山东省泰安肥城市2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

绝密★启用前

试卷类型：A

高一数学试题

本试卷共22题，满分150分，共6页.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设，则在复平面内对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.

【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，

故选：C.

【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.

2. 下列向量的运算结果不正确的是（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可.

【详解】对于A，，所以A正确，

对于B，，所以B错误，

对于C，，所以C正确，

对于D，，所以D正确，

故选：B

3. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3， b=5，，则sinB=（　　）

A.  B. 1 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接由正弦定理得解.

【详解】由正弦定理得.

故选：A

4. 为了得到函数的图象，只要把的图象上所有的点（    ）

A. 向右平行移动个单位长度

B. 向右平行移动个单位长度

C. 向左平行移动个单位长度

D. 向左平行移动个单位长度

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数图象变换规律求解即可

【详解】因为，

所以只要把的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，可得的图象，

故选：B

5. 湖南岳阳市岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.如图，为了测量岳阳楼的高度，选取了与底部水平的直线，测得米，则岳阳楼的高度为（    ）

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

【答案】D

【解析】

【分析】根据角度结合三角函数解三角形即可.

【详解】因为，

所以

又可得米.

故选：D.

6. 在中，为边上的中线，点为的中点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据向量的线性运算即可求解.

【详解】∵在中，为边上的中线，点为的中点，

∴，

故选:B.

7. 已知，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由三角恒等变换及齐次式弦化切，即可求值.

【详解】.

故选：A．

8. 已知，向量绕着点顺时针方向旋转角得到，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】作，设点在角终边上，则，然后利用两角差的正弦和余弦公式可求得点的坐标，即可得答案.

【详解】作，设点在角的终边上，则，

则

，

，

所以，

故选：B

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 若，是方程的两个虚数根，则（    ）

A. 的取值范围为 B. 的共轭复数是

C.  D. 为纯虚数

【答案】BCD

【解析】

【分析】，是方程的两个虚数根，则，得，则根据一元二次方程方程的求根公式可知的共轭复数是，

【详解】由，得，A错误；

因为原方程根为，所以的共轭复数是，B正确；

，C正确；

因为等于或，所以为纯虚数，D正确.

故选：BCD.

10. 已知向量，则（    ）

A. 当时，

B. 当时，三点共线

C. 当时，

D. 当时，是锐角

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据向量的模、向量的数量积、向量的共线定理判断即可；

【详解】，所以，选项A正确；

三点共线，所以选项B正确；

，，，选项C正确；

当时，三点共线，由B可知，选项D错误；

故选：ABC.

11. 中，分别为内角的对边，则（    ）

A. 若，则为等腰直角三角形

B. 若，则为等腰三角形

C. 若，则

D. 若，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，化简后利用正弦定理统一成角的形式，再化简可得答案，对于B，化简后利用正弦定理统一成边的形式，再化简可得答案，对于C，利用余弦定理求解，对于D，利用正弦定理统一成角的形式，化简后可得答案.

【详解】对于A，由，得，由正弦定理得，

所以，所以，

因为，所以，所以或，

所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误，

对于B，由，得，由正弦定理得，所以，所以为等腰三角形，所以B正确，

对于C，由，得，所以由余弦定理得，

因为，所以，所以C错误，

对于D，因为，所以由正弦定理得，

所以，所以，

所以，因为，所以，

因为，所以，所以D正确，

故选：BD

12. 某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点，则（    ）

A.

B.

C.

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】简谐运动的图象求出三角函数的表达式，设出两点的坐标，利用数量积的坐标表示逐一验证四个选项即可得正确答案.

【详解】设，

由图知，，解得，所以，

假设，则即，

，，，，

，

对于选项A：，，

所以，故选项A正确；

对于选项B：，

，显然最大值为，

所以不一定成立，故选项B错误；

对于选项C：，，所以，故选项C正确；

对于选项D：，

所以，

因为，所以，即，所以，

故选项D正确，

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知，复数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用复数的概念以及复数的四则运算计算求解.

【详解】因为，所以.

故答案为：.

14. 已知向量是平面内的一组基底，若向量与共线，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据向量共线求解即可；

【详解】因为向量是平面内一组基底，与共线，

所以即

所以解得：

故答案为：.

15. 已知函数是偶函数，写出满足条件的角的一个取值______.

【答案】（只需写出满足的一个值）

【解析】

【分析】先利用三角函数恒等变换公式变形得，再由其为偶函数得，从而可求得结果

【详解】，

因为是偶函数，

所以，得，

故答案为：（只需写出满足的一个值）

16. 如图，在等边三角形中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据已知，利用图形以及向量的线性运算、数量积运算、二次函数进行计算求解.

【详解】因为等边三角形中，，点为的中点，设，则

所以当时，取最小值，最小值为.

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知复数，其中.

（1）当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.

（2）复数的长度记作，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）3

【解析】

【分析】（1）由题意可得，，且，从而可求出，然后利用两角差的正切公式可求得结果，

（2）由题意可得，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.

【小问1详解】

因为当时，表示实数，所以，

所以.            

又因为当时表示纯虚数，所以，且

所以.           

从而.

【小问2详解】

因为

.   

当时，，则取得最大值，

此时的最大值为.

18. 已知梯形中，，，三个顶点.

（1）求顶点的坐标；

（2）求在上的投影向量.

【答案】（1）   

（2）或

【解析】

【分析】（1）设顶点，利用即可求解；

（2）利用向量的数量积公式求得的夹角为，再利用投影向量公式即可求解.

【小问1详解】

设顶点，已知三个顶点,

所以.  

因为且，所以，即.

所以，解得：.      

即顶点的坐标为顶点.

【小问2详解】

可求得，则  

设的夹角为，则．     

设,       

所以在上的投影向量为

或.

19. 的内角的对边分别为，.

（1）求；

（2）若点D在BC边的延长上，且，证明：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式即可求解；

（2）利用等面积法知，代入化简得，进而得解.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得，

又，

所以化简为.

又，所以.

因为，所以.

【小问2详解】

因为，

所以，

所以.

由（1）可知：，所以

所以，，

所以.

20. 在直角坐标系中，以为始边分别作角，，其终边分别与单位圆交于点，．

（1）证明：；

（2）已知，为锐角，，，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）设，，根据三角函数的定义、平面向量数量积的定义和坐标表示，结合三角恒等变换计算即可求解；

（2）根据题意和同角三角函数关系求出，，结合两角差的余弦公式计算即可求解.

【小问1详解】

由三角函数的定义知，，，

设，，

设与的夹角为，则，

得，

又，

所以，

又，得，

因此，

所以；

【小问2详解】

由，为锐角，得，

由，，

得，，

所以.

21. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个半径为米的圆，筒车按逆时针方向每旋转一周用时秒，当时，筒车上的某个盛水筒位于点处，经过秒后运动到点，点的纵坐标满足.已知筒车的轴心距离水面的高度为米，设盛水筒到水面的距离为（单位：米）（盛水筒在水面下时，则为负数）.

（1）将距离表示成旋转时间的函数；

（2）求筒车在秒的旋转运动过程中，盛水筒位于水面以下的时间有多长？

【答案】（1），    

（2）70秒钟

【解析】

【分析】（1）结合三角函数图像的性质以及点位置坐标判断求解即可；

（2）令，求解的范围，计算即可；

【小问1详解】

由题意可知,由于,

所以得.   

因为时,,

所以.

由，可求得，

从而.  

所以，其中

【小问2详解】

当盛水筒位于水面以下时，应满足，即.

可列不等式，

解得.    

因为，

所以当时，；

当时，.

由，

可得盛水筒位于水面以下的时间有70秒钟.

22. 如图在五边形中，，，.

（1）求线段的长；

（2）设，的面积记为，则有，求的表达式，并求的最大值.

【答案】（1）   

（2），最大值是

【解析】

【分析】（1）解法一：根据题意可求出，而，两边平方化简可求得结果，解法二：连接，在中利用余弦定理可求得，在中可求得，

（2）在中由正弦定理可求得，从而可表示出的面积，化简后利用正弦函数的性质可求得其最大值.

【小问1详解】

解法一：

由题意可得与的夹角是，与的夹角是，与的夹角是，又知，

所以.  

因为，所以有

，

所以.            

解法二：

连接，在中，，

所以.         

因为，所以，   

因为，所以，即.  

在中，.

  【小问2详解】

在中，因为，所以.

由正弦定理得，

所以，   

所以

，

因为，所以，

所以当，即时，