初中数学2.3 等腰三角形的性质定理课时训练

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第2章　特殊三角形2.3　等腰三角形的性质定理第2课时　等腰三角形的性质定理2基础过关全练知识点　等腰三角形的三线合一1.(2022广西梧州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(　　)A.∠ADC=90°　　　　B.DE=DFC.AD=BC　　　　　  D.BD=CD     2.(2023浙江杭州临平、余杭期中)如图,AD是等腰△ABC底边BC边上的中线,BE平分∠ABC,交AD于点E,AC=12,DE=3,则△ABE的面积是(　　)A.16　　　　B.18　　　　C.32　　　　D.363.【新情境·跷跷板】同学们都玩过跷跷板的游戏,下图是一个跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头A着地时,∠AOA'=50°,则当跷跷板的另一头B着地时,∠COB'等于(　　)A.25°　　　　B.50°　　　　C.65°　　　　D.130°4.【新考法】(2023浙江嘉兴桐乡六中教育集团三校联考)李老师在探究等腰三角形“三线合一”的性质时,部分板书如图所示,请帮他在横线上填一个适当的结论:　　　　　　.　                 ∵AB=AC,AD⊥BC,∴　　　　　.5.【教材变式·P61T4】在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,DE∥AB交AC于点E,若∠BAC=50°,则∠ADE的度数为　　　　.    能力提升全练6.(2022浙江台州中考,9,★★☆)如图,点D在△ABC的边BC上,点P在射线AD上(不与点A,D重合),连结PB,PC.下列命题中,是假命题的是(　　)A.若AB=AC,AD⊥BC,则PB=PCB.若PB=PC,AD⊥BC,则AB=ACC.若AB=AC,∠1=∠2,则PB=PCD.若PB=PC,∠1=∠2,则AB=AC7.(2023浙江杭州十三中教育集团检测,18,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E是AC的中点,则=S△CDE∶S四边形ABDE(　　)A.1∶2　　　　B.2∶3　　　　C.1∶4　　　　D.1∶38.【最短距离问题】(2023浙江杭州二中树兰实验学校期中,8,★★☆)如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为3,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上的动点,则△CDM周长的最小值等于(　　)A.7.5　　　　B.8.5　　　　C.10.5　　　　D.13.59.【尺规作图】(2021浙江台州中考,15,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以点A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交于D,E两点,直线DE交BC于点F,连结AF.以点A为圆心,AF的长为半径画弧,交BC的延长线于点H,连结AH.若BC=3,则△AFH的周长为　　　　. 10.(2023浙江温州洞头期中,17,★★★)如图,△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的高,E为AB边上一点,EF⊥BC于点F,FE的延长线交CA的延长线于点G,已知EF=2,EG=3,则AD的长为　　　　.11.【一题多解】(2022湖南衡阳中考,20,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点,且BD=CE.求证:AD=AE.      12.8字模型如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连结AE、BE,延长AE交BC的延长线于点F.(1)△DAE和△CFE全等吗?说明理由;(2)若AB=BC+AD,说明BE⊥AF;(3)在(2)的条件下,若EF=6,CE=5,∠D=90°,你能否求出E到AB的距离?如果能,请直接写出结果.  素养探究全练13.【推理能力】在△ABC中,AB=AC.(1)如图1,如果∠BAD=30°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　; (2)如图2,如果∠BAD=40°,AD是BC边上的高,AD=AE,则∠EDC=　　　　; (3)思考:通过以上两题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示:　　　　　　; (4)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,∠BAD与∠EDC是否仍有上述关系?如有,请你写出来,并说明理由.                     图1         图2         图3
答案全解全析基础过关全练1.C　∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,∴AD⊥BC,BD=CD,DE=DF,∴∠ADC=90°.根据已知条件无法得到AD=BC,故选C.2.B　过点E作EH⊥AB于H(图略),∵AB=AC=12,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,∵BE平分∠ABC,ED⊥BC,EH⊥AB,∴EH=ED=3,∴S△ABE=AB·EH=18.故选B.3.C　∵OA=OB=AB,∴OA'=OB'=A'B',∵AB=A'B',∴OA=OB',∵∠AOA'=50°,∴∠AOB'=180°-50°=130°,∵OC⊥AB',∴∠COB'=∠AOB'=65°.故选C.4.答案　BD=CD(答案不唯一)解析　∵AB=AC,AD⊥BC,∴BD=CD(答案不唯一).5.答案　25°解析　∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴∠DAC=∠BAD=∠BAC=25°,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=25°.能力提升全练6.D　因为AB=AC,且AD⊥BC,所以AP是BC的垂直平分线,所以PB=PC,故A是真命题;因为PB=PC,且AD⊥BC,所以AP是BC的垂直平分线,所以AB=AC,故B是真命题;因为AB=AC,且∠1=∠2,所以AP是BC的垂直平分线,所以PB=PC,故C是真命题;由PB=PC,∠1=∠2不能判定AP是BC的垂直平分线,所以AB和AC不一定相等,故D是假命题.故选D.7.D　∵AD⊥BC,AB=AC,∴BD=CD,∴S△ABD=S△ADC,∵AE=EC,∴S△ADE=S△DCE=S△ADC,设S△ADE=S△DCE=S△ADC=a,则S四边形ABDE=S△ABC-S△DEC=4a-a=3a,∴S△CDE∶S四边形ABDE=1∶3.故选D.8.D　连结AD,∵△ABC是等腰三角形,点D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC·AD=×3AD=18,解得AD=12,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM周长的最小值=CM+MD+CD=AD+×3=13.5.故选D.9.答案　6解析　由作图可得,AF=AH,DF垂直平分AB,∴AF=BF,∵AC⊥FH,∴FC=CH,∴AF+FC=BF+FC=AH+CH=BC=3,∴△AFH的周长为AF+FC+CH+AH=2BC=6.10.答案　解析　∵AB=AC,AD为BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∵AD⊥BC,EF⊥BC,∴AD∥EF,∴∠AEG=∠BAD,∠G=∠CAD,∴∠AEG=∠G,如图,作AH⊥EG于H,在△AHG与△AHE中,∴△AHG≌△AHE(AAS),∴EH=HG=×3=,∵∠AHF=∠HFD=∠ADF=90°,∴AH∥FC,∴AD=FH=EF+EH=2+.11.证明　证法一(利用三角形全等):∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△ABD和△ACE中,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴AD=AE.证法二(利用等腰三角形的三线合一):过点A作AF⊥BC于点F(图略),∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=CF,∵BD=CE,∴BF-BD=CF-CE,∴DF=EF,∴AF是DE的垂直平分线,∴AD=AE.12.解析　(1)△DAE≌△CFE.理由如下:∵AD∥BC,∴∠ADE=∠ECF,∵点E是CD的中点,∴DE=EC,在△DAE和△CFE中,∴△DAE≌△CFE(ASA).(2)证明:由(1)得,△DAE≌△CFE,∴AE=EF,AD=CF,∵AB=BC+AD,∴AB=BC+CF,即AB=BF,∴BE⊥AE.(3)点E到AB的距离为5.详解:∵AB=BF,AE=EF,∴∠ABE=∠FBE,∴点E到AB的距离等于点E到BF的距离,∵CE⊥BF,CE=5,∴点E到AB的距离为5.素养探究全练13.解析　(1)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-30°)=75°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°.(2)∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=×(180°-40°)=70°,∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°.(3)∠BAD=2∠EDC.(4)仍有∠BAD=2∠EDC.理由如下:∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED,∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC.