2024滨州邹平一中高二上学期开学考试数学试题含解析

山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考

数学试题

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知，则到的距离为（    ）

A．3 B． C． D．

2．如果实数，满足，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

3．已知抛物线x2=16y的焦点为F，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（    ）

A．5 B．7 C．9 D．11

4．若直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．已知抛物线，为的焦点，过焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则下面陈述不正确的为（    ）

A． B．

C． D．记原点为，则

6．如图所示，该曲线W是由4个圆：，，，的一部分所构成，则下列叙述错误的是（    ）

A．曲线W围成的封闭图形面积为

B．若圆与曲线W有4个交点，则或

C．与的公切线方程为

D．曲线上的点到直线的距离的最小值为

7．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的角平分线的垂线，垂足为，若则的长为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

8．已知双曲线的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在下列四个命题中，正确的是（    ）

A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0

B．任意直线都有倾斜角，且当时，斜率为

C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．直线的倾斜角越大，则其斜率越大

10．已知方程，则（    ）

A．若此方程表示椭圆，则

B．若此方程表示双曲线，则或

C．若此方程表示焦点在y轴的双曲线，则

D．若此方程表示圆，则圆的半径为1

11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（    ）

A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条

B．设点，则的最大值为

C．点到直线的最小距离为

D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为

12．已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（    ）

A．若，则异面直线BP与所成角的余弦值为

B．若三棱锥的体积是定值

C．若，有且仅有一个点P，使得平面

D．若，则异面直线BP和所成角取值范围是

三、填空题

13．已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______．

14．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______．

15．直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是______．

16．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过左焦点的直线与双曲线的左支交于，两点，且，线段的中垂线恰好经过点，则双曲线的离心率是______．

四、解答题

17．已知平行六面体的底面是边长为1的菱形，且，．

（1）证明：；

（2）求异面直线与夹角的余弦值．

18．已知直线，椭圆．

（1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；

（2）已知点，若P是椭圆C上任意一点，求的取值范围．

19．已知椭圆的焦距为，短轴长为2，直线l过点且与椭圆C交于A、B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l的斜率为1，求弦的长；

（3）若过点的直线与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦的中点，求直线的方程．

20．如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离；

（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出的值．

21．已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线C过点．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点M的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．

22．在中，，点是椭圆在轴上方的顶点，的方程是，当在直线上运动时．

（1）求外接圆的圆心的轨迹的方程；

（2）过定点作互相垂直的直线、，分别交轨迹于、和、，求四边形面积的最小值．

山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考

数学   参考答案：

1．D    2．B    3．C

4．D【详解】化简曲线得，画出图像如图：

当直线与半圆O相切时，直线与半圆O有一个公共点，此时，，所以，由图可知，此时，所以．

当直线如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时．

由图可知，当直线介于与之间时，直线与曲线有两个公共点，所以．故选：D．

5．D【详解】解：由题意知，令直线，，，

与抛物线联立方程，消去x得，

所以，，所以，

则，故A正确；

由，所以，当时，经检验亦成立，故B正确；

，故C正确；

如图，作OE垂直AB于E，则，当时，经检验亦成立，故D错误，故选：D．

6．D

【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆构成，所以其面积为，故A正确；

当时，交点为B，D，F，H；当时，交点为A，C，E，G；当或时，没有交点；当时，交点个数为8个，故B正确；

设与的公切线方程为，由直线和圆相切的条件可得，

解得，（舍去），则其公切线方程为，即，故C正确；

同理可得，的公切线方程为，则两平行线距离为，故D错误．

7．C【详解】如图，延长交的延长线于点B，

因为，，所以，．

又，所以，，

由椭圆的定义得，，

所以，∴．故选：C

8．B【详解】双曲线的渐近线方程为，过与此渐近线垂直的直线方程为：，

联立求得，，①代入渐近线中，得到，，②，∵，∴，

∴，整理得：，结合，整理可得，即离心率．故选：B．

9．AB【详解】当时，其斜率，所以A正确；

根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角时，直线的斜率为，所以B正确；

若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为，，且，故C不正确；

直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB．

10．BD

【详解】对于A：当方程表示椭圆时，，解得且，故A错误．

对于B：当方程表示双曲线时，，解得或，故B正确．

对于C：当方程表示焦点在y轴的双曲线时，，解得，故C错误．

对于D：当方程表示圆时，，解得，此时方程为，故D正确．故选：BD

11．BCD【详解】对于A选项，设过点A的直线为m，若直线m方程为，此时直线m与抛物线只有一个公共点，若直线m的方程为，此时直线m与抛物线只有一个公共点，

若直线m的斜率存在且不为零，设直线m的方程为，联立可得，

若直线m与抛物线相切，则，解得，此时，直线m的方程为，综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；

对于B选项，如下图所示：

易知点，，

当且仅当点P为射线BF与抛物线的交点时，等号成立，

故的最大值为，B对；

对于C选项，设点，其中，

则点P到直线的距离为，

当且仅当时，等号成立，故点P到直线的最小距离为，C对；

对于D选项，如下图所示：

抛物线的准线为，过点P作，垂足为点A，设PA交y轴于点B，

过点P作直线的垂线，垂足为点D，连接PF，

则，当DF与直线垂直时，取最小值，

且最小值为点F到直线的距离，因此，，

故点P到直线与点P到y轴距离之和的最小值为1，D对．故选：BCD．

12．BD【详解】A：由，即P为中点，连接，，，若E，O分别是，中点，

连接，，则，

又且，即为平行四边形，所以，

所以异面直线BP与所成角，即为或其补角，而，，，故，故A错误；

B：由知：P在（含端点）上移动，如下图示，

面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；

C：若E，F分别是，中点，由知：P在EF（含端点）上移动，

由面，面，则面面，

由，面面，面，

所以面，面，则，同理可证：，

由，、面，故面，而面面，要使面，则P必在面内，显然面，故C错误；

D：由知：在（含端点）上移动，

如图以为原点，，，分别为x，y，z轴建系，

则，，，则，设，，则，所以，令，

当，即时，，此时直线和所成角是；

当，即时，则，

当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确．

故选：BD

13．【详解】因为，，所以，，

因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，

而当时，，解得，所以实数的取值范围为．

14．或【详解】依题意设l的方程为．

令，得；

令，得．因此．解得或．

故所求方程为或．

故答案为：或

15．【详解】解：由圆的方程得：圆心，半径，所以，圆心到直线的距离，因为直线与圆相交于，两点，若，

所以，变形得：，即，解得：，

所以，的取值范围是．

16．/

【详解】设，则，，因为线段的中垂线恰好经过点，

所以，所以，所以，，，

因为，所以，因为，

所以，所以，

所以，，

化简得，所以，所以离心率，故答案为：

17．【详解】设，，

由题可知：，，两两之间的夹角均为，且，

（1）由

所以即证．

（2）由，又

所以，

又

则

又异面直线夹角范围为

所以异面直线，夹角的余弦值为．

18．【详解】（1）整理可得，

由解得，所以直线l过定点．

又，所以点在椭圆内部，

所以直线l与椭圆C恒有两个交点．

（2）设点P坐标为，则

所以

令，，其对称轴为，且开口向上所以，

当时，

当时，

所以，所以，即

所以的取值范围为

19．【详解】（1）依题意，椭圆C的半焦距，而，则，

所以椭圆C的方程为：．

（2）设，，依题意，直线l的方程为：，

由消去y并整理得：，解得，，

因此，，

所以弦的长是．

（3）显然，点在椭圆C内，设，，因E、G在椭圆C上，

则，两式相减得：，

而Q是弦的中点，即且，则有，

于是得直线的斜率为，直线的方程：，即，

所以直线的方程是．

20．【详解】（1）∵，是AB的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，平面ABE，

∴平面ABCD，平面ABCD，

∴．

（2）由（1）知平面ABCD，平面ABCD，

∴，菱形ABCD中，，所以是正三角形，∴．

∴，，两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系．

则，，，，，

，，，

设是平面ACE的一个法向量，

则，令，得，

设点B到平面EAC的距离为d，则，

∴点B到平面EAC的距离为

（3）因为轴垂直平面，所以设平面的法向量为

，，

设，，

则，

∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，，

由，解得，∴．

21．【详解】（1）依题意，，解得：，，

所以双曲线C的标准方程是．

（2）假定存在直线AB，使得成立，显然不垂直于y轴，否则，

设直线：，由消去x并整理得：，

因直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设，，

于是得，则有，即或，

因此，，解得，

所以存在直线AB，使得成立，

此时，直线AB的方程为：或．

22．【详解】（1）由椭圆，得点，

∵直线的方程是，，在直线上运动，

可设，，则的垂直平分线方程为，①

的垂直平分线方程为．②

∵点是外接圆的圆心，

∴点的坐标满足方程①和②．由①和②联立消去，得．

故圆心的轨迹的方程为．

（2）由题意可知，直线和的斜率存在且不为零，

设的方程为，的方程为．

由，得．

∵直线与轨迹交于，两点，

∴．

设，，则，．

∴．

同理，可得．

∴四边形面积

．

当且仅当，即时，等号成立．

故四边形面积的最小值为72．