初中数学浙教版八年级上册第2章 特殊三角形2.8 直角三角形全等的判定精练

第2章　特殊三角形

2.8　直角三角形全等的判定

基础过关全练

知识点1　用“HL”判定直角三角形全等

1.(2023浙江杭州翠苑中学期中)如图,BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还要添加条件(　　)

A.∠A=∠D　　　　B.∠B=∠C

C.AE=BF　　　　  D.AB=DC

2.(2023浙江杭州绿城育华学校期中)如图,△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,且DE⊥AB于点E,AE=AC,若BC=4,DE=1.5,则BD=　　　　.

3.【教材变式·P82作业题T2】如图所示,点M、A、N在同一条直线上,△ABC为等腰三角形,AB=AC,BM⊥MN,CN⊥MN,垂足分别为M,N,且BM=AN,则MN与BM,CN之间的数量关系为　　　　　　　　 .

4.(2022浙江杭州英特外国语学校期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=8 cm,则△BED的周长是　　　　.

知识点2　角平分线性质定理的逆定理

5.小明在学习了全等三角形的知识后,发现只用两把完全相同的直尺就可以作出一个角的平分线.如图,一把直尺的一边与射线OB重叠,另一把直尺的一边与射线OA重叠并且与第一把直尺交于点P,小明说:“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是(　　)  

A.角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等

D.以上均不正确

6.【新独家原创】如图,在△ABC中,BC=6,CD是AB边上的高,点E是CD上一点,已知DE=3,S△BEC=9,经测量∠DCB的度数为28°,则∠DBE的度数为(　　)

A.29°　　　　B.31°　　　　C.32°　　　　D.34°   

能力提升全练

7.(2023浙江嘉兴桐乡六中教育集团三校联考,7,★★☆)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,连结BE交AD于点F,若BF=AC,DF=DC,则∠1与∠2的和为(　　)

A.35°　　　　B.40°　　　　C.45°　　　　D.50°

8.【一题多变】(2022山东泰安中考,9,★★☆)如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,连结AP,若∠BPC=40°,则∠CAP=(　　)

A.40°　　　　B.45°　　　　C.50°　　　　D.60°

[变式]　如图,△ABC的内角∠ABC和外角∠EAC的平分线分别为BP,AP,且相交于点P,延长BA,BC,PM⊥BE,PN⊥BF,垂足分别为M,N,连结CP,则下列结论中正确的是　　　　.(填序号) 

①CP平分∠ACF;②∠ABC+2∠APC=180°;

③∠ACB=2∠APB;④S△PAC=S△APM+S△CPN.

9.【构造全等三角形】(2023浙江宁波余姚子陵中学期中改编,15,★★☆)如图,在△ABC中,高AE交BC于点E,若∠ABE+∠C=45°,CE=8,△ABC的面积为20,则AB的长为　　　　.

10.(2023江苏扬州宝应实验初级中学月考,27,★★☆)如图,△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E.

(1)求证:BD=CE;

(2)若AB=6 cm,AC=10 cm,求AD的长.

11.【一题多解】(2023浙江杭州安吉路实验学校期中,21,★★☆)在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D是AC边上一点,连结BD,EC⊥AC,且AE=BD,AE与BC交于点F.

(1)求证:CE=AD;

(2)当AD=CF时,求证:BD平分∠ABC.

素养探究全练

12.【推理能力】(2023浙江杭州中学期中)如图,在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高.

(1)如果BD=CE,那么△ABC是等腰三角形,请说明理由;

(2)取F为BC中点,连结DE、DF、EF,得到△DEF,G是ED中点,连结FG,求证:FG⊥DE;

(3)在(2)的条件下,如果∠A=60°,BC=16,求FG的长度.

答案全解全析

基础过关全练

1.D　添加AB=DC.∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠CFD=∠AEB=90°,在Rt△ABE和Rt△DCF中,∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).故选D.

2.答案　2.5

解析　∵DE⊥AB,∴∠AED=∠C=90°,∵AD=AD,AE=AC,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴DC=DE=1.5,∴BD=BC-CD=4-1.5=2.5.

3.答案　MN=BM+CN

解析　∵BM⊥MN,CN⊥MN,∴∠AMB=∠CNA=90°,

∵AB=AC,BM=AN,∴Rt△ABM≌Rt△CAN,∴AM=CN.

∵MN=AN+AM,∴MN=BM+CN.

4.答案　8 cm

解析　∵∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB,∴CD=DE,

在Rt△ACD和Rt△AED中,

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,

∴△BED的周长=DE+BD+BE=CD+BD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=8 cm.

5.A　根据题意可知,点P到射线OB的距离是直尺的宽度,点P到射线OA的距离也是直尺的宽度,∴点P到射线OB、OA的距离相等,

∴点P在∠BOA的平分线上(角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上),∴射线OP就是∠BOA的平分线.故选A.

6.B　过点E作EF⊥BC于点F(图略),∵S△BEC=BC·EF=9,

BC=6,∴EF=3,∵DE=3,∴DE=EF,∵CD是AB边上的高,

∴∠BDC=90°,∴∠DBC=90°-∠DCB=90°-28°=62°,

∵DE=EF,EF⊥BC,∠BDC=90°,∴BE平分∠ABC,

∴∠DBE=∠DBC=31°.故选B.

能力提升全练

7.C　∵AD⊥BC于点D,∴∠BDF=∠ADC=90°,

在Rt△BDF和Rt△ADC中,

∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL),∴∠DBF=∠2,BD=AD,∴∠DBA=∠DAB=45°,∴∠1+∠2=∠1+∠DBF=∠DBA=45°,

∴∠1与∠2的和为45°.故选C.

8.C　延长BA,过P作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,垂足分别为N,F,M,

设∠PCD=x°,∵CP平分∠ACD,

∴∠ACP=∠PCD=x°,PM=PN,

∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠PBC,PF=PN,∴PF=PM,

∵∠BPC=40°,∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°,

∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x°-2(x-40)°=80°,

∴∠CAF=100°,在Rt△PFA和Rt△PMA中,

∴Rt△PFA≌Rt△PMA(HL),∴∠FAP=∠PAC=50°.故选C.

[变式]　答案　①②③④

解析　①过点P作PD⊥AC于D,

∵BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC,

∴PM=PN,PM=PD,∴PM=PN=PD,

∴CP平分∠ACF,故①正确;

②∵PM⊥BE,PN⊥BF,

∴∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°,

∴∠ABC+∠MPN=180°,

在Rt△PAM和Rt△PAD中,

∴Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),∴∠APM=∠APD,

同理Rt△PCD≌Rt△PCN(HL),∴∠CPD=∠CPN,

∴∠MPN=2∠APC,∴∠ABC+2∠APC=180°,故②正确;

③∵AP平分∠CAE,BP平分∠ABC,

∴∠CAE=∠ABC+∠ACB=2∠PAM,∠PAM=∠ABC+∠APB,∴∠ACB=2∠APB,故③正确;

④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD,Rt△PCD≌Rt△PCN,

∴S△APD=S△APM,S△CPD=S△CPN,

∴S△APM+S△CPN=S△PAC,故④正确,

故答案为①②③④.

9.答案　5

解析　如图,以AC为边,点C为顶点作∠ACD=∠ACB,延长BA与CD交于点D,则∠BCD=2∠ACB,

∵∠ABE+∠ACB=45°,∴∠ABE+2∠ACB=90°,

即∠ABE+∠BCD=90°,∴∠D=90°,∵AE⊥BC,AD⊥DC,

CA平分∠BCD,∴AE=AD,在Rt△AEC和Rt△ADC中,

∴Rt△AEC≌Rt△ADC(HL),∴CD=CE=8,

∵S△ABC=AB·CD=AB×8=20,∴AB=5.

10.解析　(1)证明:如图,连结BP、CP,

∵点P在BC的垂直平分线上,∴BP=CP,

∵AP是∠DAC的平分线,PD⊥AB,PE⊥AC,∴DP=EP,

在Rt△BDP和Rt△CEP中,

∴Rt△BDP≌Rt△CEP(HL),∴BD=CE.

(2)在Rt△ADP和Rt△AEP中,

∴Rt△ADP≌Rt△AEP(HL),∴AD=AE,

∵AB=6 cm,AC=10 cm,BD=CE,

∴6+AD=10-AE,即6+AD=10-AD,∴AD=2 cm.

11.证明　(1)∵EC⊥AC,∠BAC=90°,

∴∠ACE=∠BAC=90°,

在Rt△AEC和Rt△BDA中,

∴Rt△AEC≌Rt△BDA(HL),∴CE=AD.

(2)证法一:设AE与BD交于点G(图略),

由(1)可得Rt△AEC≌Rt△BDA,

∴∠EAC=∠ABD,∠E=∠ADB,

由(1)得,CE=AD,

∵AD=CF,∴CE=CF,∴∠CFE=∠E,

∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFB=∠E,

∵∠E=∠ADB,∴∠AFB=∠ADB,

∵∠AGB=∠EAC+∠ADB,∠AGB=∠DBC+∠AFB,

∴∠EAC=∠DBC,

∵∠EAC=∠ABD,∴∠ABD=∠DBC,

∴BD平分∠ABC.

证法二:∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°,

∵EC⊥AC,∴∠ACE=90°,∴∠FCE=90°-∠ACB=45°,

由(1)得CE=AD,∵AD=CF,∴CE=CF,

∴∠CEF=∠CFE=67.5°,∴∠EAC=90°-67.5°=22.5°,

由(1)得Rt△AEC≌Rt△BDA,∴∠ABD=∠EAC=22.5°,

∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=22.5°,∴∠ABD=∠DBC,∴BD平分∠ABC.

素养探究全练

12.解析　(1)在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高,∴∠BDC=∠CEB=90°,

在Rt△BCD和Rt△CBE中,∴Rt△BCD≌Rt△CBE(HL),

∴∠BCD=∠CBE,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.

(2)证明:在△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高,∴∠BDC=∠CEB=90°,∵F是BC的中点,

∴EF=DF=BF=CF=BC,∴△DEF为等腰三角形,∵G是ED中点,∴FG⊥DE.

(3)∵EF=DF=BF=CF=BC,

∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB,

∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,

∴∠BFE+∠CFD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB)=120°,

∴∠EFD=60°,由(2)得△DEF为等腰三角形,

∴△DEF是等边三角形,∴DE=DF.

∵DF=BC=8,∴DG=DF=4,

∵FG2=DF2-DG2=48,∴FG=.