2019年江苏省苏州市中考数学试卷与答案

2019年江苏省苏州市中考数学试卷

一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)

1．5的相反数是（　　）

A． B．﹣ C．5 D．﹣5

2．有一组数据：2，2，4，5，7，这组数据的中位数为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．7

3．苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（　　）

A．0.26×108 B．2.6×108 C．26×106 D．2.6×107

4．如图，已知直线a∥b，直线c与直线a，b分别交于点A，B．若∠1＝54°，则∠2等于（　　）

A．126° B．134° C．136° D．144°

5．如图，AB为⊙O的切线，切点为A连接AO、BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与⊙O交于点D，连接AD．若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为（　　）

A．54° B．36° C．32° D．27°

6．小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝

7．若一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则不等式kx+b＞1的解为（　　）

A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1

8．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度是1.5m．测得教学楼的顶部A处的仰角为30°．则教学楼的高度是（　　）

A．55.5m B．54m C．19.5m D．18m

9．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△ABO沿点A到点C的方向平移，得到△A'B'O'．当点A'与点C重合时，点A与点B'之间的距离为（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

10．如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB．过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E．若DE＝1，则△ABC的面积为（　　）

A．4 B．4 C．2 D．8

二、填空题：(本大题共8小题，每小题3分，共24分．)

11．计算：a2•a3＝　   　．

12．因式分解：x2﹣xy＝　   　．

13．若在实数范围内有意义，则x的取值范围为　   　．

14．若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为　   　．

15．“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形．该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为　   　cm（结果保留根号）．

16．如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方体，从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为　   　．

17．如图，扇形OAB中，∠AOB＝90°．P为弧AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C，PC与AB交于点D．若PD＝2，CD＝1，则该扇形的半径长为　   　．

18．如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为　   　cm2（结果保留根号）．

三、解答题；本大题共10小题，共76分．

19．（5分）计算：（）2+|﹣2|﹣（π﹣2）0

20．（5分）解不等式组：

21．（6分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中，x＝﹣3．

22．（6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片，4张卡片的正面分别标有数字1，2，3，4，这些卡片除数字外都相同，将卡片搅匀．

（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是　   　；

（2）先从盒了中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）．

23．（8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出），请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；

（2）m＝　   　，n＝　   　；

（3）若该校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人？

24．（8分）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．

（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．

25．（8分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，求的值．

26．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．

（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD＝，求sin∠CDA的值．

27．（10分）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝2cm．如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着A→B→C的方向匀速运动（不包含点C）．设动点M的运动时间为t（s），△APM的面积为S（cm2），S与t的函数关系如图②所示．

（1）直接写出动点M的运动速度为　   　cm/s，BC的长度为　   　cm；

（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动，同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着D→C→B的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v（cm/s）．已知两动点M，N经过时间x（s）在线段BC上相遇（不包含点C），动点M，N相遇后立即同时停止运动，记此时△APM与△DPN的面积分别为S1（cm2），S2（cm2）

①求动点N运动速度v（cm/s）的取值范围；②试探究S1•S2是否存在最大值，若存在，求出S1•S2的最大值并确定运动时间x的值；若不存在，请说明理由．

28．（10分）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；

（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．

2019年江苏省苏州市中考数学试卷答案

1． D．2． B．3． D．4． A．5． D．6． A．7． D．8． C．9． C．10． B．

11． a5．12． x（x﹣y）．13． x≥6．14． 5．15． ．16． ．17． 5．18．（10）．

19．解：原式＝3+2﹣1＝4．

20．解：解不等式x+1＜5，得：x＜4，

解不等式2（x+4）＞3x+7，得：x＜1，

则不等式组的解集为x＜1．

21．解：原式＝÷（﹣）

＝÷

＝•

＝，

当x＝﹣3时，

原式＝＝＝．

22．解：（1）从盒子中任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是为＝，

故答案为：．

（2）根据题意列表得：

由表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2张卡片标有数字之和大于4的有8种结果，

所以抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率为＝．

23．解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为30÷20%＝150（人），

航模的人数为150﹣（30+54+24）＝42（人），

补全图形如下：

（2）m%＝×100%＝36%，n%＝×100%＝16%，

即m＝36、n＝16，

故答案为：36、16；

（3）估计该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有1200×16%＝192（人）．

24．（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，

∴∠BAC＝∠EAF．

∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，

∴AC＝AF．

在△ABC与△AEF中，

，

∴△ABC≌△AEF（SAS），

∴EF＝BC；

（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，

∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，

∴∠FAG＝∠BAE＝50°．

∵△ABC≌△AEF，

∴∠F＝∠C＝28°，

∴∠FGC＝∠FAG+∠F＝50°+28°＝78°．

25．解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．

∵OA＝AB，AH⊥OB，

∴OH＝BH＝OB＝2，

∴AH＝＝6，

∴点A的坐标为（2，6）．

∵A为反比例函数y＝图象上的一点，

∴k＝2×6＝12．

（2）∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，

∴BC＝＝3．

∵AH∥BC，OH＝BH，

∴MH＝BC＝，

∴AM＝AH﹣MH＝．

∵AM∥BC，

∴△ADM∽△BDC，

∴＝＝．

26．解：（1）∵点D是中点，OD是圆的半径，

∴OD⊥BC，

∵AB是圆的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴AC∥OD；

（2）∵，

∴∠CAD＝∠DCB，

∴△DCE∽△DCA，

∴CD2＝DE•DA；

（3）∵tan∠CAD＝，

∴△DCE和△DAC的相似比为：，

设：DE＝a，则CD＝2a，AD＝4a，AE＝3a，

∴＝3，

即△AEC和△DEF的相似比为3，

设：EF＝k，则CE＝3k，BC＝8k，

tan∠CAD＝，

∴AC＝6k，AB＝10k，

∴sin∠CDA＝．

27．解：（1）∵t＝2.5s时，函数图象发生改变，

∴t＝2.5s时，M运动到点B处，

∴动点M的运动速度为：＝2cm/s，

∵t＝7.5s时，S＝0，

∴t＝7.5s时，M运动到点C处，

∴BC＝（7.5﹣2.5）×2＝10（cm），

故答案为：2，10；

（2）①∵两动点M，N在线段BC上相遇（不包含点C），

∴当在点C相遇时，v＝＝（cm/s），

当在点B相遇时，v＝＝6（cm/s），

∴动点N运动速度v（cm/s）的取值范围为cm/s＜v≤6cm/s；

②过P作EF⊥AB于F，交CD于E，如图3所示：

则EF∥BC，EF＝BC＝10，

∴＝，

∵AC＝＝5，

∴＝，

解得：AF＝2，

∴DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，PF＝＝4，

∴EP＝EF﹣PF＝6，

∴S1＝S△APM＝S△APF+S梯形PFBM﹣S△ABM＝×4×2+（4+2x﹣5）×3﹣×5×（2x﹣5）＝﹣2x+15，

S2＝S△DPM＝S△DEP+S梯形EPMC﹣S△DCM＝×2×6+（6+15﹣2x）×3﹣×5×（15﹣2x）＝2x，

∴S1•S2＝（﹣2x+15）×2x＝﹣4x2+30x＝﹣4（x﹣）2+，

∵2.5＜＜7.5，在BC边上可取，

∴当x＝时，S1•S2的最大值为．

28．解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a

令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0

解得x1＝a，x2＝1

由图象知：a＜0

∴A（a，0），B（1，0）

∵s△ABC＝6

∴

解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）

（2）设直线AC：y＝kx+b，

由A（﹣3，0），C（0，3），

可得﹣3k+b＝0，且b＝3

∴k＝1

即直线AC：y＝x+3，

A、C的中点D坐标为（﹣，）

∴线段AC的垂直平分线解析式为：y＝﹣x，

线段AB的垂直平分线为x＝﹣1

代入y＝﹣x，

解得：y＝1

∴△ABC外接圆圆心的坐标（﹣1，1）

（3）

作PM⊥x轴，则

＝

∵

∴A、Q到PB的距离相等，∴AQ∥PB

设直线PB解析式为：y＝x+b

∵直线经过点B（1，0）

所以：直线PB的解析式为y＝x﹣1

联立

解得：

∴点P坐标为（﹣4，﹣5）

又∵∠PAQ＝∠AQB

可得：△PBQ≌△ABP（AAS）

∴PQ＝AB＝4

设Q（m，m+3）

由PQ＝4得：

解得：m＝﹣4，m＝﹣8（舍去）

∴Q坐标为（﹣4，﹣1）