初中数学浙教版八年级上册2.7 探索勾股定理同步测试题

第2章　特殊三角形

2.7　探索勾股定理

第1课时　勾股定理

基础过关全练

知识点1　勾股定理

1.(2022浙江杭州英特外国语学校期中)如图,在四边形ABCD中,∠D=∠ACB=90°,CD=12,AD=16,BC=15,则AB=

(　　)

A.20　　　　B.25　　　　C.35　　　　D.30

2.【教材变式·P75T3】在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,则△ABC的面积为(　　)

A.12　　　　B.14　　　　C.18　　　　D.20

3.【易错题】(2023浙江宁波海曙雅戈尔中学期中)已知Rt△ABC的两边长为5和12,则其斜边上的中线长为　　　　. 

知识点2　勾股定理的应用

4.【新情境·木马秋千】(2023浙江金华武义实验中学月考)如图,有一个绳索拉直的木马秋千,绳索AB的长为5米,若将它往水平方向推进3米(即DE=3米),且绳索保持拉直的状态,则此时木马上升的高度为(　　)

A.1米　　　　B.米　　　　C.2米　　　　D.4米

5.【教材变式·P75T4】已知,如图,一轮船以16海里/小时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/小时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,两船相距(　　)

A.25海里　　　B.30海里　　　C.40海里　　　D.50海里

6.(2023浙江温州瑞安六校联考)如图,网格中每个小正方形的边长均为1,以A为圆心,AB长为半径画弧,交网格线于点D,则ED的长为　　　　.

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7.【新课标例82变式】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,这是历史上第一个把数与形联系起来的定理,其证明是论证几何的发端.下面四幅图中,不能证明勾股定理的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　D

8.【新考法】(2023浙江金华东阳期中,9,★★☆)数形结合是重要的思想和解题方法,如:“当0<x<12时,求代数式+的最小值”,如图,可看做两直角边长分别为x和2的Rt△ACP的斜边长,可看做两直角边长分别是12-x和3的Rt△BDP的斜边长.于是将问题转化为求AP+BP的最小值,易知当AP与BP共线时,AP+BP的值最小.请你解决问题:当0<x<4时,代数式+的最小值是(　　)

A.4　　　　B.5　　　 C.6　　　　D.7

9.【数学文化】(2022湖北黄冈中考,15,★★☆)勾股定理最早出现在《周髀算经》中:“勾广三,股修四,径隅五.”观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,这类勾股数的特点是勾为奇数,弦与股相差1,柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;……,若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是　　　　(结果用含m的式子表示). 

10.如图①,直角三角形纸片的一条直角边长为5,剪四块这样的直角三角形纸片,把它们按图②所示的方式放入一个边长为13的正方形中(纸片在结合部分不重叠无缝隙),则图②中阴影部分的面积为　　　　. 

图①       图②

11.【方程思想】(2022浙江丽水中考,22,★★☆)如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点B与点D重合,点A落在点P处,折痕为EF.

(1)求证:△PDE≌△CDF;

(2)若CD=4 cm,EF=5 cm,求BC的长.

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12.【运算能力】(2023浙江杭州十三中教育集团检测)在△ABC中,AB=AC,D是射线BC上一点,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.

(1)如图1,若D是BC边的中点,求证:DE=DF;

(2)过点B作BG⊥AC于点G.

①如图2,若D是BC边上任意一点,求证:BG=DE+DF;

②若点D是BC延长线上一点,AB=5,BC=6,DF=2,求DE的长.

图1         图2

答案全解全析

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1.B　在Rt△ADC中,AD=16,CD=12,AC2=AD2+CD2,∴AC=20,在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2,∴AB=25.故选B.

2.A　如图,过A作AD⊥BC于D,∵AB=AC=5,BC=8,

∴CD=BD=4,∵AD2=AC2-CD2,∴AD=3,

∴S△ABC=BC·AD=×8×3=12.故选A.

3.答案　6.5或6

解析　运用勾股定理求边长时易忽略分类讨论.如图,

当AC=5,BC=12时,∵AB2=52+122,∴AB=13,∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB=6.5;当AC=5,AB=12时,∵CD是斜边AB上的中线,∴CD=AB=6,故答案为6.5或6.

4.A　过点C作CF⊥AB于点F,根据题意得AC=AB=5米,CF=DE=3米,由勾股定理得AF2=AC2-CF2,∴AF=4米,∴BF=AB-AF=5-4=1(米),∴木马上升的高度为1米.故选A.

5.C　如图,连结BC,由题意得,AC=16×2=32(海里),AB=12×2=24(海里),∠BAC=90°,由勾股定理可得,CB2=AC2+AB2,∴CB=40海里.故选C.

6.答案　

解析　如图,连结AD,则AD=AB=3,

在Rt△ADE中,ED2=AD2-AE2,∴ED=.

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7.D　选项A,∵(a+b)(a+b),∴a2+b2=c2,故A不符合题意;选项B,∵4×ab+c2=(a+b)2,∴a2+b2=c2,故B不符合题意;选项C,4×ab+(b-a)2=c2,∴a2+b2=c2,故C不符合题意;选项D,根据图形不能证明勾股定理,故D符合题意.故选D.

8.B　本题借助几何图形,考查利用勾股定理求代数式的最小值,体现数形结合思想,形式新颖.如图,根据题意可得,AC=1,DB=2,CD=4,CP=x,PD=4-x,当AP、BP共线时,代数式有最小值,最小值为线段AB的长,在Rt△ABE中,AE=AC+CE=1+2=3,BE=CD=4,AB2=AE2+BE2,∴AB=5,∴代数式的最小值是5.故选B.

9.答案　m2+1

解析　∵2m为偶数,∴设其股是a,则其弦为a+2,根据勾股定理得(2m)2+a2=(a+2)2,解得a=m2-1.

∴其股为m2-1,则其弦为m2-1+2=m2+1.

10.答案　120

解析　由题意可得,直角三角形纸片的斜边长为13,一条直角边长为5,故该直角三角形纸片的另一条直角边长为12,故阴影部分的面积是×5×12×4=120.

11.解析　(1)证明:∵四边形ABCD是长方形,

∴AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°,

由折叠知,AB=PD,∠P=∠A=90°,∠PDF=∠B=90°,

∴PD=CD,∠P=∠C,∠PDF=∠ADC,

∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,∴∠PDE=∠CDF,

在△PDE和△CDF中,

∴△PDE≌△CDF(ASA).

(2)如图,过点E作EG⊥BC于点G,

∵四边形ABCD是长方形,

∴EG=AB=CD=4 cm,

又∵EF=5 cm,GF2=EF2-EG2,∴GF=3 cm,

设AE=BG=x cm,则EP=x cm,

∵△PDE≌△CDF,∴CF=EP=x cm,PD=CD=4 cm,

∴DE=GC=GF+FC=(3+x)cm,

在Rt△PED中,PE2+PD2=DE2,

即x2+42=(3+x)2,解得x=,

∴BC=BG+GC=(cm).

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12.解析　(1)证明:如图,连结AD.

∵AB=AC,BD=CD,∴AD平分∠BAC,

∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.

(2)①证明:如图,连结AD.

∵△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积,

∴AB·DE+AC·DF=AC·BG,

∵AB=AC,∴DE+DF=BG.

②如图,连结AD,过点A作AH⊥BC于点H.

∵△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积,

∴AB·DE-AC·DF=AC·BG,

∵AB=AC,∴DE-DF=BG,

∵AC=AB=5,BC=6,AH⊥BC,∴BH=CH=3,

∵AH2=AB2-BH2,∴AH=4,

∵AC·BG=BC·AH,∴BG=,

∴DE=DF+BG=2+.