浙教版八年级上册2.2 等腰三角形一课一练

第2章　特殊三角形

2.2　等腰三角形

基础过关全练

知识点1　等腰三角形及有关概念

1.【一题多变】(2022江苏宿迁中考)若等腰三角形的两边长分别是

3 cm和5 cm,则这个等腰三角形的周长是(　　)

A.8 cm　　　　        B.13 cm

C.8 cm或13 cm　　　　D.11 cm或13 cm

[变式1]　已知等腰三角形的两边长分别为x、y,且满足|x-4|+(2x-y)2=0,则该三角形的周长为(　　)

A.12　　　　B.16　　　　C.20　　　　D.16或20

[变式2]　将一个长为20 cm的绳子围成一个等腰三角形,若已知一边长为4 cm,则这个等腰三角形的腰长是(　　)

A.4 cm　　　　       B.8 cm

C.4 cm或8 cm　　　　D.4 cm或12 cm

2.【新情境·微型机器人】如图所示,两个全等的等边三角形的边长为1 m,一个微型机器人由A点开始按A→B→C→D→B→E→A的顺序沿等边三角形的边循环运动,行走2 022 m停下,则这个微型机器人停在(　　)

A.点A处　　　　B.点B处

C.点C处　　　　D.点D处

3.【教材变式·P55T4】(2023浙江杭州第十四中学附属学校期中)等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成21 cm,12 cm两部分,则这个等腰三角形的腰长为　　　　.

知识点2　等腰三角形的轴对称性

4.下列说法:①等腰三角形是轴对称图形;②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线;③等腰三角形的对称轴至少有一条;④等边三角形的对称轴有三条.其中正确的有(　　)

A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个

5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AD=8 cm,BC=6 cm,点E、F是AD上的两点,则图中阴影部分的面积是(　　)

A.48 cm2　　　　B.24 cm2　　　　C.12 cm2　　　　D.6 cm2

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6.【易错题】如图,已知△ABC中,AB=3,AC=5,BC=7,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中有一个一边长为3的等腰三角形,则这样的直线最多可画(　　)

A.5条　　　　B.4条　　　　C.3条　　　　D.2条

7.(2021江苏扬州中考,6,★★☆)如图,在4×4的正方形网格中有两个格点A、B,连结AB,在网格中再找一个格点C,使得△ABC是等腰直角三角形,满足条件的格点C的个数是(　　)

A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5

8.(2021青海中考,3,★★☆)已知a,b是等腰三角形的两边长,且a,b满足+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为(　　)

A.8　　　　B.6或8　　　　C.7　　　　D.7或8

9.【新定义试题】(2022江苏苏州中考,12,★★☆)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为　　　　.

10.【分类讨论思想】(2023浙江温州永嘉崇德实验学校月考,15,★★☆)设a、b分别是等腰三角形的两边长,m是这个三角形的周长,当a、b、m满足方程组时,m的值是　　　　.

11.【新独家原创】如图,单位长度为1 cm的数轴上点A表示的数为-10,点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿着数轴向右运动,同时点Q从点O出发,以1 cm/s的速度沿着射线OB运动,设运动时间为

t s.

(1)当t=　　　　时,OP的长度为3 cm; 

(2)经过　　　s,△POQ是以PQ为底边的等腰三角形. 

12.【分类讨论思想】如图,在边长为4的正方形ABCD中,请画出三个以A为一个顶点,另外两个顶点在正方形ABCD的边上,且含边长为3的等腰三角形.(要求:画出示意图,并在长为3的边上标注数字3)

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13.【抽象能力】如图,在△ABC中,AB=AC=BC,△ABC所在的平面上有一点P(如图中所画的点P1),使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形,具有这样性质的点P有几个(包括点P1)?请在图中画出来.

14.【推理能力】【新独家原创】如图1,等腰△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,且DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.

(1)求证:DE=DF;

(2)如图2,过点C作CG⊥AB,垂足为G,则CG与DE之间存在着怎样的数量关系?请说明理由;

(3)如图3,若点D为BC延长线上任意一点,请你直接写出DE、DF、CG之间的数量关系.

图1         图2        图3

答案全解全析

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1.D　当腰长为3 cm时,∵3+3>5,∴能组成三角形,此时等腰三角形的周长为3+3+5=11(cm),当腰长为5 cm时,∵3+5>5,∴能组成三角形,此时等腰三角形的周长为5+5+3=13(cm),则这个等腰三角形的周长为11 cm或13 cm.故选D.

[变式1]　C　根据题意得x-4=0,2x-y=0,解得x=4,y=8.当腰长为4时,∵4+4=8,∴不能组成三角形;当腰长为8时,∵4+8>8,

∴能组成三角形.此时等腰三角形的周长=4+8+8=20.故选C.

[变式2]　B　当4 cm为腰长时,底边长为20-4×2=12 cm,

∵4+4<12,∴不能构成三角形;当4 cm为底边长时,腰长为×(20-4)=8 cm,∵4+8>8,∴能构成三角形.∴这个等腰三角形的腰长是8 cm.故选B.

2.A　由题意可得,微型机器人从点A开始行走1 m停在点B处,行走

2 m 停在点C处,行走3 m停在点D处,行走4 m停在点B处,行走

5 m停在点E处,行走6 m返回到点A处,∵2 022÷6=337,∴微型机器人行走2 022 m停在点A处.故选A.

3.答案　14 cm

解析　根据题意得等腰三角形的周长为21+12=33 cm,设腰长为

2x cm,则底边长为(33-4x)cm.①若2x+x=21,则x=7,则腰长为

14 cm,底边长为5 cm,∵14+5>14,∴符合题意.②若2x+x=12,则x=4,则腰长为8 cm,底边长为17 cm,∵8+8<17,∴不合题意,舍去.

∴这个等腰三角形的腰长为14 cm.

4.C　等腰三角形是轴对称图形,故①正确;等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线,故②错误;只有两条边相等的等腰三角形有1条对称轴,等边三角形是特殊的等腰三角形,有3条对称轴,故③④正确.故选C.

5.C　∵AD是BC边上的高,AB=AC,∴△ABC关于直线AD对称,

∴△CEF和△BEF关于直线AD对称,∴S△CEF=S△BEF,

∵S△ABC=BC·AD=×6×8=24(cm2),∴S阴影=S△ABC=×24=12(cm2).故选C.

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6.B　如图所示,当AF=AB=3,BA=BD=3,AE=AB=3,BG=AG时,都能得到符合题意的等腰三角形.故选B.

7.B　如图,当AB为等腰直角三角形的底边时,符合条件的点C不存在;当AB为等腰直角三角形的一条腰时,符合条件的点C有3个.故选B.

8.D　∵+(2a+3b-13)2=0,∴

解得当b为底边长时,三角形的三边长为2,2,3,则周长为2+2+3=7;当a为底边长时,三角形的三边长为2,3,3,则周长为2+3+3=8.∴等腰三角形的周长为7或8.故选D.

9.答案　6　

解析　∵△ABC是等腰三角形,底边BC=3,∴AB=AC,当AB=AC=2BC时,能构成三角形,∴△ABC是“倍长三角形”;当BC=2AB=2AC时,AB+AC=BC,不能构成三角形,不符合题意.

∴当等腰△ABC是“倍长三角形”时,腰AB的长为6.

10.答案　5或

解析　①当a为腰长,b为底边长时,2a+b=m,即b=m-2a,把b=m-2a代入方程组得,解得∴b=2,

∵1+1=2,∴不能构成三角形;

②当b为腰长,a为底边长时,2b+a=m,即a=m-2b,把a=m-2b代入方程组可得,解得∴a=,

∵,∴能构成三角形;

③当a=b时,把a=b代入方程组可得,解得∴底边长为2,

∵>2,∴能构成三角形.故m的值是5或.

11.答案　(1)或　(2)或10

解析　(1)根据题意可得,OA=10 cm,当点P在线段OA上时,OP=

3 cm,则PA=10-3=7(cm);当点P在AO的延长线上时,PA=10+3=13(cm).∵点P的运动速度为2 cm/s,∴t=7÷2=或t=13÷2=.

(2)根据题意可得,PA=2t cm,OQ=t cm,当点P在线段OA上时,OP=(10-2t)cm,在△POQ中,OP=OQ,则10-2t=t,解得t=;当点P在AO的延长线上时,OP=(2t-10)cm,在△POQ中,OP=OQ,则2t-10=t,解得t=10,∴经过或10 s,△POQ是以PQ为底边的等腰三角形.

12.解析　满足条件的图形如图所示(答案不唯一).

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13.解析　如图,在△ABC的边BC的垂直平分线上,有P1、P2、P3和P4四个点满足条件,同理,在边AB,AC的垂直平分线上也有四个点满足条件,易知三条垂直平分线都经过点P1,所以满足条件的点P共有4×3-2=10个.(画出了部分图形)

14.解析　(1)∵点D为BC的中点,

∴BD=CD,

在△ABD和△ACD中,

∴△ABD≌△ACD,∴∠BAD=∠CAD,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.

(2)CG=2DE.理由如下:

∵S△ABD=AB·DE,S△ACD=AC·DF,AB=AC,

∴S△ABD+S△ACD=AB(DE+DF),

∵DE=DF,∴S△ABD+S△ACD=AB·DE,

∵S△ABC=AB·CG,∴CG=2DE.

(3)CG=DE-DF.详解:如图,连结AD,

∵S△ABD=AB·DE,S△ACD=AC·DF,AB=AC,

∴S△ABC=S△ABD-S△ACD=AB(DE-DF),

∵S△ABC=AB·CG,

∴AB·CG=AB(DE-DF),∴CG=DE-DF.