第2章 浙教版数学八年级上册素养综合检测(含解析)

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第2章 • 素养综合检测卷(考查范围:第2章　时间:60分钟　满分:100分)一、选择题(每小题4分,共32分)1. 【跨学科·语文】甲骨文是中国的一种古代文字,下列是“北”“比”“鼎”“射”四个字甲骨文的大致写法,其中不是轴对称图形的是(　　)　　　　　　 A         B           C          D2. (2023浙江杭州大关中学联考)在△ABC中,它的三边长分别为a,b,c,条件:①∠A=∠C-∠B;②∠A=∠B=2∠C;③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④a∶b∶c=1∶∶中,能确定△ABC是直角三角形的有(　　)A. 1个　　　　　B. 2个　　　　　C. 3个　　　　　D. 4个3. 【新定义试题】(2023浙江杭州拱墅月考)若一个等腰三角形的一条边长是另一条边长的k倍,我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”.如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”,且周长为18 cm,则该等腰三角形的底边长为(　　)A. 12 cm　　　　　B. 12 cm或2 cm　　　　　C. 2 cm　　　　　 D. 4 cm或12 cm4. 【一题多解】(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中)如图,在△ABC中,点D在边BC上,且满足AB=AD=DC,过点D作DE⊥AD,交AC于点E.设∠BAD=α,∠CAD=β,∠CDE=γ,则(　　)A. 2α+3β=180°　　　　　B. 3α+2β=180°　　　　C. β+2γ=90°　　　　　  D. 2β+γ=90°5. 【跨学科·科学】如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地2.5米(AB=2.5米),当人体进入感应器的感应范围时,感应门就会自动打开.一个身高为1.6米的学生CD正对门,走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米),感应门自动打开,则学生头顶离感应器的距离AD等于(　　)A. 1.2米　　　　B. 1.5米　　　　C. 2.0米　　　　D. 2.5米6. (2023浙江兰溪外国语中学期中)如图,△ABC中,AC=8,点D,E分别在BC,AC上,F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC,则EF的长是(　　)A. 3　　　　　B. 4　　　　　C. 5　　　　　D. 67. (2023浙江宁波海曙雅戈尔中学期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=9,AB=15,则CE的长为(　　)A. 4　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D. 58. 【数学文化】(2023浙江余姚梨洲中学期中)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在中国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两个正方形按图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出(　　)    图①                 图②A. 直角三角形的面积　　　　　B. 最大正方形的面积C. 较小两个正方形重叠部分的面积　　　　　D. 最大正方形与直角三角形的面积差二、填空题(每小题4分,共24分)9. (2023浙江杭州中学期中)命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是　　　　　　　　　　.它是　　　　命题(填“真”或“假”).10. 【新考法】(2022浙江嘉兴中考)小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图,请帮他在括号内填上一个适当的条件:　　　　.11. (2022湖南株洲中考)如图所示,点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=30°),OM⊥AB于点M,ON⊥BC于点N,若OM=ON,则∠ABO=　　　　度.12. (2023浙江杭州十三中教育集团检测)如图,在等边三角形ABC的边AB,AC上各取一点D,E,连结CD,BE交于点F,使∠EFC=60°,若BD=1,CE=2,则BC=　　　　.13. 【新独家原创】如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线l1与l2分别交BC于点D,E,且l1与l2交于点O,过点O作OF⊥BC于点F,BF=5 cm,则△ADE的周长为　　　　.14. (2023浙江宁波鄞州七校联考)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,BD是∠ABC的平分线.(1)CD=　　　　cm; (2)若点E是线段AB上的一个动点,从点B以每秒1 cm的速度向A运动,　　　　秒时△EAD是直角三角形. 三、解答题44分)15. (2023浙江杭州大关中学、风帆中学、春蕾中学联考)(8分)如图,网格中每个小正方形的边长都为1,点A、B、C均在格点上.(1)画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C';(2)求△ABC的面积.                                    16. (2023浙江杭州观成教育集团期中)(10分)如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,E是AC上一点,D是BC延长线上一点,连结AD.(1)若AD=BE,求证:∠CBE=∠CAD;(2)若BC=2,△ABD是等腰三角形,求CD的长. 17. (2022浙江杭州中考)(12分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连结CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°(在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半).(1)求证:CE=CM;(2)若AB=4,求线段FC的长.    18. 【项目式学习试题】(2023浙江宁波海曙雅戈尔中学期中)(14分)【概念学习】规定:如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角,那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形是“等角三角形”,我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.【理解概念】(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,请写出图中的“等角三角形”;【概念应用】(2)如图2,在△ABC中,CD为角平分线,∠A=40°,∠B=60°.求证:CD为△ABC的“等角分割线”;(3)在△ABC中,∠A=42°,CD是△ABC的“等角分割线”,直接写出∠ACB的度数.                      图1                图2
答案全解全析1. B　根据轴对称图形的概念可得,选项B中的图形不是轴对称图形.故选B.2. A　∵∠A=∠C-∠B,∴∠A+∠B=∠C,∵∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故①符合题意;∵∠A=∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C+2∠C+∠C=180°,∴∠C=36°,∴∠A=∠B=72°,∴△ABC不是直角三角形,故②不符合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=180°×=75°,∴△ABC不是直角三角形,故③不符合题意;∵a∶b∶c=1∶∶,∴设a=k,b=k,c=k,∴a2+b2=k2+(k)2=3k2,c2=(k)2=2k2,∴a2+b2≠c2,∴△ABC不是直角三角形,故④不符合题意.∴能确定△ABC是直角三角形的条件有1个.故选A.3. C　设该等腰三角形较短边的长为x cm(x>0),则较长边的长为4x cm.①当腰长为x cm时,∵x+x<4x,∴x,x,4x不能组成三角形;②当腰长为4x cm时,4x,4x,x能够组成三角形,∵4x+4x+x=18,∴x=2,∴该等腰三角形的底边长为2 cm.故选C.4. D　解法一(利用直角三角形的性质):∵AD=DC,∴∠C=∠CAD=β,∵DE⊥AD,∴∠ADE=90°,∴∠CAD+∠AED=90°,∵∠CDE=γ,∠AED=∠CDE+∠C,∴∠AED=γ+β,∴2β+γ=90°.故选D.解法二(利用平角的定义):∵AD=DC,∴∠C=∠CAD=β,∴∠ADB=∠C+∠CAD=2β,∵DE⊥AD,∴∠ADE=90°,∴∠ADB+∠CDE=90°,即2β+γ=90°.故选D.5. B　如图,过点D作DE⊥AB于点E,易知BE=CD=1.6米,ED=BC=1.2米,∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9(米),在Rt△ADE中,AD2=AE2+DE2,∴AD=1.5米.故选B.                          6. B　如图,连结AF,∵AB= AD,F是BD的中点,∴AF⊥BD,∴∠AFD=90°,∴∠EAF+∠C=90°,∠AFE+∠EFC=90°,∵EF=EC,∴∠EFC=∠C,∴∠EAF=∠AFE,∴EA=EF,∴EF=EA=EC=AC=4.故选B.7. B　过点F作FG⊥AB于点G,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠CAF+∠CFA=90°,∠CDA=90°,∴∠FAD+∠AED=90°,∵AF平分∠CAB,∴∠CAF=∠FAD,∴∠CFA=∠AED=∠CEF,∴CE=CF,∵AF平分∠CAB,∠ACF=∠AGF=90°,∴FC=FG,∵在Rt△ABC中,AC=9,AB=15,BC2=AB2-AC2,∴BC=12,在Rt△ACF和Rt△AGF中,∴Rt△ACF≌Rt△AGF(HL),∴AG=AC=9,∴BG=15-9=6,设CE=x,则FC=FG=x,∴BF=12-x,∵FG2+BG2=BF2,即x2+62=(12-x)2,解得x=,即CE=.故选B. 8. C　设直角三角形的斜边长为c,较长的直角边长为b,较短的直角边长为a,根据勾股定理得c2=a2+b2,∴阴影部分的面积=c2-b2-a(c-b)=a2-ac+ab=a(a+b-c),∵较小的两个正方形重叠部分的一边长=a-(c-b),其邻边长=a,∴较小的两个正方形重叠部分的面积=a·[a-(c-b)]=a(a+b-c)=阴影部分的面积,∴知道题图中阴影部分的面积,一定能求的是较小两个正方形重叠部分的面积.故选C.9. 答案　如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;真解析　该命题的条件为“一个三角形是直角三角形”,结论为“它斜边上的中线等于斜边的一半”,所以逆命题为“如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形”,它是真命题.10. 答案　∠B=60°(答案不唯一)解析　该题借助图形考查特殊三角形与三角形之间的关系,考查形式新颖.答案不唯一.如:根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可得∠B=60°.11. 答案　15解析　由题意知ON⊥BC,OM⊥AB,OM=ON,∴BO是∠ABC的平分线,∵∠ABC=30°,∴∠ABO=∠ABC=15°.12. 答案　3解析　∵△ABC为等边三角形,∴AB=CB=AC,∠A=∠ABC=60°,∴∠ABE+∠CBF=60°,又∵∠EFC=∠CBF+∠BCF=60°,∴∠ABE=∠BCF,在△ABE和△BCD中,∴△ABE≌△BCD (ASA),∴AE=BD,∴BC=AC=AE+CE=DB+CE=1+2=3.13. 答案　10 cm解析　连结OA,OB,OC,∵l1是AB边的垂直平分线,l2是AC边的垂直平分线,∴OA=OB,AD=BD,EA=EC,OA=OC,∴OB=OC,∴点O在线段BC的垂直平分线上,∵OF⊥BC,∴BC=2BF=10 cm,∴△ADE的周长=AD+AE+DE=BD+DE+EC=BC=10 cm.14. 答案　(1)3　(2)6或解析　(1)如图1,过点D作DE⊥AB于E,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB2=AC2+BC2,∴AB=10 cm,∵BC⊥AC,DE⊥BE,BD是∠ABC的平分线,∴CD=DE,∵S△ABD=AD·BC=AB·DE,∴设CD=DE=x cm,则(8-x)×6=10x,解得x=3,即CD=3 cm.   图1               图2(2)设t秒时△EAD是直角三角形,则BE=t cm.如图2,当ED⊥AD时,ED∥BC,∴∠CBD=∠BDE,∵BD为∠ABC的平分线,∴∠CBD=∠EBD,∴∠BDE=∠EBD,∴DE=BE=t cm,由(1)知CD=3 cm,∴AD=5 cm,在Rt△ADE中,由勾股定理得52+t2=(10-t)2,解得t=;当DE⊥AB时,由(1)得CD=DE,∵BD=BD,∴Rt△CBD≌Rt△EBD(HL),∴BE=BC=6 cm,∴t=6.综上,t=6或时△EAD是直角三角形.15. 解析　(1)如图,△A'B'C'即为所求作.(2)△ABC的面积=3×4-×1×2-×1×4-×3×3=4.5.16. 解析　(1)证明:∵△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ACD=∠ACB=90°,在Rt△BCE和Rt△ACD中,∴Rt△BCE≌Rt△ACD(HL),∴∠CBE=∠CAD.(2)当AB=AD时,∵AC⊥BD,∴CD=BC=2;当BD=AB时,在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,∴AB=,∴BD=AB=,∴CD=BD-BC=-2.不存在AD=BD的情况,∴CD的长为2或-2.17. 解析　(1)证明:∵∠ACB=90°,点M为边AB的中点,∴MC=MA=MB,∴∠MCA=∠A,∠MCB=∠B,∵∠A=50°,∴∠MCA=50°,∠MCB=∠B=40°,∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°,∵∠ACE=30°,∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°,∴∠MEC=∠EMC,∴CE=CM.(2)∵AB=4,∴CE=CM=AB=2,∵EF⊥AC,∠ACE=30°,∴EF=CE=1,在Rt△CEF中,FC2=CE2-EF2,∴FC=.18. 解析　(1)△ABC与△ACD,△ABC与△BCD,△ACD与△BCD是“等角三角形”.(2)证明:∵在△ABC中,∠A=40°,∠B=60°,∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80°,∵CD为角平分线,∴∠ACD=∠DCB=∠ACB=40°,∴∠ACD=∠A,∠DCB=∠A,∴CD=DA,∵在△DBC中,∠DCB=40°,∠B=60°,∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°,∴∠BDC=∠ACB,∵CD=DA,∠BDC=∠ACB,∠DCB=∠A,∠B=∠B,∴CD为△ABC的“等角分割线”.(3)∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.详解:当△ACD是等腰三角形,DA=DC时,∠ACD=∠A=42°,∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°;当△ACD是等腰三角形,DA=AC时,∠ACD=∠ADC=69°,∠BCD=∠A=42°,∴∠ACB=69°+42°=111°;不存在△ACD是等腰三角形,AC=CD的情况;当△BCD是等腰三角形,DC=BD时,∠ACD=∠BCD=∠B=46°,∴∠ACB=92°;当△BCD是等腰三角形,DB=BC时,∠BDC=∠BCD,设∠BDC=∠BCD=x,则∠B=180°-2x,则∠ACD=∠B=180°-2x,由题意得180°-2x+42°=x,解得x=74°,∴∠ACD=180°-2x=32°,∴∠ACB=106°;不存在△BCD是等腰三角形,DC=BC的情况.∴∠ACB的度数为84°或111°或92°或106°.