2019年广西贵港市中考数学试卷与答案

2019年广西贵港市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．计算（﹣1）3的结果是（　　）

A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3

2．某几何体的俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小正方体的个数，则这个几何体的主视图是（　　）

         A． B． C． D．

3．若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）

A．9，9 B．10，9 C．9，9.5 D．11，10

4．若分式的值等于0，则x的值为（　　）

A．±1 B．0 C．﹣1 D．1

5．下列运算正确的是（　　）

A．a3+（﹣a）3＝﹣a6 B．（a+b）2＝a2+b2 

C．2a2•a＝2a3 D．（ab2）3＝a3b5

6．若点P（m﹣1，5）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

7．若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，则m等于（　　）

A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3

8．下列命题中假命题是（　　）

A．对顶角相等 

B．直线y＝x﹣5不经过第二象限 

C．五边形的内角和为540° 

D．因式分解x3+x2+x＝x（x2+x）

9．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°

10．将一条宽度为2cm的彩带按如图所示的方法折叠，折痕为AB，重叠部分为△ABC（图中阴影部分），若∠ACB＝45°，则重叠部分的面积为（　　）

A．2cm2 B．2cm2 C．4cm2 D．4cm2

11．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，若AD＝2BD，BC＝6，则线段CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．2 D．5

12．如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（　　）

A．S1+S2＝CP2 B．4F＝2FD C．CD＝4PD D．cos∠HCD＝

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．有理数9的相反数是　   　．

14．将实数3.18×10﹣5用小数表示为　   　．

15．如图，直线a∥b，直线m与a，b均相交，若∠1＝38°，则∠2＝　   　．

16．若随机掷一枚均匀的骰子，骰子的6个面上分别刻有1，2，3，4，5，6点，则点数不小于3的概率是　   　．

17．如图，在扇形OAB中，半径OA与OB的夹角为120°，点A与点B的距离为2，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为　   　．

18．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，且b2﹣4a＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4．其中正确结论的个数是　   　．

三、解答题（本大题共8小题，满分66分）

19．（10分）（1）计算：﹣（﹣3）0+（）﹣2﹣4sin30°；

（2）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．

20．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）：

如图，已知△ABC，请根据“SAS”基本事实作出△DEF，使△DEF≌△ABC．

21．（6分）如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（1，0），点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，直线y＝x+b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE．

（1）求k，b的值；

（2）求△ACE的面积．

22．（8分）为了增强学生的安全意识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“安全知识”考试．阅卷后，学校团委随机抽取了100份考卷进行分析统计，发现考试成绩（x分）的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　   　，b＝　   　，n＝　   　；

（2）将频数分布直方图补充完整；

（3）该校对考试成绩为91≤x≤100的学生进行奖励，按成绩从高分到低分设一、二、三等奖，并且一、二、三等奖的人数比例为1：3：6，请你估算全校获得二等奖的学生人数．

23．（8分）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．

（1）求这两年藏书的年均增长率；

（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？

24．（8分）如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE．

（1）求证：AE是半圆O的切线；

（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长．

25．（11分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为A（4，3），与y轴相交于点B（0，﹣5），对称轴为直线l，点M是线段AB的中点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；

（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标．

26．（10分）已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C交于点E．

（1）如图1，当∠CA′D＝15°时，作∠A′EC的平分线EF交BC于点F．

①写出旋转角α的度数；

②求证：EA′+EC＝EF；

（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线A′D上的一个动点，连接PA，PF，若AB＝，求线段PA+PF的最小值．（结果保留根号）

2019年广西贵港市中考数学试卷答案

1． A．2． B．3． C．4． D．5． C．6． C．7． B．8． D．9． B．10． A．11． C．12． D．

13．﹣9；14． 0.0000318；15． 142°．16． ．17． 18． 4

19．解：（1）原式＝2﹣1+4﹣4×＝2﹣1+4﹣2＝3；

（2）解不等式6x﹣2＞2（x﹣4），得：x＞﹣，

解不等式﹣≤﹣，得：x≤1，

则不等式组的解集为﹣＜x≤1，

将不等式组的解集表示在数轴上如下：

20．解：如图，

△DEF即为所求．

21．解：（1）由已知可得AD＝5，

∵菱形ABCD，

∴B（6，0），C（9，4），

∵点D（4，4）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，

∴k＝16，

将点C（9，4）代入y＝x+b，

∴b＝﹣2；

（2）E（0，﹣2），

直线y＝x﹣2与x轴交点为（3，0），

∴S△AEC＝2×（2+4）＝6；

22．解：（1）a＝100×0.1＝10，b＝100﹣10﹣18﹣35﹣12＝25，n＝＝0.25；

故答案为：10，25，0.25；

（2）补全频数分布直方图如图所示；

（3）2500××＝90（人），

答：全校获得二等奖的学生人数90人．

23．解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，

5（1+x）2＝7.2，

解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），

答：这两年藏书的年均增长率是20%；

（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），

到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，

答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．

24．（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，

∵OE⊥OA，

∴∠AOE＝90°，

∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，

∴∠BAO＝∠COE，

∴△ABO∽△OCE，

∴＝，

∵OB＝OC，

∴，

∵∠ABO＝∠AOE＝90°，

∴△ABO∽△AOE，

∴∠BAO＝∠OAE，

过O作OF⊥AE于F，

∴∠ABO＝∠AFO＝90°，

在△ABO与△AFO中，，

∴△ABO≌△AFO（AAS），

∴OF＝OB，

∴AE是半圆O的切线；

（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，

∴AF2＝AP•AC，

∴AF＝＝2，

∴AB＝AF＝2，

∵AC＝6，

∴BC＝＝2，

∴AO＝＝3，

∵△ABO∽△AOE，

∴，

∴＝，

∴AE＝．

25．解：（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3，

将点B坐标代入上式并解得：a＝﹣，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣5；

（2）A（4，3）、B（0，﹣5），则点M（2，﹣1），

设直线AB的表达式为：y＝kx﹣5，

将点A坐标代入上式得：3＝4k﹣5，解得：k＝2，

故直线AB的表达式为：y＝2x﹣5；

（3）设点Q（4，s）、点P（m，﹣m2+4m﹣5），

①当AM是平行四边形的一条边时，

点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，

同样点P（m，﹣m2+4m﹣5）向左平移2个单位、向下平移4个单位得到Q（4，s），

即：m﹣2＝4，﹣m2+4m﹣5﹣4＝s，

解得：m＝6，s＝﹣3，

故点P、Q的坐标分别为（6，1）、（4，﹣3）；

②当AM是平行四边形的对角线时，

由中点定理得：4+2＝m+4，3﹣1＝﹣m2+4m﹣5+s，

解得：m＝2，s＝1，

故点P、Q的坐标分别为（2，1）、（4，1）；

故点P、Q的坐标分别为（6，1）或（2，1）、（4，﹣3）或（4，1）．

26．（1）①解：旋转角为105°．

理由：如图1中，

∵A′D⊥AC，

∴∠A′DC＝90°，

∵∠CA′D＝15°，

∴∠A′CD＝75°，

∴∠ACA′＝105°，

∴旋转角为105°．

②证明：连接A′F，设EF交CA′于点O．在EF时截取EM＝EC，连接CM．

∵∠CED＝∠A′CE+∠CA′E＝45°+15°＝60°，

∴∠CEA′＝120°，

∵FE平分∠CEA′，

∴∠CEF＝∠FEA′＝60°，

∵∠FCO＝180°﹣45°﹣75°＝60°，

∴∠FCO＝∠A′EO，∵∠FOC＝∠A′OE，

∴△FOC∽△A′OE，

∴＝，

∴＝，

∵∠COE＝∠FOA′，

∴△COE∽△FOA′，

∴∠FA′O＝∠OEC＝60°，

∴△A′OF是等边三角形，

∴CF＝CA′＝A′F，

∵EM＝EC，∠CEM＝60°，

∴△CEM是等边三角形，

∠ECM＝60°，CM＝CE，

∵∠FCA′＝∠MCE＝60°，

∴∠FCM＝∠A′CE，

∴△FCM≌△A′CE（SAS），

∴FM＝A′E，

∴CE+A′E＝EM+FM＝EF．

（2）解：如图2中，连接A′F，PB′，AB′，作B′M⊥AC交AC的延长线于M．

由②可知，∠EA′F＝′EA′B′＝75°，A′E＝A′E，A′F＝A′B′，

∴△A′EF≌△A′EB′，

∴EF＝EB′，

∴B′，F关于A′E对称，

∴PF＝PB′，

∴PA+PF＝PA+PB′≥AB′，

在Rt△CB′M中，CB′＝BC＝AB＝2，∠MCB′＝30°，

∴B′M＝CB′＝1，CM＝，

∴AB′＝＝＝．

∴PA+PF的最小值为．