：x(x2+2x−3)=0,解方程x=0和x2+2x−3=0，可得方程x3+2x2−3x=0的解为x1=0,x2=−3,x3=1，(1)问题：方程2x3+10x2−12x=0的解是：x1=0,x2= ，x3= .(2)拓展：解方程组x2+y2=17①x−y=3②(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m，宽AB=8m，点P在AD上（AP>PD），小明把一根长为27m的绳子一端固定在点B，把绳长拉直并固定在AD上的一点P处，再拉直绳长的另一端恰好落在矩形的顶点C处，求DP的长．【变式9-1】（2023春·广东深圳·九年级统考期末）【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x−35=0为例，构造方法如下：首先将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4，因此，可得新方程：(x+x+2)2=144，∵x表示边长，∴2x+2=12，即x=5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程x2+3x−4=0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：第一步：将原方程变形为x2+3x−4=0，即x（ ）=4；第二步：利用四个面积可用x表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程；第三步：【拓展应用】：一般地对于形如：x2+ax=b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a=________，b=________，求得方程的一个正根为_____________．【变式9-2】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）请阅读下列材料：问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=y2，把x=y2代入已知方程，得y22+y2−1=0；化简，得y2+2y−4=0；故所求方程为y2+2y−4=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”；请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：(1)已知方程x2+3x−2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；(2)已知关于x的一元二次方程ax2−bx+c=0a≠0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【变式9-3】（2023春·河南南阳·九年级校考期末）阅读材料：材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．材料2：已知一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值．解：∵一元二次方程x2−x−1=0的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=−1，则m2n+mn2=mnm+n=−1×1=−1根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)材料理解：一元二次方程2x2−3x−1=0的两个根为x1,x2，则x1x2−x1−x2=___________；(2)类比应用：已知一元二次方程2x2−3x−1=0的两根分别为m、n，求nm+mn的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2−3s−1=0，2t2−3t−1=0，且s≠t，求1s−1t的值．【题型10 一元二次方程的实际应用】【例10】（2023春·安徽池州·九年级统考期末）某段公路上有一条双向线隧道（可双向行驶，车辆不能行驶在中间线上）隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成．以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，已知隧道宽度AB=8米，隧道最高处距路面OE=6米，矩形的宽AD=2米．(1)求这条抛物线的表达式．(2)为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5米，问该隧道能通过宽为3米的货车的最高高度为多少米？【变式10-1】（2023春·吉林·九年级校考期中）“贵妃芒”芒果品种是广受各地消费者青睐的优质新品种，在我国海南省广泛种植，水果商以每斤15元的价格从该省批发“贵妃芒”，再按每斤25元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤，经过调查发现，如果每斤“贵妃芒”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．设“贵妃芒”每斤的价格降低x元．(1)若水果商销售“贵妃芒”每天盈利630元，则每斤“贵妃芒”的售价应降至多少元？(2)若x的范围为1≤x≤9内的正整数，则水果商的最高利润与最低利润的差为________元．【变式10-2】（2023春·云南昆明·九年级统考期末）2022年11月20日，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔拉开了序幕．32支球队的激烈角逐吸引着全世界亿万球迷的目光．鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线．足球离地面高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：下列结论不正确的是（    ）A．足球飞行路线的对称轴是直线t=92 B．足球在第9秒时落地C．足球距离地面的最大高度为20米 D．足球被踢出5~7秒，距离地面的高度逐渐下降【变式10-3】（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）小林家的洗手台上有一瓶洗手液（如图1所示）．如图2所示，当手按住顶部A下压位置时，洗手液瞬间从喷口B流出路线呈抛物线经过C与E两点．瓶子上部分是由CE和FD组成的，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，GH=10cm，CG=8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面的距离为16cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2cm去接洗手液，则手心距水平台面的高度为 cm．x20.520.620.720.820.9输出－13.75－8.04－2.313.449.21x﹣111.11.2x2+12x﹣15﹣26﹣2﹣0.590.84x0.511.523ax2+bx+c2818104﹣2ts01234567…ℎm08141820201814…