第2章 特殊三角形 浙教版数学八年级上册单元试卷(含解析)

这是一份第2章 特殊三角形 浙教版数学八年级上册单元试卷(含解析)，共29页。
第2章
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )

A. A B. B C. C D. D
2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A. a=1，b=2，c=3 B. a=4，b=2，c=3
C. a=4，b=2，c=5 D. a=4，b=5，c=3
3. 有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是( )

A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
5. 如图，已知D为△ABC边AB中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ）

A. 65° B. 50° C. 60° D. 57．5°
6. 如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是(　　)

A 2 B. C. D. 2
7. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.

8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）

A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
10. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是( )

A. ② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题(每小题3分，共30分)
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝___．

12. 等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是_______cm．
13. 如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=_______°．

14. 如图，的三边 的长分别为，其三条角平分线交于点，则=______．

15. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度．

16. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是_________．

17. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是_____．

18. 如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是_____．

19. 按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=___．

20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处．若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是______．

三、解答题(共40分)
21. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
​
22. 如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．

23. 如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.

(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．
(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE面积之差．
24. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.

（1）如图1， 当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.
25. 【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．
（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．




第2章
一、选择题(每小题3分，共30分)
1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )

A A B. B C. C D. D
【答案】A
【解析】
试题解析：根据轴对称的概念得：
A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选A．
2. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　）
A. a=1，b=2，c=3 B. a=4，b=2，c=3
C. a=4，b=2，c=5 D. a=4，b=5，c=3
【答案】D
【解析】
试题分析：A．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
B．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
C．∵，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；
D．∵，∴能构成直角三角形，故本选项正确．
故选D．
考点：勾股定理的逆定理．

3. 有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．其中逆命题是真命题的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
试题解析：①逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题；
②逆命题是：周长相等的三角形时全等三角形，是假命题；
③逆命题是：相等的角是直角，是假命题；
④逆命题是：相等的角对相等的边，是真命题．
故真命题有2个，
故选B．
4. 如图，AB∥CD，AD＝CD，∠1＝70°，则∠2的度数是( )

A. 20° B. 35° C. 40° D. 70°
【答案】C
【解析】
试题分析：∵AB∥CD，∴∠ACD=∠1=70°．∵AD=CD，∴∠DAC=∠ACD=70°，∴∠2=180°﹣∠DAC﹣∠ACD=180°﹣70°﹣70°=40°．故选C．
考点：1．平行线的性质；2．等腰三角形的性质．

5. 如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于（ ）

A. 65° B. 50° C. 60° D. 57．5°
【答案】B
【解析】
试题分析：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD=DF，∵D是AB边的中点，∴AD=BD，
∴BD=DF，∴∠B=∠BFD，∵∠B=65°，∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣65°﹣65°=50°．
考点：翻折变换（折叠问题）

6. 如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB＝60°，CP＝2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是(　　)

A. 2 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．
【详解】解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴∠AOP=∠COP=30°，
∵CP∥OA，
∴∠AOP=∠CPO，
∴∠COP=∠CPO，
∴OC=CP=2，
∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，
∴∠CPE=30°，
∴CE=CP=1，
∴PE=，
∴OP=2PE=2，
∵PD⊥OA，点M是OP的中点，
∴DM=OP=．
故选C．
考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
7. 如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1=4，S2=9，S3=8，S4=10，则S=________.

【答案】31
【解析】
【分析】
利用勾股定理,根据图形得到S+S+ S3+ S4=S,求出即可.
【详解】解:所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,
S= S+S+ S3+ S4=9+4+8+10=31
故答案为:31.
【点睛】此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线.故①正确.
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°.
又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°.故②正确.

③∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD.∴点D在AB的中垂线上.故③正确.
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，∴CD=AD.
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC•CD=AC•AD.
∴S△ABC=AC•BC=AC•AD=AC•AD.
∴S△DAC：S△ABC．故④正确.
综上所述，正确的结论是：①②③④，，共有4个．故选D.
9. 如图，等边△ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，F是边AD上的动点，E是边AC上一点，若AE=2，则EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为（ ）

A. 15° B. 22.5° C. 30° D. 45°
【答案】C
【解析】
试题解析：过E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，
∴EC=2=AE，
∴AM=BM=2，
∴AM=AE，
∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形，
∴AD⊥BC，
∵EM∥BC，
∴AD⊥EM，
∵AM=AE，
∴E和M关于AD对称，
连接CM交AD于F，连接EF，
则此时EF+CF的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，AC=BC，
∵AM=BM，
∴∠ECF=∠ACB=30°，
故选C．
10. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠ADC＋∠ABC＝180°，有下列结论：①CD＝CB；②AD＋AB＝2AE；③∠ACD＝∠BCE；④AB－AD＝2BE，其中正确的是( )

A. ② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】
在EA上截取EF=BE，连接CF，根据“AC平分∠BAD”和“∠ADC＋∠ABC＝180°”证明出△ACD≌△ACF，故选项①正确；由①可知，AD=AF，再根据线段间的和差关系可得：AD＋AB＝2AE，AB－AD＝2BE，故选项②④正确.
【详解】在EA上截取EF=BE，连接CF，

∵CE⊥AB，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠B，
∵∠AFC+∠CFB=180°，∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠D=∠AFC，
∵AC平分∠BAD，
即∠DAC=∠FAC，
在△ACD和△ACF中，
，
∴△ACD≌△ACF（AAS），
∴CD=CF，
∴CD=CB，
故①正确；
∴AD=AF，
∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE．
故②正确；
根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE，
故③错误；
AB-AD=AB-AF=BF=2BE，
故④正确．
其中正确的是①②④．
故选C．
【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，需要熟练掌握全等三角形的判定与性质，此外找出线段之间的和差关系是解决本题的关键.
二、填空题(每小题3分，共30分)
11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线．若∠B＝60°，则∠BAD＝___．

【答案】30°
【解析】
试题解析：∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD是中线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°.
12. 等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是_______cm．
【答案】8
【解析】
如图，AD是BC边上的高线．∵AB=AC=10cm，BC=12cm，∴BD=CD=6cm，∴在直角△ABD中，由勾股定理得到：AD= = =（8cm）．故答案为8．

13. 如图，在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，如果DE垂直平分BC，那么∠A=_______°．

【答案】87．
【解析】
试题分析：∵在△ABC中，∠C=31°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，∴∠DBE=∠ABC=（180°﹣31°﹣∠A）=（149°﹣∠A），∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，∴∠DBE=∠C，∴∠DBE=∠ABC=（149°﹣∠A）=∠C=31°，∴∠A=87°．故答案为87．
考点：线段垂直平分线的性质．
14. 如图，的三边 的长分别为，其三条角平分线交于点，则=______．

【答案】
【解析】
【分析】
首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，

∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）
=AB：BC：AC=40：50：60=．
故答案为：．
【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
15. 如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=________度．

【答案】52
【解析】
分析：因AC=AD=DB，所以可设∠B=x°，即可表示∠BAD=x°，∠ADC=∠ACD=2x°；
根据三角形的内角和等于180°，列方程求得x的值，便可得到∠ADC的度数.
详解：∵AC=AD=DB，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADC=∠C=2∠B.
设∠B=x°，则∠C=2x°.
∵在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+102=180.
解得：x=26.
∴∠ADC=2x=52°.
故答案为52.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质及三角形内角和的问题，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角的性质.
16. 如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是_________．

【答案】31.5
【解析】
如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F,
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴OE=OD=OC=3，
∴S△ABC= S△ABO +S△BCO +S△ACO
=ABOE+BCOD+ACOF
=OD(AB+BC+AC)
=
=31.5.

17. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AB上移动，则CP的最小值是_____．

【答案】4.8
【解析】
【分析】
作BC边上的高AF，利用等腰三角形的三线合一的性质求BF＝3，利用勾股定理求得AF的长，利用面积相等即可求得AB边上的高CP的长．
【详解】解：如图，作AF⊥BC于点F，作CP⊥AB于点P，
根据题意得此时CP的值最小；
解：作BC边上的高AF，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BF＝CF＝3，
∴由勾股定理得：AF＝4，
∴S△ABC＝AB•PC＝BC•AF＝×5CP＝×6×4
得：CP＝4.8
故答案4.8．

【点睛】此题主要考查直角三角形的性质，解题的关键是熟知勾股定理及三角形的面积公式的运用.
18. 如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做△ABC与△A′B′C′，现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M，绕中点M转动上面的三角尺ABC，使其直角顶点C恰好落在三角尺A′B′C′的斜边A′B′上．当∠A＝30°，AC＝10时，两直角顶点C，C′间的距离是_____．

【答案】5
【解析】
【分析】
连接CC1，根据M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，得出CM=A1M=C1M=AC=5，再根据∠A1=∠A1CM=30°，得出∠CMC1=60°，△MCC1为等边三角形，从而证出CC1=CM，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接CC1，
∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M，
∴M是AC、A1C1的中点，AC=A1C1，
∴CM=A1M=C1M=AC=5，
∴∠A1=∠A1CM=30°，
∴∠CMC1=60°，
∴△CMC1为等边三角形，
∴CC1=CM=5，
∴CC1长为5．
故答案为5．

考点：等边三角形的判定与性质．
19. 按如图方式作正方形和等腰直角三角形．若第一个正方形的边长AB=1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，…，则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和Sn=___．

【答案】
【解析】
试题分析：观察图形，根据正方形的四条边相等和等腰直角三角形的腰长为斜边长的倍，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据规律解题即可：
∵第一个正方形的边长为1，
第2个正方形的边长为（）1=，
第3个正方形的边长为（）2=，
…，
第n个正方形的边长为，
∴第n个正方形的面积为：．
∴第n个等腰直角三角形的面积为：．
∴第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是BC边上的点，CD＝1，将△ACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处．若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是______．

【答案】1+
【解析】
【分析】
【详解】连接CE，交AD于M，
∵沿AD折叠C和E重合，∴∠ACD=∠AED=90°，AC=AE，∠CAD=∠EAD．
∴AD垂直平分CE，即C和E关于AD对称，CD=DE=1．
∴当P和D重合时，PE+BP的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DE=BC+BE．
∵∠DEA=90°，∴∠DEB=90°．
∵∠B=60°，DE=1，∴BE=，BD=，即BC=1+．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠CAB=30°．
∴AB=2BC=2×（1+）=2+．AC=BC=+2．
∴BE=AB﹣AE=2+﹣（+2）=．
∴△PEB的周长的最小值是BC+BE=1++=1+．

三、解答题(共40分)
21. 如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
​
【答案】证明见解析
【解析】
试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
试题解析：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.

22. 如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．

【答案】△DEF是等边三角形
【解析】
试题分析：根据已知条件利用角与角之间的关系来求得△DEF的各角分别为60度，从而得出其是一个等边三角形．
试题解析：△DEF是等边三角形．理由如下：
∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，∠ADF=∠CFE=90°，
∴∠AFD=30°，
∴∠DFE=180°－30°－90°=60°.
同理，∠FDE=∠DEF=60°.
∴△DEF是等边三角形．
23. 如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.

(1)求证：∠1＝∠2.
(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．
(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【解析】
试题分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE，然后根据等边对等角证明即可；
（2）利用“HL”证明△OCE和△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上证明．
（3）分别求出ΔOCD和ΔCDE的面积即可求出△OCD与△CDE的面积之差．
试题解析：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴CE=DE，∴∠1=∠2.
(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，
∵
∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．
∴OC=OD.
又∵CE=DE，
∴OE是线段CD的垂直平分线．
(3)∵∠1=30°，∠OCE=90°，
∴∠OCD=60°.
∵OC=OD，
∴△OCD是边长为2的等边三角形，
∴CD=OC=2，∠COD=60°，
∴∠COE=∠DOE=∠COD=30°，
∴OE=2CE
设CE=x，则OE=2x.
由勾股定理，得(2x)2=x2＋22，
解得x=，即CE=，OE=.
∵∠1=30°，∠EFC=90°，
∴EF=CE=，∴OF=OE－EF=，
∴S△OCD－S△CDE=·CD·OF－·CD·EF=
24. 已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.

（1）如图1， 当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；
（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=，求此时线段CF的长（直接写出结果）.
【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）．
【解析】
试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF且DF⊥BF；
（3）延长DF交BA于点H，先证明△DEF≌△HBF，得到DE=BH，DF=FH，根据旋转条件可以△ADH为直角三角形，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，AC= ，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH，再求出DF，由DF=BF，求出得CF的值．
试题解析：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE. ∴DF=CF．
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°.
∵BF=DF，∴∠DBF=∠BDF.
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，∴∠DFE=2∠DBF.
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°.
∴DF=CF，且DF⊥CF．
（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：
如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．
∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．
∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．
∵AD=DE，∴AD=GB.
∵AC=BC，∴AC-AD="BC-GB." ∴DC=GC．
∵∠ACB=90°，∴△DCG是等腰直角三角形.
∵DF=GF，∴DF=CF，DF⊥CF．

（3）如图，延长DF交BA于点H，
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AC=BC，AD=DE．
∴∠AED=∠ABC=45°.
∵由旋转可以得出，∠CAE=∠BAD=90°，
∵AE∥BC，∴∠AEB=∠CBE. ∴∠DEF=∠HBF．
∵F是BE的中点，∴EF="BF." ∴△DEF≌△HBF. ∴ED=HB.
∵AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=4.
∵AD=1，∴ED=BH=1.∴AH=3.
在Rt△HAD中，由勾股定理，得DH=，
∴DF=，∴CF=.
∴线段CF的长为.

考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理．
25. 【问题探究】
（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
【深入探究】
（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．
（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．

【答案】(1)BD=CE；(2) cm；(3)(5-3)cm
【解析】
试题分析：（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；
（3）在线段AC右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．
试题解析：解：（1）BD=CE．
理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；
（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=3，∴BE==（不化简不必扣分），∠AEC=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=；
（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=3，BE==，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=1，∴BD=CE==（cm）．

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．变式探究．