山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年高一数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022—2023学年度第二学期期中学业水平检测

高一数学试题

本试卷共6页，22题，全卷满分150分，考试用时120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码粘贴在答题卡指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂层. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.

3.考试结束后，请将答题卡上交.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数，则的虚部是（   ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数运算求得，根据虚部定义求得结果.

【详解】 ，∴z的虚部为：2

故选：A

2. 已知向量，，若与垂直，则实数t的值为（   ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据向量垂直的坐标表示，列式求值.

【详解】，且，

由题意可知，，得.

故选：D

3. 如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（   ）

A. 三棱锥 B. 四棱锥

C. 三棱柱 D. 三棱台

【答案】B

【解析】

【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．

【详解】三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．

故选：B．

4. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（   ）

A. 1 B.  C. 3 D. 1或3

【答案】C

【解析】

【分析】根据余弦定理求解即可.

【详解】由余弦定理，，即，，解得.

故选：C

5. 已知，，复数，，在复平面内对应的点为，，，若，，三点共线，则的最小值为（   ）

A. 9 B. 8 C. 6 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数对应的点共线可得，利用均值不等式求解即可.

详解】由题意，，，，

由三点共线可得，，化简可得，

又，，

，

当且仅当，即时等号成立.

故选：B

6. 在矩形ABCD中，M是BC的中点，N是CD的中点，若，则（   ）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】建立平面直角坐标系，设，求出的坐标，利用可得答案.

【详解】以为原点，分别以为轴的正半轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，

则，

则，

因为，

可得，

即，解之得，所以.

故选：D.

7. 在中，CD为角C的平分线，若，，则等于（   ）

A. 0 B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由为角的平分线，，可得，设，，然后在中利用正弦定理可得，化简计算可得答案

【详解】因为为角的平分线，所以

因为，所以

所以不妨设，

因为在中，，

所以

因为在中，，

所以

所以.

故选：C

8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】设，中点为，化简可得，再根据余弦定理结合余弦函数的范围可得，进而可得的取值范围.

【详解】不妨设，中点为，则即，故，即，.

故

，因为，故，则，故，故的取值范围为.

故选：D

二、多项选择题：本大题共4小题. 每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 若复数满足，则（   ）

A.

B. 是纯虚数

C.

D. 若是关于x的实系数方程的一个复数根，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A，根据复数的除法运算求解，再求共轭复数即可；对B，求得判断即可；对C，根据模长公式求解即可；对D，根据复数域中二次方程两根共轭与韦达定理求解即可.

【详解】对A，，则，故，A正确；

对B，不为纯虚数，故B错误；

对C，，，故C正确；

对D，由题意，的复数根分别为与，故，故D正确；

故选：ACD

10. 下列说法正确的是（   ）

A. 向量，能作为平面内所有向量的一组基底

B. 已知中，点P为边AB的中点，则必有

C. 若，则P是的垂心

D. 若G是的重心，则点G满足条件

【答案】BC

【解析】

【分析】对A，根据基底向量不共线判断即可；对B，根据基底向量的运用判断即可；对C，化简可得，进而根据垂心的性质判断即可；对D，由重心可得，即可判断

【详解】对A，，故共线，不能作为平面内所有向量的一组基底，故A错误；

对B，根据平面向量基本定理可得中，点P为边AB的中点，则必有，故B正确；

对C，由可得，即，故，同理，，故P是的垂心，故C正确；

对D，若G是的重心，则点G满足条件，则，故D错误；

故选：BC

11. 已知，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（   ）

A. 若，则为等腰三角形

B. 若，则为等腰或直角三角形

C. 若为锐角三角形，若，则

D. 若，，，则有两解

【答案】CD

【解析】

【分析】根据正弦函数的性质可得或判断A，由正弦定理及正切函数性质判断B，根据正弦函数单调性判断C，由已知两边及一边对角确定三角形个数判断方法判断D.

【详解】， ，或，即或，故A错误；

，，即，由知，故为等腰三角形，故B错误；

为锐角三角形，，由正弦函数的单调性知，故C正确；

，，，，故有两解，故D正确.

故选：CD

12. 已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（   ）

A. 的周期为

B. 若，则

C. 将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为奇函数

D. 函数在上有1个零点

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A，根据题意确定周期范围，再根据图象关于点对称，结合正弦函数的对称中心求解即可；对于B，由A，结合余弦函数的最值与周期性质判断即可；对于C，根据三角函数平移性质判断即可；对于D，根据余弦函数值直接求解即可.

【详解】对于A，因为函数在上单调，所以的最小正周期T满足，即，所以，

因为的图象关于点对称，所以，得，

所以当时，，所以，故A错误；

对于B，，，

则分别为，则为半周期，即，故B正确；

对于C，将的图象向右平移个单位长度后得的图象，为奇函数，故C正确；

对于D，，即，

令，当时，，故仅有，故D正确．

故选：BCD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 如图所示，等腰直角三角形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，则原图形的周长为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】根据斜二测画法可得原图形三边长，进而可得周长.

【详解】由题意，，则，故原图形中，，，周长为.

故答案为：

14. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为__________.

【答案】##

【解析】

【分析】设与的夹角为，，得到，解得答案.

【详解】设与的夹角为，，

则，解得，

，故.

故答案为：

15 化简：  ________.

【答案】－1

【解析】

【详解】原式)(

.故答案为

【点睛】本题的关键点有：

先切化弦，再通分；

利用辅助角公式化简；

同角互化.

16. 某公园有一个人工湖，若要测量如图所示的人工湖的口径A、B两点间的距离，现在人工湖岸边取C、D两点，测得m，，，，则A、B两点的距离为__________m.

【答案】

【解析】

【分析】中根据角度关系易得，再在中，由正弦定理得到BD，然后在中，利用余弦定理求解.

【详解】在中，因为，故，，

所以，则．

在中，因为，

所以由正弦定理，

得．

在中，因为，

所以由余弦定理得，

故m．

故答案为：

四、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知，都是锐角，， .

（1）求和的值；

（2）求的值.

【答案】（1）,   

（2）

【解析】

【分析】（1）由同角三角函数的基本关系及二倍角的正余弦公式求解；

（2）根据角的变换，利用两角差的正弦公式求解.

【小问1详解】

是锐角，，

，

，

，

，

.

【小问2详解】

，都是锐角，

，

又，

，

.

18. 已知半圆圆心为O，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.

（1）求在上投影向量的坐标；

（2）若，当y取得最小值时，求点P的坐标及y的最小值.

【答案】（1）   

（2）最小值为，此时点的坐标为

【解析】

【分析】（1）先求解在上投影向量大小，进而可得投影向量坐标；

（2）设，即可表示出、，再结合平面向量数量积的坐标运算及二次函数的性质计算可得．

【小问1详解】

因为半圆的直径，所以，，

又，，则，即．

故，，在上投影为，故在上投影向量的坐标为

【小问2详解】

设，                        

由（1）知，，

故，   

∴，

又∵，∴当时，有最小值为，      

此时点的坐标为

19. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数，.

（1）若点A位于第四象限，求m的取值范围；

（2）若点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；

（3）若，且，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据复数对应点确定实部、虚部的符号，列不等式组求解；

（2）根据对称确定点B对应的复数，再由向量对应复数即为两点对应复数之差得解；

（3）由复数相等列出方程组，消参数可得的表达式，利用正弦函数值域，配方求值域即可.

【小问1详解】

由题意对应点A位于第四象限，

故，解得，

即m的取值范围.

小问2详解】

点A对应的复数为，则关于实轴的对称点B对应的复数为，

则对应的复数为，

【小问3详解】

，

，即，

由，可知，

故的取值范围为.

20. 在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.

问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________.

（1）求角C；

（2）若的内切圆半径，，求的外接圆半径R.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）选择①根据两角和的正切公式化简可得角，选择②根据余弦定理化简，再根据正弦定理边化角，结合三角恒等变换求解即可，选择③由正弦定理统一为边，再由余弦定理求解；

（2）由余弦定理及三角形面积公式联立求解可得，进而根据正弦定理求解即可.

【小问1详解】

选择①：由已知得，

所以，

在中，，所以．

选择②：由题意，故，由正弦定理，即，又，故，因为，故

选择③：由已知及正弦定理得，

所以，所以，

因为，所以．

【小问2详解】

由余弦定理得，①

由等面积公式得．

即．

整理得，②

联立①②，解得，由正弦定理，即

21 已知向量，，记函数.

（1）将化为形式，并求最小正周期T；

（2）求函数在区间上的值域；

（3）将函数图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用数量积坐标公式及三角恒等变换化简即可得解；

（2）根据自变量的范围求出的范围，利用正弦函数求解；

（3）根据三角函数图象变换求出,利用三角函数的性质可得.

【小问1详解】

,

【小问2详解】

当时，，

，

，

即函数在区间上的值域为.

【小问3详解】

将函数图象向右平移个单位，得到，

再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象,

令，

要使在区间上至少有100个最大值，

由正弦函数的性质可得，

.

22. 对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.

（1）求证：，是“M函数”；

（2）若函数，是“函数”，求k的取值范围；

（3）对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.

【答案】（1）证明见解析   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据“M函数”的定义，结合余弦函数的周期性，取证明即可；

（2）由题意恒成立，化简可得，进而由余弦函数的最值求解即可；

（3）由题意可得在R上为减函数，再根据单调性求解不等式可得，换元令，再根据同角三角函数的公式求解的最大值即可.

【小问1详解】

取，则，此时对任意的，都有成立，故是“函数”.

【小问2详解】

因为函数，是“函数”，故恒成立，即，即恒成立.

又，故，，即k的取值范围为

【小问3详解】

由题意，对任意的，对任意的正实数M，都有成立，故在R上为减函数，

又，故，易得，可令，

则，

即，故实数a的最小值为