浙江省宁波市2019年中考数学试卷

浙江省宁波市2019年中考数学试卷

一、选择题（每小题4分，共48分）

1.-2的绝对值为（   ）           

A.      B. 2      C.         D. -2

【答案】 B  

【考点】绝对值及有理数的绝对值   

【解析】【解答】解：∣-2∣=2.

故答案为：B

【分析】因为一个负数的绝对值等于它的相反数，而-2的相反数是2，所以-2的绝对值等于2。

2.下列计算正确的是（   ）           

A.     B.     C.    D. 

【答案】 D  

【考点】同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则及应用，幂的乘方   

【解析】【解答】解：A、∵a²和 a³不是同类项，∴不能加减，故此答案错误,不符合题意；

B、 ∵ ，∴此答案错误，不符合题意；

C、 ∵ ，∴此答案错误，不符合题意；

D、 ∵ ，∴此答案正确，符合题意。

故答案为：D

【分析】（1）因为a³与a²不是同类项，所以不能合并；
（2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可判断求解；
（3）根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可判断求解；
（4）根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可判断求解。

3.宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资 

1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（   ）

A.      B.      C.     D. 

【答案】 C  

【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数   

【解析】【解答】解： 。

故答案为：C

【分析】任何一个绝对值大于等于1的数都可以用科学记数法表示，科学记数法的表示形式为a×10n  ， 其中1≤|a|＜10，n=整数位数-1.

4.若分式 有意义，则x的取值范围是（   ）           

A. x>2     B. x≠2      C. x≠0      D. x≠-2

【答案】 B  

【考点】分式有意义的条件   

【解析】【解答】解：由题意得：x-2≠0，解得：x≠2.

故答案为：B

【分析】分式有意义的条件是：分母不为0，从而列出不等式，求解即可。

5.如图，下列关于物体的主视图画法正确的是（   ） 

   A.  B.  C.  D.

【答案】 C  

【考点】简单几何体的三视图   

【解析】【解答】解：主视图是从正面看这个几何体得到的正投影，空心圆柱从正面看是一个长方形，加两条虚竖线。

故答案为：C。

【分析】简单几何体的三视图，就是分别从正面向后看，从左面向右看，从上面向下看得到的正投影，能看见的轮廓线需要画成实线，看不见但又存在的轮廓线需要画为虚线，故空心圆柱的主视图应该是一个长方形，加两条虚竖线。

6.不等式 的解为（   ）           

A.      B.       C.          D. 

【答案】 A  

【考点】解一元一次不等式   

【解析】【解答】解：去分母得：3-x﹥2x，移项得：-x-2x﹥-3，合并同类项得：-3x﹥-3，系数化为1得：x﹤1.

故答案为：A

【分析】解不等式的步骤是：去分母、移项、合并同类项、系数化为1.根据解不等式的步骤计算即可求解。

7.能说明命题“关于x的方程x2-4x+m=0一定有实数根”是假命题的反例为（   ）           

A. m=-1      B. m=0     C. m=4        D. m=5

【答案】 D  

【考点】一元二次方程根的判别式及应用   

【解析】【解答】解：∵b²-4ac=(-4)²-4×1×m≥0，
解不等式得：x≤4，
由一元二次方程的根的判别式可知：当x≤4时，方程有实数根，
∴当m=5时，方程x²-4x+m=0没有实数根。

故答案为：D

【分析】由一元二次方程的根的判别式可知，当b²-4ac=(-4)²-4×1×m≥0时，方程有实数根，解不等式可得m的范围，则不在m的取值范围内的值就是判断命题是假命题的值。

8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数x（单位：千克）及方差S2（单位：千克2）如下表所示： 

今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是（   ）

A. 甲      B. 乙       C. 丙        D. 丁

【答案】 B  

【考点】平均数及其计算，方差   

【解析】【解答】解：∵从平均数可知：甲、乙比丙和丁大，∴排除选项C和D；从方差看，乙的方差比甲的小，∴排除选项A。

故答案为：B

【分析】因为平均数越大，产量越高，所以A和B符合题意；方差越小，波动越小，产量越稳定，所以B、D符合题意，综合平均数和方差可选B。

9.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（   ） 

A. 60°         B. 65°       C. 70°          D. 75°

【答案】 C  

【考点】平行线的性质，三角形的外角性质   

【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。
∵∠AED是△BED的一个外角，
∴∠AED=∠B+∠1，
∵∠B=45°，∠1=25°，
∴∠AED=45°+25°=70°
∵m∥n，
∴∠2=∠AED=70°。

故答案为：C。

【分析】设直线n与AB的交点为E。由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。

10.如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（   ） 

A. 3.5cm       B. 4cm      C. 4.5cm       D. 5cm

【答案】 B  

【考点】圆锥的计算   

【解析】【解答】解：设AB=x，由题意，
得 ，
解得x=4.

故答案为：B。

【分析】设AB=x，根据扇形的弧长计算公式算出弧AF的长，根据该弧长等于直径为（6-x）的圆的周长，列出方程，求解即可。

11.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（   ）           

A. 31元      B. 30元     C. 25元       D. 19元

【答案】 A  

【考点】三元一次方程组解法及应用   

【解析】【解答】解：设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，由题意，

得 ，

将两方程相减得y-x=7，

∴y=x+7,
将y=x+7代入5x+3y=a-10

得8x=a-31，

∴若只买8支玫瑰花，则她所带的钱还剩31元。

故答案为：A

【分析】设玫瑰花每支x元，百合花每支y元，小慧带的钱数是a元，根据若买5支玫瑰花和3支百合花所带的钱还剩10元，若买3支玫瑰花和5支百合花所带的钱还差4元，列出方程组，根据等式的性质，将两个等式相减即可得出y-x=7,即y=x+7,将y=x+7代入其中的一个方程，即可得出8x=a-31.从而得出答案。

12.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（   ） 

A. 直角三角形的面积                  B. 最大正方形的面积
C. 较小两个正方形重叠部分的面积      D. 最大正方形与直角三角形的面积和

【答案】 C  

【考点】勾股定理的应用   

【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。

故答案为：C

【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。

二、填空题（每小题4分，共24分）

13.请写出一个小于4的无理数：________   

【答案】 答案不唯一如 ，π等  

【考点】实数大小的比较，无理数的认识   

【解析】【解析】解：开放性的命题，答案不唯一，如 等。

故答案为：不唯一，如 等。

【分析】无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数，② 的倍数的数，③像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）这类有规律的数，根据定义，只要写出一个比4小的无理数即可。

14.分解因式：x2+xy=________．   

【答案】x（x+y） 

【考点】因式分解-提公因式法  

【解析】【解答】解：x2+xy=x（x+y）．
【分析】直接提取公因式x即可．

15.袋中装有除颜色外其余均相同的5个红球和3个白球.从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为________.   

【答案】

【考点】简单事件概率的计算   

【解析】【解答】解： .

故答案为： .

【分析】袋中有8个小球，它们除颜色不同外其他的都相同，其中红色的小球共有5个，故从中摸出一个共有8种等可能的结果，其中能摸出红球的只有5种等可能的结果，根据概率公式即可算出答案。

16.如图，某海防响所O发现在它的西北方向，距离哨所400米的A处有一般船向正东方向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东60°方向的B处，则此时这般船与哨所的距离OB约为________米。（精确到1米，参考数据： =1.414， ≈1.732） 

【答案】 566  

【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题   

【解析】【解答】解：设AB与正北方向线相交于点C，

根据题意OC⊥AB,所以∠ACO=90°，

在Rt△ACO中，因为∠AOC=45°，

所以AC=OC= ,

Rt△BCO中，因为∠BOC=60°，

所以OB=OC÷cos60°=400 =400×1.414≈566（米）。

故答案为：566 。
【分析】根据等腰直角三角形的性质得出 ，Rt△BCO中，根据锐角三角函数的定义，由OB=OC÷cos60°即可算出答案。

17.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD上一动点，当半径为6的OP与△ABC的一边相切时，AP的长为________. 

【答案】 或

【考点】勾股定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质   

【解析】【解答】解：在Rt△ACD中，∠C=90°，AC=12,CD=5, ∴AD=13；

在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=12,BC=CD+DB=18, ∴AB=6 ；

过点D作DM⊥AB于点M，∵AD=BD=13, ∴AM= ;

在Rt△ADM中，∵AD=13,AM=  , ∴DM=  ；

∵当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，

∴半径为6的⊙P不可能与AC相切；

当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，

∴PE⊥BC,且PE=6，

∵PE⊥BC，AC⊥BC,

 ∴PE∥AC,

∴△ACD∽△PED，

∴PE∶AC=PD∶AD,

即6∶12=PD∶13,

∴PD=6.5,

∴AP=AD-PD=6.5;

当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，

∴PF⊥AB,且PF=6，

∵PF⊥BA，DM⊥AB,

∴DM∥PF,

∴△APF∽△ADM，

∴AP∶AD=PF∶DM即AP∶13=6∶ ,

∴AP= ,

综上所述即可得出AP的长度为：

故答案为：

【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DM⊥AB于点M，根据等腰三角形的三线合一得出AM的长，进而再根据勾股定理算出DM的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5＜6，故半径为6的⊙P不可能与AC相切；当半径为6的⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，根据切线的性质得出PE⊥BC,且PE=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出PE∥AC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ACD∽△PED，根据相似三角形对应边成比例得出PE∶AC=PD∶AD,由比例式即可求出PD的长，进而即可算出AP的长；当半径为6的⊙P与BA相切时，设切点为F，连接PF，根据切线的性质得出PF⊥BC,且PF=6，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DM∥PF,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△APF∽△ADM，根据相似三角形对应边成比例得出AP∶AD=PF∶DM,由比例式即可求出AP的长,综上所述即可得出答案。

18.如图，过原点的直线与反比例函数y= （k>0)的图象交于A，B两点，点A在第一象限点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE.若AC=3DC，△ADE的面积为8，则k的值为________. 

【答案】 6  

【考点】反比例函数系数k的几何意义，平行线的判定与性质，三角形的面积，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质   

【解析】【解答】解：连接OE，OD,过点A作AN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥x轴于点M，

根据正比例函数与反比例函数的对称性得出OA=OB，

∵BE⊥AE，∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，∵AO=BO，

∴OE=OA,

 ∴∠OEA =∠OAE,

 ∵AE平分∠BAC，

∴∠OAE=∠CAE,

 ∴∠CAE=∠OEA,

∴OE∥AC,

∴△ADO的面积=△ADE的面积，

∵△ADO的面积=梯形ADMN的面积，

∴梯形ADMN的面积=8，

∵AN⊥x轴，DM⊥x轴，

∴AN∥DM,

 ∴△CDM∽△CAN,

 ∴DM∶AN=CD∶AC=1∶3,

∴设DM为a，则AN=3a,

∴A(  ,3a)，D（  ，a）

∴ON= ,OM= ,MN=OM-ON= ;

∵梯形ADMN的面积=(a+3a) ·MN× =8,

∴k=6.

故答案为：6

【分析】连接OE，OD,过点A作AN⊥x轴于点N，过点D作DM⊥x轴于点M，根据正比例函数与反比例函数的对称性得出OA=OB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE=OA,根据等边对等角及角平分线的定义得出∠CAE=∠OEA, 根据内错角相等二直线平行得出OE∥AC, 根据同底等高的三角形的面积相等得出△ADO的面积=△ADE的面积，根据反比例函数k的几何意义及割补法得出△ADO的面积=梯形ADMN的面积，从而得出梯形ADMN的面积=8，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AN∥DM, 根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△CDM∽△CAN, 根据相似三角形对应边成比例得出DM∶AN=CD∶AC=1∶3,设DM为a，则AN=3a,进而表示出A,D两点的坐标，得出ON,OM,MN的长，再根据梯形的面积计算方法建立方程，求解即可。

三、解答题（本大题有8小题，共78分)

19.先化简，再求值： 

（x-2）（x+2）-x（x-1)，其中x=3.

【答案】 解：原式=x2-4-x2+x 

=x-4

当x=3时，原式=3-4=-1

【考点】利用整式的混合运算化简求值   

【解析】【分析】根据平方差公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项化为最简形式，然后代入x的值算出答案。

20.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：

（1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形。   

（2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形。 

（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）

【答案】 （1）解：画出下列其中一种即可

（2）解：画出下列其中一种即可

【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形   

【解析】【分析】（1）开放性的命题，答案不唯一，把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形，根据定义即可给合适的三角形填上颜色；
（2）开放性的命题，答案不唯一：根据把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形即可给合适的三角形填上颜色，从而解决问题。

21.今年5月15日，亚洲文明对话大会在北京开幕.为了增进学生对亚洲文化的了解，某学校开展了相关知识的宣传教育活动。为了解这次宣传活动的效果，学校从全校1200名学生中随机抽取100名学生进行知识测试（测试满分100分，得分均为整数），并根据这100人的测试成绩， 

制作了如下统计图表。

由图表中给出的信息回答下列问题：

（1）m=________，并补全额数直方图________；   

（2）小明在这次测试中成绩为85分，你认为85分一定是这100名学生知识测试成绩的中位数吗?请简要说明理由；   

（3）如果80分以上（包括80分）为优秀，请估计全校1200名学生中成绩优秀的人数.   

【答案】 （1）20；
（2）解：不一定是，理由：将100名学生知识测试成绩从小到大排列，第50名与 

第51名的成绩都在分数段80sa<90中，但它们的平均数不一定是85分

（3）解： ×1200=60（人）. 

答：全校1200名学生中，成绩优秀的约有660人

【考点】用样本估计总体，频数（率）分布表，频数（率）分布直方图   

【解析】【解答】解：（1）m=100-10-15-40-15=20（人）,
故答案为：20.
补全频数直方图如下：

【分析】（1）用样本容量分别减去成绩是50≤x＜60,60≤x＜70,80≤x＜90,90≤x≤100,各组的频数即可算出m的值，根据m的值即可补全直方图；
（2）不一定，将样本中的100名同学的测试成绩按从小到大排列后，第50名与51名的成绩都在80≤x＜90分数段，但这两个成绩的平均数不一定是85分，故不确定；
（3）用样本估计总体，用全校的学生总人数乘以样本中成绩是80及以上同学所占的百分比即可估计出全校学生中成绩优秀的学生人数。

22.如图，已知二次函数y=x2+ax+3的图象经过点P(-2，3）. 

（1）求a的值和图象的顶点坐标。   

（2）点Q（m，n)在该二次函数图象上. 

①当m=2时，求n的值；

②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.

【答案】 （1）解：把P（-2，3）代入y=x2+ax+3，得3=（-2）2-2a+3， 

解得a=2.

∵y=x2+2x+3=(x+1）2+2，

∴顶点坐标为（-1，2）
（2）解：①把x=2代入y=x2+2x+3，求得y=11， 

∴当m=2时，n=11.

②2≤<11

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数y=ax^2+bx+c的性质   

【解析】【分析】（1）将点P的坐标代入抛物线 即可算出a的值，从而求出抛物线的解析式，再将抛物线的解析式配成顶点式，即可求出其顶点坐标；
（2）将点Q的横坐标x=2代入（1）所求的抛物线的解析式即可算出对应的函数值，该值就是n的值；
（3）由于该函数顶点坐标是（-1,2），且函数开口向上，点Q的横坐标横坐标是2的时候，对应的函数值是11，故点Q到到y轴的距离小于2的时候，对应的函数值n的取值范围是2≤n＜11.

23.如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上. 

（1）求证：BG=DE；   

（2）若E为AD中点，FH=2，求菱形ABCD的周长。   

【答案】 （1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//FG. 

∴∠GFH=∠EHF.

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF,

∴∠BFG=∠DHE.

在菱形ABCD中，AD//BC.

∴∠GBF=∠EDH.

∴△BGFS△DEH(AAS).

∴BG=DE
（2）解：如图，连结EG. 

在菱形ABCD中，AD BC.

∵E为AD中点，

∴AE=ED.

∵BG=DE，

∴AE BG.

∴四边形ABGE为平行四边形。

∴AB=EG.

在矩形kGH中，EG=FH=2.

∴AB=2.

∴菱形的周长为8.

【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，矩形的性质   

【解析】【解析】（1）证明：在矩形EFGH中，EH=FG，EH//FG.

∴∠GFH=∠EHF.

∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF,

∴∠BFG=∠DHE.

在菱形ABCD中，AD//BC.

∴∠GBF=∠EDH.

∴△BGF△DEH(AAS).

∴BG=DE

 （2）解：如图，连结EG. 

在菱形ABCD中，AD BC.

∵E为AD中点，

∴AE=ED.

∵BG=DE，

∴AE BG.

∴四边形ABGE为平行四边形。

∴AB=EG.

在矩形EFGH中，EG=FH=2.

∴AB=2.

∴菱形的周长为8.
【分析】（1）根据矩形的性质得出EH=FG，EH∥FG，根据二直线平行，内错角相等得出∠GFH=∠EHF，根据等角的补角相等得出∠BFG=∠DHE,根据菱形的性质得出AD∥BC，根据二直线平行，内错角相等得出∠GBF=∠EDH,从而利用AAS判断出△BGF≌△DEH,根据全等三角形对应边相等得出BG=DE；
（2）连接EG，根据菱形的性质得出AD∥BC,AD=BC，从而推出AE∥BG,AE=BG,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出：四边形ABGE是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出AB=EG，根据矩形的对角线相等得出EG=FH=2，故AB=2，从而根据菱形的周长的计算方法即可算出答案。

24.某风景区内的公路如图1所示，景区内有免费的班车，从入口处出发，沿该公路开往草甸，途中停靠塔林（上下车时间忽略不计）.第一班车上午8点发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车.小聪周末到该风景区游玩，上午7：40到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从景区入口处出发，沿该公路步行25分钟后到达塔林。离入口处的路程y（米）与时间x（分)的函数关系如图2所示. 

（1）求第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达式   

（2）求第一班车从人口处到达塔林所蓄的时间。   

（3）小聪在塔林游玩40分钟后，想坐班车到草甸，则小聘最早能够坐上第几班车?如果他坐这班车到草甸，比他在塔林游玩结束后立即步行到草甸提早了几分钟?（假设每一班车速度均相同，小聪步行速度不变）   

【答案】 （1）解：由题意得，可设函数表达式为：y=kx+b（k≠0). 

把（20，0），（38，2700）代入y=kx+b，得 ，

解得

∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x(分）的函数表达式为y=150x-3000（ ).（注：x的取值范围对考生不作要求）

（2）解：把y=1500代入y=150x-3000，解得x=30， 

30-20=10（分）。

∴第一班车到塔林所需时间10分钟.
（3）解：设小聪坐上第n班车. 

30-25+10（n-1）≥40，解得n≥4.5，

∴小聪最早坐上第5班车.

等班车时间为5分钟，

坐班车所需时间：1200+150=8(分），

∴步行所需时间：1200+（1500+25）=20(分）

20-（8+5）=7(分）。

∴小聪坐班车去草甸比他游玩结束后立即步行到达草甸提早7分钟。

【考点】一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题   

【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出第一班车离入口的路程y与时间x的函数关系式；
（2）将y=1500代入（1）所求的函数解析式即可算出对应的自变量的值，进而再用该值减去该函数起点的横坐标即可得出答案；
（3）设小聪能坐上第n班车，由于两班车的发车时间间隔10分钟，且每班车从入口行到塔林需要10分钟，则第n班车到达塔林时，时间已经过了10n分，由于小聪比第一班车早出发20分钟，从入口到塔林用时25分，在塔林玩了40分钟，故第n班车到达塔林的时间应该不少于45分钟，从而列出不等式求解再取出最小整数解即可；班车的速度是1500÷10=150米每分，小聪的速度是1500÷25=60米每分，用小聪直接去草甸的时间-小聪等车的时间-坐车去草甸的时间即可算出小聪节约的时间。

25.定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线. 

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点. 

求证：四边形ABEF是邻余四边形。

（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上，   

（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连结DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N.若N为AC的中点，DE=2BE，QB=3，求邻余线AB的长。   

【答案】 （1）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， 

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=900.

∴∠DAB+∠DBA=90°.

∴∠FAB与∠EBA互余.

∴四边形ABEF是邻余四边形
（2）解：如图所示（答案不唯一） 

（3）解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， 

∴BD=CD.

∵DE=2BE，

∴BD=CD=3BE.

∴CE=CD+DE=5BE.

∵∠EDF=90°，M为EF中点，

∴DM=ME.

∴∠MDE=∠MED.

∵AB=AC，

∴∠B=∠C.

∴△DBQ∽△AECN.

∵

∵QB=3，∴NC=5.

∵AN=CN，

∴AC=2CN=10.

∴AB=AC=10.

【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质   

【解析】【解析】（1） 解：∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

∴AD⊥BC.

∴∠ADB=90°

∴∠DAB+∠DBA=90°.

∴∠FAB与∠EBA互余.

∴四边形ABEF是邻余四边形
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得出AD⊥BC，故∠ADB=90°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠FAB+∠EBA=90°，根据邻余四边形的定义即可得出结论：四边形ABEF是邻余四边形；
（2）开放性的命题，答案不唯一：在过点A的水平线与过点B的竖直线上各取一个格点F，E再顺次连接A,F,E,B即可得出所求的邻余四边形；
（3）根据等腰三角形的三线合一得出BD=CD，进而得出CE=5BE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DM=ME，根据等边对等角得出∠MDE=∠MED，∠B=∠C，根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出△DBQ∽△ECN，根据相似三角形对应边成比例得出QB∶NC=BD∶CE=3∶5,根据比例式得出NC的长，进而即可得出AC的长，最后根据AB=AC即可得出答案。

26.如图1， O经过等边△ABC的顶点A，C（圆心O在△ABC内），分别与AB，CB的延长线交于点D，E，连结DE，BF⊥EC交AE于点F. 

（1）求证：BD=BE.   

（2）当AF：EF=3:2，AC=6时，求AE的长。   

（3）设 =x,tan∠DAE=y. 

①求y关于x的函数表达式；

②如图2，连结OF,OB，若△AEC的面积是△OFB面积的10倍，求y的值

【答案】 （1）证明：∵△ABC为等边三角形， 

∴∠BAC=∠C=60 .

∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60

∴∠DEB=∠D.

∴BD=BE
（2）解：如图，过点A作AG⊥EC于点G. 

∵△ABC为等边三角形，AC=6，

∴BG= BC= AC=3.

∴在Rt△ABG中，AG= BG=3 .

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG.

∵AF:EF=3:2,

∴BE= BG=2.

∴EG=BE+BG=3+2=5.

∴在Rt△AEG中，AE= .
（3）解：①如图，过点E作EH⊥AD于点H. 

∵∠EBD=∠ABC=60°,

∴在Rt△BEH中， =sin60 = .

∴

∴

∵BG=xBE.

∴AB=BC=2BG-2xBE.

∴AH-AB+BH=2xBE+ BE=(2x+ )BE.

∴在Rt△AHE中,tan =

y=

②如图，过点O作OM⊥EC于点M.

设BE=a.

∵

∴CG=BG=xBE=x.

∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.

∴AM= EC= a+ax.

∴BM=EM-BE=ax- a

∵BF∥AG

∴△EBF∽△EGA.

∴

∵AG= BG= ax

∴BF= AG=

∴△OFB的面积=

∴△AEC的面积=

∵△AEC的面积是△OFB的面积10倍

∴

∴

解得

∴

【考点】圆的综合题   

【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三个内角都等于60°得出∠BAC=∠C=60°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根据等角对等边得出BD=BE；
（2）如图，过点A作AG⊥EC于点G，根据等边三角形的三线合一得出BG=3，在Rt△ABG中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AG的长，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出BF∥AG，根据平行线分线段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根据比例式即可算出EG的长，最后在Rt△AEG中，根据勾股定理即可算出AE的长；
（3）①如图，过点E作EH⊥AD于点H，在Rt△BEH中，根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出EH= ,由于BG∶EB=AF∶EF=x，故BG=xBE，AB=2xBE,最后根据AH=AB+BH表示出AH，在Rt△AHE中，根据正切函数的定义，由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函数关系式；②如图，过点O作OM⊥EC于点M，设BE为a，根据BG∶EB=AF∶EF=x，得出CG=BG=xBE=ax，故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根据垂径定理得出EM的长，进而根据线段的和差表示出BM的长，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△EBF∽△EGA，根据相似三角形的对应边成比例表示出BF的长，根据三角形的面积计算公式分别表示出△OFB的面积及△AEC的面积，然后根据△AEC的面积是△OFB的面积的10倍建立方程，求解算出x的值，进而即可得出答案。