四川省成都市成实外教育集团2023-2024学年高一数学上学期入学统一考试试题（Word版附解析）

成实外教育集团高2023级新生入学统一考试

数学试题

（考试时间120分钟，满分150分）

注意事项：

1．全卷分为A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分．

2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．

3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效．

5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．

A卷（满分100分）

第I卷（选择题，共32分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）

1. 的倒数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据倒数的定义，即可求解.

【详解】根据倒数的定义可知，的倒数是.

故选：A

2. 如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（    ）

A.    B.  

C    D.  

【答案】B

【解析】

【分析】根据正视图的定义，即可判断选项.

【详解】正视图是从几何体的正面看几何体的投影，B选项成立.

故选：B

3. 新一代人工智能是推动科技跨越发展、产业优化升级、生产力整体跃升的驱动力量．当前，我国人工智能领域呈现出技术创新和产业化应用双轮驱动、双向促进的发展特征.根据中国信通院发布的最新数据测算，2022年我国人工智能核心产业规模达到5080亿元，同比增长18%.5080亿元用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可.

【详解】5080亿.

故选：C

4. 有6位同学一次数学测验分数分别是：125，130，130，132，140，145，则这组数据的中位数是（    ）

A. 130 B. 132 C. 131 D. 140

【答案】C

【解析】

【分析】由中位数计算方法可得答案.

【详解】因一共有6个数据，且已进行排序，则中位数为第3个与第4个数据的平均数，即为.

故选：C

5. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数的运算性质逐项判断，可得出合适的选项.

详解】，，，，C对，ABD都错.

故选：C.

6. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意即可列出方程组，即得答案.

【详解】由题意，设人数为人，物价为钱，

则，

故选：A

7. 如图，在平行四边形中，是上一点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质判断A，根据对顶角相等判断B，根据平行线分比例相等判断C，根据三角形相似判断D.

【详解】因为四边形为平行四边形，所以，故A正确；

因为对顶角相等，所以，故B正确；

在中，因为，所以，故C正确；

因为，所以，，又，

所以∽，所以，而，所以，故D错误

故选：D

8. 已知抛物线与轴交于，，其顶点在线段上运动（形状保持不变）且，，有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④若的最大值为4，则的最小值为．其中，错误结论的个数是（    ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线顶点位置以及和轴交点个数可知抛物线开口向下，即，且顶点最大值为3，所以；利用抛物线性质可知当时，随的增大而减小；易知当对称轴为时取最大值，由抛物线的对称性可知的最小值为.

【详解】因为抛物线与轴交于两点，且线段在轴上方，

所以抛物线必须开口向下才会和轴有交点，即，所以①正确；

将配方可知，易知，

所以可得，又，即，因此②正确；

根据抛物线图象变化范围可知，当时，随的增大而减小；即③错误；

当抛物线顶点在处时，的值取最大，此时对称轴为，

所以对称轴到与轴的交点的距离为，

若要取得最小值，顶点需平移到处，

此时对称轴为，此时，即的最小值为，所以④正确；

综上可知，错误的结论只有③.

故选：C

第II卷（非选择题，共68分）

二、填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）

9. 因式分解：________．

【答案】

【解析】

【分析】提取公因式并借助平方差公式可解.

【详解】.

故答案为：

10. 若函数是反比例函数，则的值为________．

【答案】1

【解析】

【分析】由已知可得，且，从而可求出的值

【详解】因为函数是反比例函数，

所以，且，

解得，

故答案为：1

11. 如图，数字代表所在半圆的面积，则所代表的半圆的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】利用勾股定理求出所代表的半圆的半径，再结合圆的面积公式可求得结果.

【详解】设代表的半圆半径为，由勾股定理可得，则，

因此，所代表的半圆的面积为.

故答案为：.

12. 将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后得抛物线的表达式是________．

【答案】

【解析】

【分析】由平移变换左加右减，上加下减可得.

【详解】抛物线先向右平移1个单位，

得，

再向下平移1个单位，得.

故答案为：

13. 如图，等腰中，，，按以下步骤作图：

①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；

②分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；

③作射线交于点；

④分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；

⑤作直线交于点．

点在上，若，则线段的长为________．

【答案】##

【解析】

【分析】根据尺规作图可确定为的角平分线，直线垂直平分线段，可知为的中位线，结合平行和角度关系可求得，由勾股定理求得后，加和可得结果.

【详解】由作图过程可知：为的角平分线，直线垂直平分线段，

连接，

，，为中点，，

又为中点，，，，

，，

即，，

又，，

.

故答案为：.

三、解答题（本大题共5个小题，满分48分）

14. （1）计算：；

（2）解不等式组：；

【答案】（1），（2）

【解析】

【分析】（1）根据特殊角的三角函数和根式的性质化简计算即可，

（2）利用解一元一次不等式组的解法直接求解即可.

【详解】（1）

，

（2）由，得，

由，得，解得，

所以不等式组的解集为

15. 某校为落实“双减”工作，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A.音乐：B.体育：C.美术：D.阅读：E.人工智能.为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次调查一共随机抽取了________名学生；

（2）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；

（3）扇形统计图中圆心角________度；

（4）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数.

【答案】（1）   

（2）条形统计图见解析   

（3）   

（4）

【解析】

【分析】（1）根据B组频率即可列方程求解；

（2）先求出C组的人数，补全条形统计图即可；

（3）由乘以C组的频率即可求解；

（4）由总人数乘以D组的频率即可求解人数.

【小问1详解】

由图中数据知：此次调查一共随机抽取的学生数为（人）；

【小问2详解】

由题意，C组人数为（人），补全的条形统计图如图所示：

    【小问3详解】

扇形统计图中圆心角；

【小问4详解】

D组（阅读）学生占该校学生的比例为，

所以该校参加D组（阅读）的学生人数为（人）.

16. 如图，小明家在处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路，是到的小路.现新修一条路到公路.小明测量出，，.请你帮小明计算他家到公路的距离的长度？（精确到；参考数据，，）.

【答案】

【解析】

【分析】在三角形中，利用正切值得，在三角形中，利用正切值得，最后利用建立方程求解即可.

【详解】设，在直角三角形中，，

所以，所以，

在直角三角形中，，

所以，所以，

所以，解得，

所以小明家到公路的距离为.

17. 如图，以为直径的交的边于点，且，为弧上的一点：

（1）求证：为的切线；

（2）连接，且，过点的弦分别交弦，直径于点，，若，，求的值．

【答案】（1）证明见解析   

（2）4

【解析】

【分析】（1）由已知条件可得，再结合圆的性质可得，则，从而可证得结论，

（2）由垂径定理可得，则，从而可得，则可求出，进而可求得的值.

【小问1详解】

证明：因为，所以，

因为，所以，

所以，

因为为的直径，所以，

因为，所以，

所以，所以，

因为为的直径，所以为的切线；

【小问2详解】

解：连接，因为，为的半径，

所以，所以，

因为，所以，

所以，

因为，，所以，

所以，

所以

18. 如图1，直线与第一象限的一支双曲线交于、两点，在的左边，与轴和轴分别交于，两点．

（1）当时，求直线及双曲线的解析式；

（2）如图2，当点是中点时，求点的坐标；

（3）如图3，过点作交双曲线的另一支图象于点，连接，当是等腰直角三角形时，求此时的面积．

【答案】（1），.   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）直接代入点坐标即可得到各自方程；

（2）利用梯形中位线的性质即可求出点纵坐标；

（3）利用“K”字型全等结合双曲线的即可性质即可求出面积.

【小问1详解】

当时，，将代入得，解得，

则直线方程为，

将代入双曲线方程得，解得，

则双曲线方程为.

【小问2详解】

因为为中点，且，由（1）知双曲线方程为，

分别过点作轴的垂线，垂足为，

则线段为梯形的中位线，

则，即，所以，当时，，

则，则，即，解得，则.

    【小问3详解】

过点作轴的平行线，再分别过点和作该平行线的垂线，垂足分别为，

因为为等腰直线三角形，则，，

则，又因为，

所以，又因为，

所以，所以，

设，

则由（1）知双曲线方程为，根据点在双曲线上，

则有，①②得，

再代回①得，解得或0（舍去），

此时，而，

，

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

19. 已知、是一元二次方程的两个根，则________．

【答案】

【解析】

【分析】利用韦达定理可求得的值.

【详解】因为、是一元二次方程的两个根，由韦达定理可得，，

因此，.

故答案为：.

20. 若点到轴的距离与它到轴的距离相等，则它关于原点的对称点坐标是________.

【答案】，

【解析】

【分析】先根据距离相等求出m，然后根据关于原点对称的性质求得对称点即可.

【详解】因为点到轴的距离为，点到轴的距离为，

所以为，所以，即，解得或，

所以或，当时，它关于原点的对称点坐标是；

当时，它关于原点的对称点坐标是.

故答案为：，

21. 已知，，且，若，则取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】由已知可得，然后由结合二次函数的性质可求得结果.

【详解】因为，，

所以，

因为，

所以当时，取得最小值，当时，取得最大值5，

所以的取值范围是，

故答案为：

22. 将矩形纸片按如下步骤折叠：

            图1                          图2

第一步：如图1，沿对角线折叠，点的对应点为点，线段交线段于点；

第二步：如图2，将沿折叠，点的对应点为点，

连接交于点．若，则的值为________．

【答案】

【解析】

【分析】以为原点，建立直角坐标系，设，求得和，得到，再求得直线和的直线方程，联立方程组求得的坐标，得到，进而求得的值，得到答案.

【详解】如图所示，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴，建立平面直角坐标系，

在直角中，因为，所以为等腰直角三角形，

设，为的中点，则，且，

由，可得,

则，

可得，

由，可得直线的方程为，

又由，可得直线的方程为，

联立方程组，解得，

所以

所以.

故答案为：.

23. 如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心作半径为1的圆，点，为圆上的动点，且，点为一定点，倍长至，则线段的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】设，结合题目条件可表示D，C点坐标，后由两点间距离公式结合辅助角公式可得答案.

【详解】设，因，倍长至，则D，E中点为B，则.

又，圆半径为1，则，得，即.

则，

其中，则当时，.

故答案为：

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

24. 成都某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为60元，用120元购进甲种玩具的件数与用180元购进乙种玩具的件数相同．

（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共40件，其中甲种玩具的件数少于20件，并且商场决定此次进货的总资金不超过1320元，求商场共有几种进货方案？

（3）在（2）的条件下，若每件甲种玩具售价32元，每件乙种玩具售价50元．请求出卖完这批玩具共获利（元）与甲种玩具进货量（件）之间的函数关系式，并求出最大利润为多少元？

【答案】（1）24元，36元.   

（2）10种    （3），500元

【解析】

【分析】（1）根据题意即可列出方程，解方程可得答案；

（2）由题意列出不等式，即可求得答案；

（3）由题意即可列出获利（元）与甲种玩具进货量（件）之间的函数关系式，结合一次函数性质，即可求得利润的最大值.

【小问1详解】

设每件甲种玩具进价是x元，则每件乙种玩具的进价为元，

则，解得，

经检验，时原方程的解，则（元），

故每件甲种、乙种玩具的进价分别是24元和36元.

【小问2详解】

设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件，

由题意可得，

解得，因为m为整数，

故m可取共10个整数，

即商场共有10种进货方案.

【小问3详解】

设购进甲种玩具m件，则购进乙种玩具件，

则，

w随m的增大而减小，

故当时，利润w取到最大值（元）.

25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、与轴交于点.

（1）求这条抛物线的表达式及其顶点的坐标；

（2）点是抛物线的顶点，是否存在抛物线对称轴上的一点，使为等腰三角形？若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由；

（3）设点是抛物线上的动点，过作轴交直线于，若在此抛物线上有且只有三个点使得的长是定值，求这三个点的坐标及定值.

【答案】（1），   

（2）存在，，，，   

（3），，，

【解析】

【分析】（1）把两点坐标代入抛物线方程求解即可；

（2）根据等腰三角形的性质及两点距离公式求解点的坐标即可；

（3）设点的坐标，利用距离公式求出距离函数，把求解问题转化为常数函数与分段函数有三个交点，即可求解定值及对应点的坐标.

【小问1详解】

因为抛物线与轴交于、与轴交于点，

所以，所以，所以抛物线的表达式为，

因为，所以抛物线的顶点为.

【小问2详解】

抛物线的对称轴为，则设点，

若，则，即，解得，

此时，

若，则，即，解得，此时或，

若，则，即，解得，

此时或（舍去），

综上所述，当点E的坐标为，，，时，使为等腰三角形；

【小问3详解】

设点的坐标为，设直线的函数表达式为，

将，分别代入得：，解得：，

所以直线的表达式为，因为轴，所以，

所以，

记，其图象如图：

由图知，若抛物线上有且只有三个点使得的长是定值，

则存在三个m，使得的长是定值，所以定值，则，此时，

令得或，此时或.

综上，这三个点的坐标为，，，定值.

【点睛】关键点点睛：要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.属于较难题.

26. 已知在中，，，；

（1）现将绕点顺时针旋转得到，

i）如图1，当点落在上时，则________．

ii）如图2，在旋转过程，连接，，试探究，的数量关系，并说明理由；

（2）如图3，延长至点，使，连接；现将绕点顺时针旋转得到，所在的直线与直线交于点，与线段交于点，当是以为腰的等腰三角形时，求的长．

【答案】（1）ⅰ)；ⅱ)   

（2）或

【解析】

【分析】（1）第一小问根据，即可求解；第二小问根据旋转过程中，再结合余弦定理，即可求解；（2）根据，讨论和两种情况，再结合余弦定理，即可求解.

【小问1详解】

ⅰ)根据勾股定理可知，，，所以；

ⅱ) 在旋转过程中，点旋转到点，同时点旋转到点，所以，

中，，

中，，,

所以，即；

【小问2详解】

因为，且，所以，

则，，所以，

若是以为腰的等腰三角形，则就是以为腰的等腰三角形，

若设，则设，，,，

则，，

中，根据余弦定理可知，，得，

此时，

若，，也成立，此时

综上可知，或.

【点睛】思路点睛：本题考查解三角形和平面几何的综合应用，第一问的第二小问的重点是考虑旋转过程中的角的相等性，第二问重点是和的关系的讨论，列式求解.