人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课时训练

2.2 基本不等式

分层练习

考查题型一  利用基本不等式比较大小

1.（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【详解】因为，，，

对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，取，，得，故D错误.

故选：ABC

2．已知a、b为正实数，，则（    ）

A． B．

C． D．

【详解】因为a、b为正实数，

所以，当且仅当时，等号成立，

，所以，当且仅当时，等号成立，

综上：.

故选：B

3．如图所示的两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b（a≠b）的不等式表示为          .

【详解】图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积.

图（2）是一个矩形，面积

可得：.

故答案为：.

4.若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是        （填序号）.

①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.

【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），

即≤2，ab≤4，，故①③不成立；

，故②不成立；

故④成立.

故答案为：④.

考查题型二  利用基本不等式求最值

1．已知，则的最小值为（    ）

A．2 B．4 C． D．

 【详解】由，则，仅当时等号成立，

所以函数最小值为4.

故选：B

2．已知，则的最小值为（    ）

A． B．0 C．1 D．

【详解】，，

，

，

，

，

当且仅当，即，时等号成立，故选：A

3．函数的最大值是          ．

【详解】方法一：，

∵，∴，，

∴，当且仅当，即时取等号．

故当时，．

方法二：由知，∴，

当且仅当，即时取等号．

故当时，．

故答案为：

4.已知正实数a，b满足则ab的最大值为          .

【详解】因为正实数，满足，当且仅当，即，时取等号，

解得，

则的最大值5．

故答案为：5．

考查题型三  基本不等式的恒成立问题

1．若对，，有恒成立，则的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【详解】因为，，

所以，

当且仅当时取等号，所以，

故选：D．

2．若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是        （填序号）.

①；②；③≥2；④a2＋b2≥8.

【详解】因为（当且仅当a＝b时，等号成立），

即≤2，ab≤4，，故①③不成立；

，故②不成立；

故④成立.

故答案为：④.

3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是             ．

【详解】因为，，且，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

因为恒成立，所以，.

故答案为：.

1．如果，那么下列不等式正确的是（     ）

A． B．

C． D．

【详解】由已知，利用基本不等式得出，

因为，则，，

所以，，

∴.

故选：B

2.下列不等式一定成立的是（    ）

A． B．（其中）

C．的最小值为2 D．的最小值为2（其中）

【详解】解：对于A，当时，，当时，等号成立；

当时，，当时，等号成立；

所以或，故错误；

对于B，因为，所以，

所以，当，即时，等号成立，故正确；

对于C，因为，

所以，

令，则有，

由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，

所以，故错误；

对于D，因为，所以，

令，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，

所以，即，故错误.

故选：B.

3．已知正实数，满足，则的最小值为                .

【详解】因为，则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

4．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围

（2）已知正实数，满足：，求的最小值

【详解】（1）因为，所以，

所以  

所以的取值范围是．

因为，所以，

因为，所以，

所以的取值范围是．

（2）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为9.