第二章 一元二次函数、方程和不等式（章末测试B卷）-高中数学人教A版（2019）必修第一册

第二章：一元二次函数、方程和不等式章末测试

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

姓名___________       班级_________       考号_______________________

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1．（2023秋·安徽滁州·高一校考期末）如果，则正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】取，则，故A错误；

取，则，故B错误；

由于，所以，则，故C正确；

取，则，，故D错误.故选：C．

2．（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为关于的不等式的解集为，

则关于的方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，解得，因此，.故选：B.

3．（2022秋·海南·高一校考期中）不等式的解集为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由可得，解得，

故不等式的解集为.故选：A.

4．（2023·全国·高一专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】因为，

所以.故选：B

5．（2023秋·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得，

因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有4个正整数，

所以，不等式的解为，且，故选：D．

6．（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最大值为（    ）

A．2 B．5 C．4 D．6

【答案】C

【解析】因为，

所以，

当且仅当时取等号，因为，解得，故选：C

7．（2023·全国·高一专题练习）若正数x，y满足，则的最小值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【解析】方法一  由条件得，

由，知，

从而，

当且仅当，即，时取等号．

故的最小值为5．

方法二  对原条件式转化得，

则 ，

当且仅当，，即，时取等号．

故的最小值为5．故选：D

8．（2023秋·高一课时练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【解析】，当且仅当时等号成立，

解得，即.

因为不等式恒成立，

所以，即，解得.故选：A

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（2022秋·浙江台州·高一校联考期中）已知为实数，若，则下列不等关系一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】对于A，由不等式性质可知不等式两边同时加减同一个实数，不等号方向不改变，即A正确；

对于B，易知，又，若时，；

若时，；若时，；

所以并不一定成立，即B错误；

对于C，由可知，

当时，，，所以，即C正确；

对于D，当时，由不等式性质易知时，，即D错误；故选：AC

10．（2022秋·广东佛山·高一北滘中学校考阶段练习）下列函数的最小值为的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】对于A，，当且仅当，即时等号成立，，故A正确；

对于B，取，则，故B不正确；

对于C，，当且仅当，即时，等号成立，

故不是4，故C错误.

对于D，因为，所以，

故有基本不等式可得，

当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：AD

11．（2023·全国·高一专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】由题意可知，方程的解为，且，

则，，解得，，

令；

对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D错误.故选：ABC.

12．（2022秋·陕西西安·高一校考期中）下列结论错误的是（    ）

A．若方程没有实数根，则不等式的解集为

B．不等式在上恒成立的条件是且

C．若关于x的不等式的解集为，则

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【解析】A：因为方程没有实数根，

所以抛物线与横轴没有交点，

当时，二次函数开口向下，

所以的解集为空集，因此本选项结论错误；

B：当时，显然不等式在上恒成立，因此本选项结论错误；

C：当时，不等式的解集为，显然不是整个实数集，

当时，要想关于x的不等式的解集为，

只需，因此本选项结论正确；

D：显然当时，满足，但是没有意义，因此本选项结论错误，故选：ABD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13．（2023·全国·高一专题练习）给出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有        ．(填序号)

【答案】⑥⑦

【解析】①不是，是二元一次不等式；

②不一定是，当时是一元二次不等式，当时不是一元二次不等式；

③不是，未知数的最高次数是；

④不是，是二元二次不等式；

⑤不一定是，原因同②；

⑥是，因为，二次项系数非零，也符合一元二次不等式的定义；

⑦是，因为符合一元二次不等式的定义．

故答案为：⑥⑦

14．（2023·全国·高一专题练习）若，则的取值范围为        ．

【答案】

【解析】由题意，设，

则，解得，

因为，

可得

所以，即的取值范围是.

故答案为：.

15．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足，则的最小值为        ．

【答案】

【解析】为正实数，满足，

，

，则，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.故答案为：.

16．（2023秋·高一课时练习）若不等式对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为            ．

【答案】

【解析】，

∴要使不等式对一切x∈R恒成立，只需恒成立．

当时，恒成立.

当时，由，解得.

综上，.故答案为：.

四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（2023·全国·高一专题练习）已知，试比较和的大小.

【答案】

【解析】（方法1）因为，所以.

所以.

因为，所以，即；

（方法2）所以，

又，

所以 , 所以.

18．（2023春·河北石家庄·高一校考期中）（1）已知求的最大值

（2）已知求的最大值

（3）已知，且，求的最小值

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）因为，所以，

故由基本不等式得，

当且仅当，即时等号成立，

故的最大值为；

（2）因为，所以，，

由基本不等式得，

当且仅当，即时，等号成立，

故，

故的最大值为；

（3）已知，且，故，

故，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为.

19．（2023·全国·高一专题练习）阅读材料：

（1）若，且，则有

（2）若，则有．

请依据以上材料解答问题：

已知a，b，c是三角形的三边，求证：．

【答案】证明见解析.

【解析】因为a，b，c是三角形的三边，则，

由材料（1）知，，

同理，，

由材料（2）得：，

所以原不等式成立.

20．（2023秋·高一单元测试）某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到x元．公司拟投入万元．作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

【答案】（1）40元；（2）10.2万件，该商品的每件定价为30元

【解析】（1）设每件定价为元，依题意得，

整理得，解得．

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

（2）依题意知当时，不等式有解，

等价于时，有解，

由于，当且仅当，即时等号成立，

所以，

当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，

才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

21．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）已知关于的不等式．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围．

【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）时，，即，解得或，

故不等式的解集为或；

（2）由题意得恒成立，

故，解得，

所以实数的取值范围是.

22．（2022秋·山东枣庄·高一校考阶段练习）解关于的不等式: .

【答案】答案见解析

【解析】原不等式可化为..

（1）当时，有.

（2）当时， 式，∵，

①当时，，∴.

②当时，，，此时解集为.

③ 当时，.∴.

（3）当时，式，∵，∴.∴或.

综上所述，原不等式的解集为:

当时，为或；

当时，为；

当时，为；

当时，为；

当时，为.