2019年江苏省常州市中考数学试卷及答案

这是一份2019年江苏省常州市中考数学试卷及答案，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．﹣3的相反数是（ ）
A．B．C．3D．﹣3
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1B．x＝3C．x≠﹣1D．x≠3
3．如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A．圆柱B．正方体C．圆锥D．球

4．如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是（ ）
A．线段PAB．线段PBC．线段PCD．线段PD
5．若△ABC～△A′B'C′，相似比为1：2，则△ABC与△A'B′C'的周长的比为（ ）
A．2：1B．1：2C．4：1D．1：4
6．下列各数中与2+的积是有理数的是（ ）
A．2+B．2C．D．2﹣
7．判断命题“如果n＜1，那么n2﹣1＜0”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．
8．随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y1（ug/m3）随时间t（h）的变化如图所示，设y2表示0时到t时PM2.5的值的极差（即0时到t时PM2.5的最大值与最小值的差），则y2与t的函数关系大致是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．计算：a3÷a＝ ．
10．4的算术平方根是 ．
11．分解因式：ax2﹣4a＝ ．
12．如果∠α＝35°，那么∠α的余角等于 °．
13．如果a﹣b﹣2＝0，那么代数式1+2a﹣2b的值是 ．
14．平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）到原点的距离是 ．
15．若是关于x、y的二元一次方程ax+y＝3的解，则a＝ ．
16．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．

17．如图，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB＝ ．
18．如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝3，点P是AD的中点，点E在BC上，CE＝2BE，点M、N在线段BD上．若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，则MN＝ ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分）
19．（8分）计算：
（1）π0+（）﹣1﹣（）2； （2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
20．（6分）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是 ；
（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．
22．（8分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．
23．（8分）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．
（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）
24．（8分）甲、乙两人每小时共做30个零件，甲做180个零件所用的时间与乙做120个零件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？
25．（8分）如图，在▱OABC中，OA＝2，∠AOC＝45°，点C在y轴上，点D是BC的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A、D．（1）求k的值；（2）求点D的坐标．
26．（10分）【阅读】
数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．
【理解】
（1）如图1，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；
（2）如图2，n行n列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：n2＝ ；
【运用】
（3）n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以（m+n）个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得y个这样的三角形．当n＝3，m＝3时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y＝7．
①当n＝4，m＝2时，如图4，y＝ ；当n＝5，m＝ 时，y＝9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y＝ （用含m、n的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．
27．（10分）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．
（1）b＝ ；
（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．
28．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆： ；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．
2019年江苏省常州市中考数学试卷答案
1． C．2． D．3． A．4． B．5． B．6． D．7． A．8． B．
9． a2．10． 2．11． a（x+2）（x﹣2）．12． 55．13． 5．14． 5．15． 1．16． 30．17． ．18． 6．
19．解：（1）π0+（）﹣1﹣（）2＝1+2﹣3＝0；
（2）（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；
20．解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1，
解不等式3x﹣8≤﹣x，得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
21．解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，
故答案为：AC′∥BD；
（2）EB与ED相等．
由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴BE＝DE．
22．解：（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5＝30，这组数据的众数为10元；
故答案为：30，10；
（2）这组数据的平均数为＝12（元）；
（3）估计该校学生的捐款总数为600×12＝7200（元）．
23．解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，
∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，
∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．
24．解：设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（30﹣x）个零件，
由题意得：＝，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，
则30﹣18＝12（个）．
答：甲每小时做18个零件，则乙每小时做12个零件．
25．解：（1）∵OA＝2，∠AOC＝45°，
∴A（2，2），
∴k＝4，
∴y＝；
（2）四边形OABC是平行四边形OABC，
∴AB⊥x轴，
∴B的横纵标为2，
∵点D是BC的中点，
∴D点的横坐标为1，
∴D（1，4）；
26．解：（1）有三个Rt△其面积分别为ab，ab和c2．
直角梯形的面积为（a+b）（a+b）．
由图形可知：（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2
整理得（a+b）2＝2ab+c2，a2+b2+2ab＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
故结论为：直角长分别为a、b斜边为c的直角三角形中a2+b2＝c2．
（2）n行n列的棋子排成一个正方形棋子个数为n2，每层棋子分别为1，3，5，7，…，2n﹣1．
由图形可知：n2＝1+3+5+7+…+2n﹣1．
故答案为1+3+5+7+…+2n﹣1．
（3）①如图4，当n＝4，m＝2时，y＝6，
如图5，当n＝5，m＝3时，y＝9．
②方法1．对于一般的情形，在n边形内画m个点，第一个点将多边形分成了n个三角形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加2部分，故可得y＝n+2（m﹣1）．
方法2．以△ABC的二个顶点和它内部的m个点，共（m+3）个点为顶点，可把△ABC分割成3+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．以四边形的4个顶点和它内部的m个点，共（m+4）个点为顶点，可把四边形分割成4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以n边形的n个顶点和它内部的m个点，共（m+n）个点作为顶点，可把原n边形分割成n+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故可得y＝n+2（m﹣1）．
故答案为：①6，3；②n+2（m﹣1）．
27．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）
∴﹣1﹣b+3＝
解得：b＝2
故答案为：2．
（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．
∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
当x＝0时y＝3，
∴C（0，3）
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0），B（3，0）
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∵点D为OC的中点，
∴D（0，）
∴直线BD的解析式为y＝﹣+，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t+），H（t，0）
∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（﹣x+）＝﹣t+，NH＝﹣t+
∴MN＝NH
∵PM＝MN
∴﹣t2+3t＝﹣t+
解得：t1＝，t2＝3（舍去）
∴P（，）
∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．
（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E
∵OB＝3，OD＝，∠BOD＝90°
∴BD＝＝
∴cs∠OBD＝
∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F
∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°
∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°
∴∠EPQ＝∠OBD，即cs∠EPQ＝cs∠OBD＝
在Rt△PQE中，cs∠EPQ＝
∴PQ＝PE
在Rt△PFR中，cs∠RPF＝
∴PR＝PF
∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB＝BQ•PQ，S△QRB＝BQ•QR
∴PQ＝2QR
设直线BD与抛物线交于点G
∵﹣+＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2＝﹣
∴点G横坐标为﹣
设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，﹣t+）
∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（﹣t+）|＝|﹣t2+t+|
①若﹣＜t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，
∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2+t+
∵PQ＝2QR
∴PQ＝PR
∴PE＝•PF，即6PE＝5PF
∴6（﹣t2+t+）＝5（﹣t2+2t+3）
解得：t1＝2，t2＝3（舍去）
∴P（2，3）
②若﹣1＜t＜﹣，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，
此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．
③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，
∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE＝﹣t+﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣t﹣
∵PQ＝2QR
∴PQ＝2PR
∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF
∴2（t2﹣t﹣）＝5（t2﹣2t﹣3）
解得：t1＝﹣，t2＝3（舍去）
∴P（﹣，﹣）
综上所述，点P坐标为（2，3）或（﹣，﹣）．
28．解：（1）①半径为1的圆的宽距离为1，故答案为1．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．
在Rt△ODC中，OC＝＝＝
∴OP+OC≥PC，
∴PC≤1+，
∴这个“窗户形“的宽距为1+．
故答案为1+．
（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是图中正方形AEBF，面积为2．
②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．
∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，
∴当d＝5时．AM＝4，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
当d＝8时．AM＝7，
∴AT＝＝2，此时M（2﹣1，2），
∴满足条件的点M的横坐标的范围为2﹣1≤x≤2﹣1．
当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为﹣2+1≤x﹣2+1．