山东省日照市2022-2023学年高二数学上学期期末校际联合考试试题（Word版附解析）

参照秘密级管理★启用前                                            试卷类型：A

2021级高二上学期期末校际联合考试

数学试题                      

考生注意：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数z在复平面内对应的点的坐标，得出复数的表达式，进而求出的表达式，即可得到的值.

【详解】解：由题意，复数z在复平面内对应的点的坐标为，

，

∴，

∴．

故选：D.

2. 已知直线和直线互相平行，则a的值是（    ）

A. 0 B. 2 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由两直线平行直接列方程求解即可.

【详解】由题意可知，

因为直线和直线互相平行，

所以，解得，

故选：B

3. 已知随机变量，且，则（    ）

A. 0.6 B. 0.4 C. 0.2 D. 0.9

【答案】A

【解析】

【分析】先根据，求，再根据正态密度曲线的对称性求的值.

【详解】因为，所以，

所以，

故选:A.

4. 若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，且，则线段的中点到轴的距离为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由双曲线的定义可得，再由中点坐标公式即可得解.

【详解】由题意，抛物线的准线为，

设，所以，即，

所以点的横坐标为，所以点到轴的距离为6.

故选：A.

5. 已知椭圆的左右焦点为，，以为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的范围为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆的直径及圆与椭圆交点的个数可得，据此可求出椭圆的离心率.

【详解】因为以为直径的圆与椭圆有四个交点，所以，

即，，，所以，即，

又因为，所以椭圆离心率的取值范围为．

故选：A．

6. 如图，某绿色蔬菜种植基地在A处，要把此处生产的蔬菜沿道路或运送到形状为四边形区域的农贸市场中去，现要求在农贸市场中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路运送蔬菜较近，而另一侧的点沿道路运送蔬菜较近，则该界线所在曲线为（    ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 直线

【答案】C

【解析】

【分析】根据双曲线的定义判断．

【详解】设是界限上的一点，则，

所以，即（定值），

在中，，

所以点的轨迹为双曲线，即该界线所在曲线为双曲线．

故选：C．

7. 不透明的袋子内装有相同的5个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为

A.  B.

C  D.

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因为有放回的随机摸取三次共有种情况，其中三次都没有五号球的共有种，三次都没有四号球和二号球的共有种，三次既没有五号球又没有四号球和二号球的共有种，所以摸出的三个小球的编号乘积能被整除的共有种情况，因此摸出的三个小球的编号乘积能被整除的概率是，故选A.

考点：1、分步相乘计数原理的应用；2、古典概型概率公式.

8. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】首先利用换元，转化为，再去绝对值后，赋值求和.

【详解】令，可得，

则，

二项式的展开式通项为，

则且．

当为奇数时，，当为偶数时，，因此，．

故选：A．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题中正确的是（    ）

A. 已知向量，则存在向量与，构成空间向量的一组基底

B. 两个不同平面，的法向量分别是，，，，则

C. 已知三棱锥，点为平面上一点，，则

D. 已知，，则与方向相同的单位向量是

【答案】BC

【解析】

【分析】根据空间向量的性质判断各选项即可.

【详解】对于A，，所以其它向量与，一定共面，所以不能构成基底，故 A选项错误；

对于B，因为，所以，故B选项正确；

对于C，因为点为平面上的一点，所以，所以，故C选项正确；

对于D，设，则，所以该向量不是单位向量，故D选项错误．

故选：BC.

10. 设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（    ）

A.

B. 若，则

C. 若，则

D. 若，则的最大值为

【答案】AD

【解析】

【分析】根据复数模的计算求得，判断A;根据向量共线的坐标表示可判断B;利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C;确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D.

【详解】因为，所以，A正确；

由题意可知，若，若，则，B错误；

若，则，即，

故，

即仅当时，，时，，C错误；

，故，即，

则表示圆上的点到原点的距离，

故最大值为，D正确，

故选: .

11. 如图，，，，是以OD为直径的圆上一段圆弧，是以BC为直径的圆上一段圆弧，是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则下述正确的是（    ）．

A. 曲线与轴围成的面积等于

B. 曲线上有5个整点（横纵坐标均为整数的点）

C. 所在圆的方程为：

D. 与的公切线方程为：

【答案】BCD

【解析】

【分析】由题意，作图，根据图形组合，可得A的正误；根据图中的交点，可得B的正误；根据图中明确圆心与半径，可得C的正误；结合图象所做切线，设出直线方程，利用切线性质，可得D的正误.

【详解】由题意，连接，过点作轴于，轴于，如图所示：

A选项：由图可得面积，故A错误，

B选项：曲线上有，，，，5个整点，故B正确，

C选项：所在圆圆心为，半径为1，故圆的方程为：，故C正确，

D选项：设与的公切线方程为：，根据图像知，则，，

解得，，即，故D正确．

故选：BCD．

12. 已知平面上的线段及点，任取上一点，称线段长度的最小值为点到线段的距离，记作．已知线段，，点为平面上一点，且满足，若点的轨迹为曲线，是第一象限内曲线上两点，点且，，则（    ）

A. 曲线关于轴对称 B. 点的坐标为

C. 直线的方程为 D. 的面积为

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据题中定义，结合抛物线的定义、直线斜率公式逐一判断即可.

【详解】为线段，：为线段，

又，

设，

①当时，由题意可得，点的轨迹；

②当时，，，点的轨迹；

③当时，为点到的距离，，

此时点的轨迹是一条抛物线，准线方程为，

所以，故抛物线的标准方程为；

④当时，，，此时点在的中垂线上，

而，，中点坐标，所以，

所以点在上，故选项A错误；

设，又，所以，解得，故点A的坐标为，故选项B正确；

因为，又点在上，

联立方程组，可得，

所以点B的坐标为，，故直线AB的方程为，即．

故选项C正确；则直线与的交点坐标为，

所以，故选项D正确．

故选：BCD

【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义，结合解方程组法是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的二项展开式中项的系数为________.

【答案】60

【解析】

【分析】先写出二项展开式的通项，，令，进而可求出结果.

【详解】因为的二项展开式的通项为：，

令，则，

所以项的系数为.

故答案为

【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.

14. 已知，，且，则_____．

【答案】

【解析】

【分析】利用数量积公式求，再利用数量积的坐标表示求模.

【详解】因为，所以，解得

所以，.

故答案为：

15. 甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为___________.

【答案】

【解析】

【分析】过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质和几何位置关系得到，求出，利用中位线的性质、椭圆的定义求出.

【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，，

则，

因为，

故，

所以，

故答案为：.

16. 如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】建立空间直角坐标系,根据在内可设出点坐标，作,连接,可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围.

【详解】根据题意,以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：

作交于M,连接，则

作交于N，则即为点P到平面距离.

设,则

∵点到平面距离等于线段的长

∴

由两点间距离公式可得，化简得,则解不等式可得

综上可得

则在中

所以

故答案为:

【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知圆C上有两个点A，B，且AB为直径．

（1）求圆C的方程；

（2）已知P，求过点P且与圆C相切的直线方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程；

（2）先判断点在圆上，再求得直线的斜率，从而得到切线的斜率，即可求解.

【小问1详解】

因为圆C的直径为AB，故其圆心为C，

其半径为，

故圆C的方程为：．

【小问2详解】

因为，故P在圆C上，连接PC，

而直线的斜率：，故圆C在P处的切线的斜率为，

故所求切线的方程为：．

18. 若位于轴右侧的动点到的距离比它到轴距离大.

（1）求动点的轨迹方程D.

（2）过轨迹D上一点作倾斜角互补的两条直线，交轨迹于两点，求证：直线的斜率是定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设出，，利用题目条件列出方程，化简后得到轨迹方程；

（2）设出，得到，相减后得到，再根据直线的倾斜角互补，两直线斜率之和为0，求出，从而得到直线的斜率是定值

【小问1详解】

设，，则，

故，化简得：，

故动点的轨迹方程D为；

【小问2详解】

设，

则，

两式相减得：，即，

因为直线的倾斜角互补，且，

所以，

故，

所以，

故直线的斜率是定值.

19. 某中学在该校高一年级开设了选修课《中国数学史》，经过一年的学习，为了解同学们在数学史课程的学习后学习数学的兴趣是否浓厚，该校随机抽取了名高一学生进行调查，得到统计数据如下：

（1）求列联表中的数据的值，并确定能否有的把握认为对数学兴趣浓厚与选学《中国数学史》课程有关；

（2）在选学了《中国数学史》的人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取人，再从人中随机抽取人做进一步调查．若初始总分为分，抽到的人中，每有一人对数学兴趣薄弱减分，每有一人对数学兴趣浓厚加分．设得分结果总和为，求的分布列和数学期望．

附：

【答案】（1），有的把握认为对数学兴趣浓厚与选学数学史课程有关   

（2）分布列见解析；期望为

【解析】

【分析】（1）根据列联表，直接填写表格，再根据参考公式求，即可判断；

（2）首先确定，再利用超几何分布求概率.

【小问1详解】

由题意得：，，，．

则,

所以，有的把握认为对数学兴趣浓厚与选学数学史课程有关

【小问2详解】

在选学了数学史的120人中按对数学是否兴趣浓厚，采用分层随机抽样的方法抽取12人，可知其中对数学兴趣浓厚有10人，对数学兴趣薄弱有2人，再从12人中抽取3人，当这3人中恰有2人对数学兴趣薄弱时，；当这3人中恰有1人对数学兴趣薄弱时，；当这3人都对数学兴趣浓厚时，;故：，，

所以的分布列为：

的数学期望为：．

20. 如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．

（1）当是线段中点时，求到平面的距离；

（2）若二面角的余弦值为，求的值．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；

（2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.

【小问1详解】

解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为为的中点，则、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，所以，点到平面的距离为.

【小问2详解】

解：设点，其中，，，

设平面的法向量为，则，

取，可得，易知平面的一个法向量为，

由已知可得，解得，

此时点为的中点，故.

21. 某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．

（1）如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；

（2）若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，再根据条件概率和全概率公式求解即可；

（2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，再根据､､彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解.

【小问1详解】

设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，

，，，

由全概率公式得：第次抽到填空题的概率为：

；

【小问2详解】

设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则､､彼此互斥，且，

， ，，

， ， ，

．

22. 椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于，的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与圆切于，（位于第一象限），求使得面积最大时的直线的方程；

（3）若直线与轴的交点分别为，以为直径的圆与圆的一个交点为，判断直线是否平行于轴并证明你的结论．

【答案】（1）   

（2）   

（3）直线平行于轴，证明见解析

【解析】

【分析】(1)由的周长为得,由且在的延长线上，得,设，代入坐标，可求，从而，椭圆方程可得.

(2) 由可知，当时，面积取得最大值，此时即从而可求直线的方程；

(3)设 则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出，，根据为直径，可得，再根据及，可求，从而得证.

【小问1详解】

由的周长为得，．

由且在的延长线上，得，设，

,

则，

又，解得，

所以，椭圆的方程为

【小问2详解】

又，

所以当时，面积取得最大值，此时点，又因为点位于第一象限，直线的方程为．

【小问3详解】

直线平行于轴．理由如下：

由题意知点P不与点A或点B重合，设则直线AP的方程为，

令得同理可求

，

将及代入化简得，所以直线平行于轴．

【点睛】关键点点睛：

第三问：设、的坐标，则可以写出直线AP，BP的方程,从而求出、的坐标,根据为直径，可得，再根据及，可求，从而得证.